数学七年级下册（2024）简单的轴对称图形表格教学设计

这是一份数学七年级下册（2024）简单的轴对称图形表格教学设计，共3页。教案主要包含了知识技能类作业，综合拓展类作业等内容，欢迎下载使用。
第4课时简单的轴对称图形（角平分线）教学设计
课型
新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本节课是北师大版（024）七年级数学下册第五章《图形得到轴对称》的第2节简单的轴对称图形的角平分线，了解角平分线的有关性质和用尺规作已知角的角平分线。并运用角平分线性质解决实际问题，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念。
角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。本节课内容的安排由浅入深、由易到难，符合学生的心理特点和认知规律。
学习者分析
本节课是学生在了解轴对称现象、探索轴对称的性质后，并学习了等腰三角形和线段等轴对称图形后进行的. 因此，在探索角平分线过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.
本节课设置通过多次操作实践的研究活动，来引导学生自主探究角的轴对称性和角平分线的性质。但学生归纳、运用数学的意识比较薄弱，这需要在课堂教学中进一步加强引导。
教学目标
1．经历探索简单图形的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，积累数学活动经验，发展空间观念；
2．探索并了解角的轴对称性性质及其画法；
3．角平分线性质的应用.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
教学重点
角平分的性质及其画法.
教学难点
角平分线性质的应用.
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：复习引入
教师活动1：
1.线段是 轴对称 图形，它的垂直平分线是它的一条 对称轴 .
2.线段垂直平分线有什么性质？
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
如图：PA=PB
怎样画线段的垂直平分线？
①分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧交于点E、F
②过点E、F作直线。则直线EF就是线段AB的垂直平分线(如图)
4.角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
如图∠AOB沿射线OC对折，∠AOC和∠COB重合。
A
B
O
C
5.什么是角平分线？
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.
如上图，射线OC是∠AOB的平分线。
则∠AOC = ∠COB = ∠AOB.
学生活动1：
回顾旧知
活动意图说明：
复习旧知，引入新课
环节二：探究新知
教师活动2：
探究1：角平分线的性质
如图，0P是∠AOB的平分线，点C是OP上任意一点，在∠AOB中画出OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D 连接CD和C ,你认为CD和C 相等吗？
证明： 在△COD和△CO 中
∴ ∠DOC= ∠ OC（角平分线的定义）
∵OD =O OC=OC
∴ △COD ≌ △CO（SAS）
∴CD=C（全等三角形的对应边相等）
2、当CD⊥OA,C与OB有怎样的位置关系，此时CD和C相等吗？
证明： 在△COD和△CO中
∴ ∠DOC= ∠OC（角平分线的定义）
∵OD =O OC=OC
∴ △COD ≌ △CO（SAS）
∠CDO=CD O=90° ∴CD ⊥OB
∴CD=C （全等三角形的对应边相等）
由此得角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用符号语言表示为：∵∠DOP= ∠EOP，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE.
注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。
探究2;角的内部到角的两边距离相等的点在什么位置？
如图，点P 在∠AOB 的内部， 作PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为点D，E. 若PD= PE， 那么点P在∠AOB的平分线上吗？
解：如图，过点O，P作射线OC.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵ OP = OP，PD = PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.
∴ ∠AOC =∠BOC.
∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
由此得角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示为：
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE ∴ ∠DOP= ∠EOP .
探究3，尺规作角平分线
1.已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.
作法：
①.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．
②.分别以D,E为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
③.作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．
2.已知在∠AOB中，OD=OE，DC=EC. 求证：OC是∠AOB的平分线．
证明：由已知得，OD=OE、 DC=EC
在⊿OCD和⊿OCE中，
OD=OE（已知）
DC=EC（已知）
OC=OC（公共边）
∴⊿OCD ≌⊿OCE（SSS）
∴∠COD =∠COE
∴OC是∠AOB的平分线．
规作图注意事项：
1、初中阶段，尺规作图不要求学生写作法，但学生应能说明其中的道理，即以操作和理解为主；
2、保留作图痕迹；
3、在空白处注明：“如图，xxx为所求作。”
学生活动2：
参与折纸活动。
探究并证明角平分线的原定理和逆定理。
类比垂直平分线的画法，探究角平分线的画法。
活动意图说明：
通过折纸方法可以将一个角平分。培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力，让学生体验成功。经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律。类比垂直平分线的画法，探究角平分线的画法。
环节三：典例精析
教师活动3：
例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2.
求证：点B在∠ADC的平分线上；
求证：BD是∠ABC的平分线.
证明 （1）在△ABC中，
∵ ∠1=∠2，
∴ BA = BC.
又∵BA⊥AD， BC⊥CD，
∴ 点B在∠ADC的平分线上.
(2） 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵ BA = BC， BD = BD，
∴ Rt△BAD≌Rt△BCD.
∴ ∠ABD =∠CBD.
∴ BD是∠ABC的平分线.
学生活动3
自学例题，提出质疑。
活动意图说明：
通过例题的学习，进一步理解并掌握角平分线的性质，.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问
题的能力。
板书设计
1、角平分线的性质定理：
∵∠DOP= ∠EOP，PD⊥OA ，PE⊥OB
∴PD=PE.
2、角平分线的性质定理逆定理：
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE
∴ ∠DOP= ∠EOP .
课堂练习
A
C
D
E
B
1
2
【知识技能类作业】
必做题：
1、填空：
(1). ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB
∴DE=DC,(角平分线上的点到角的两边的距离相)
(2). ∵DC⊥AC ，DE⊥AB ，DC=DE
∴ ∠1=∠2，(到角的两边的距离相等的点在角平分线上)
D
A
C
B
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且DB=10，则点D到AB的距离为 5 。
3.如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．
下列说法正确的是（ B ）
有最小限制，无限制B．的长
C. D．连接，则垂直平分
4．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ B ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
选做题：
5、如图，BD是∠ABC的平分线，BA=BC,点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD,垂足分别为M，N. 试说明 PM=PN.
解析：先证明⊿ABD ≌⊿CBD（SAS）,
得∠ADB ＝∠CDB，
根据角平分线的性质，得
P
·
PM ＝ PN.
6.如图，已知⊿ABC内一点P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，则P点如何确定？
解析：先作出∠BAC的平分线,再作
出线段AB的中垂线，两线交点P就
是所要确定的点.
∟
F
7.如图，在⊿ABC中，BD是三角形的角平分线，BC=12cm，BA=8cm，点D到直线BC的距离等于4cm，求⊿ABC的面积.
解析：过D作DF垂直AB，垂足为F，
则，DF=DE=4
∴S⊿ABC = S⊿ABD+S⊿CBD
=(AB×DF+BC×DE)÷2
=40(cm2)
【综合拓展类作业】
8.如图， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
解析：可以添加条件MN =ME （或MN =MF）
∵ ME⊥CD， MN⊥CA.
∴ M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线.
同理可得AM是∠CAB的平分线.
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC。（2）OC=OD.
证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上，
EC⊥AO，ED⊥OB ，
∴ ED =EC.
∴ △EDC 是个等腰三角形.
∴ ∠ECD=∠EDC.
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，
∵ OE= OE， ED = EC，
∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL).
∴ OD=OC.
2．如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ D ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，BE平分，于点E，的面积为2，则的面积是 4 ．
第3题 第4题
4.如图，平分交于点，于点，
若，，，则的长为 5 ．
5．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为 6 cm2．
第5题 第6题
6.如图，是的平分线上一点，于点，是射线上一个动点，若，则的最小值为 8 ．
选做题：
7.如图，点 M 和点 N 在 ∠AOB 内部．
（1）请你作出点 P，使点 P 到点 M 和点 N 的距离相等，且到 ∠AOB 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
解：（1） 如图所示．
（2） 作图的理由：点 P 在 ∠AOB 的平分线上，又在线段 MN 的垂直平分线上，∠AOB 的平分线和线段 MN 的垂直平分线的交点即为所求．
【综合拓展类作业】
8. 如图，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系.
解析∵ AP是∠DAC的平分线，
又PE⊥DB， PF⊥AC，
∴ PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB
∴ BE+PF>PB.
9.如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.
证明 作CM⊥AB于点M.
M
∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
∴ CD = CM，CE = CM.
在Rt△ACD和Rt△ACM中，
∵ CM = CD，AC = AC，
∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM.
∴ AD = AM.
同理， BE = BM.
又 AB=AM+BM，∴AB=AD+BE
教学反思