浙教版2026年七年级下册第2章《二元一次方程组》单元检测卷 含解析

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浙教版2026年七年级下册第2章《二元一次方程组》单元检测卷 满分120分 时间120min 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 一、选择题（共30分） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A．x=1y+2=3 B．x+y=1x−z=0 C．x+y=1x2=9 D．y2=xx−2y=1 2．二元一次方程组x−y=12x+y=5的解是（    ） A．x=3y=2 B．x=2y=3 C．x=1y=3 D．x=2y=1 3．已知x=ay=b是二元一次方程x−2y=5的一组解，则代数式2a−4b+1的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．13 4．解方程组 2x+3y=7①3x+2y=8②，①+②得（    ） A．5x=15 B．5y=15 C．5x+5y=15 D．5x−5y=15 5．关于x，y的二元一次方程组y=x−52x−y=1，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（    ） A．2x−x−5=1 B．2x−x+5=1 C．2x+x+5=1 D．2x+x−5=1 6．方程组2x+y=△x+y=3的解为x=4y=□则被遮盖△和□的两个数分别为（   ） A．9，−1 B．9，1 C．7，−1 D．5，1 7．《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，一共重1斤（古代1斤=16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，下列方程组正确的是（    ） A．x+y=164x+y=x+5y B．5x+6y=165x+y=x+6y C．5x+6y=164x+y=x+5y D．6x+5y=165x+y=x+6y 8．若x−3y+5+3x+y−52+x+y−3z=0，则（   ） A．x=−1y=2z=1 B．x=1y=2z=1 C．x=−1y=2z=−1 D．x=−1y=−2z=−1 9．在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应尺寸如图所示，则AE的长为（   ） A．3cm B．2.5cm C．2cm D．1cm 10．若方程组5x−3y=77x−5y=3的解为x=6.5y=8.5，则方程组5(a−13)−3(b+1)=77(a−13)−5(b+1)=3的解为（    ） A．a=−6.5b=7.5 B．a=−6.5b=9.5 C．a=19.5b=7.5 D．a=19.5b=9.5 二、填空题（共18分） 11．将方程4x−2y=3改写成用含x的式子表示y的形式，则y=__________． 12．方程a−5xa−4+5y=1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为______． 13．用加减法解方程组x+3y=5①2x−y=4②时，如果先消去x，可以将方程①变形为________；如果先消去y，可以将方程②变形为________． 14．“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元． 15．若关于x，y的方程组2x+3y=3ax−by=−5和3x−2y=11bx−ay=1有相同的解，则a+b2026的值为_____． 16．若关于x，y的方程组ax+by=ecx+dy=f的解是x=3y=−2则关于x，y的方程组a(x−1)+b(y+1)=2ec(x−1)+d(y+1)=2f的解是___________． 三、解答题（共72分） 17．（6分）下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 18．（6分）解方程组： (1)x=2y2x−3y=1； (2)x−2y=1x+3y=6． 19．（8分）已知关于x、y的方程组：2x+9y=aax−y=a+1，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解． 20．（8分）甲、乙两人解方程组ax−4y=−6①5x=by+10②时，甲看错了方程①中的a，解得x=3y=1，乙看错了方程②中的b，解得x=−1y=2． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 21．（10分）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组x+y−1=06(x+y)−y=3①② 解：将方程①移项，得x+y=1③． 把方程③代入②，得6×1−y=3． 解得y=3． 把y=3代入③，得x+3=1． 解得x=−2． ∴原方程组的解为x=−2y=3． 上面的解法中，将x+y看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1)x−y−3=02(x−y)+5x=1①② (2)3x+4y−5=0①3x+4y−23−2x=−3② 22．（10分）定义：关于x,y的二元一次方程ax+by=c（其中a,b,c互不相等）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by=c“变更方程”为cx+by=a． (1)方程3x+2y=4的“变更方程”为_____； (2)方程2x+3y=4与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0，且ax+by=c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x、y的二元一次方程mx+ny=p的一个解，求代数式2m−n−m−p+3n+2026的值． 23．（12分）当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮我们设计租车方案； (3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 24．（12分）阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：3x+y−2z=22x+3y−z=−1x−2y+z=3思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）： 31−2223−1−11−213 →②×3−①×2 31−22071−71−213 →③×3−① 31−22071−70−757 →③+② 31−22071−70060            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是3x+y−2z=27y+z=−76z=0，第三行的方程，易解出z的值，再依次代入上一行方程分别求出y，x的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组：2x−y−z=−2x+2y+z=1−x+y+2z=−1 （ii）已知关于x，y，z的方程组：x+y+z=1x+2y+3z=2x+3y+mz=5有唯一解，求m的取值范围． 参考答案 1．A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组需满足：整个方程组共含有两个未知数，所有含未知数的项最高次数为1，且为整式方程，判断二元一次方程组的关键是看未知数的个数和含未知数项的次数，这是解题的关键．根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：∵二元一次方程组需满足：方程组共含2个未知数，所有含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程组， ∴对各选项逐一判断： 选项A, 该方程组共含x、y两个未知数，所有含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程组的定义，符合题意； 选项B, 该方程组含有x、y、z共3个未知数，不符合定义，不符合题意； 选项C, 该方程组中x2项的次数为2，不是一次，不符合定义，不符合题意； 选项D, 该方程组中y2项的次数为2，不是一次，不符合定义，不符合题意； 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法先消去未知数y求出x的值，再代入方程求出y的值，进而可得到方程组的解． 【详解】解：x−y=1①2x+y=5②， ①+②得，3x=6， 解得：x=2， 把x=2代入①得，2−y=1， 解得：y=1， ∴x=2y=1． 故选：D． 3．C 【分析】将已知解代入方程x−2y=5得a−2b=5，再将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：已知x=ay=b是二元一次方程x−2y=5的一组解， 则a−2b=5， ∴2a−4b+1 =2a−2b+1 =2×5+1 =11． 4．C 【详解】解：①+②得，5x+5y=15 5．B 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，只需把第一个方程中y的表达式代入第二个方程，去括号整理即可得到对应方程。 【详解】解：y=x−5①2x−y=1② ∵用代入法消去y， ∴把①代入②，得2x−x−5=1， 去括号得：2x−x+5=1． 6．C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键．把x=4代入x+y=3求出y值，将x=4，y=−1代入2x+y=△，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：将x=4代入x+y=3得：y=−1， 将x=4，y=−1代入2x+y=△得：△=7， ∴△=7，□=y=−1． 7．C 【分析】设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，根据五只雀、六只燕，一共重1斤可得第一个方程5x+6y=16，根据互换其中一只，恰好一样重可得第二个方程4x+y=x+5y，据此可得答案． 【详解】解：设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两， ∵五只雀、六只燕一共重1斤，即16两， ∴可得第一个方程5x+6y=16， 互换其中一只后，一边剩余4只雀，得到1只燕，另一边剩余5只燕，得到1只雀，此时两边重量相等， ∴可得第二个方程4x+y=x+5y， 因此所列方程组为{5x+6y=164x+y=x+5y． 8．B 【分析】本题利用绝对值与平方的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，由此列出三元一次方程组，通过解方程组求出x、y、z的值，再匹配选项即可． 【详解】解： ∵ 绝对值和平方数均为非负数，即x−3y+5≥0，3x+y−52≥0，x+y−3z≥0 又∵x−3y+5+3x+y−52+x+y−3z=0 ∴ 可得方程组： x−3y+5=013x+y−5=02x+y−3z=03 ① 解由(1)(2)组成的二元一次方程组： 给(2)式两边同乘3得：9x+3y−15=0 (4)， (1)+(4)得：10x−10=0， 解得x=1， 将x=1代入(2)式得：3×1+y−5=0， 解得y=2， ② 将x=1，y=2代入(3)式得：1+2−3z=0， 解得z=1， ∴ 方程组的解为x=1y=2z=1， 故选：B． 9．C 【分析】设小长方形的长和宽为未知数，根据大长方形的长和宽的等量关系列出方程组，求解得出小长方形的宽，即为AE的长度． 【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 根据图形列方程组得：x+3y=14x+y=6+2y， 解得：x=8y=2， 根据图形关系：AE=y=2cm， ∴AE的长为2cm． 10．C 【分析】根据二元一次方程组的解得到a−13=6.5b+1=8.5，即可得到答案。 【详解】解：方程组5x−3y=77x−5y=3的解为x=6.5y=8.5， 故5(a−13)−3(b+1)=77(a−13)−5(b+1)=3中a−13=6.5b+1=8.5， 解得a=19.5b=7.5． 11．4x−32 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：∵4x−2y=3， ∴−2y=3−4x， ∴y=4x−32． 12．−5 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得a−4=1且a−5≠0，即可求解． 【详解】解：∵方程a−5xa−4+5y=1是关于x，y的二元一次方程， ∴a−4=1且a−5≠0， ∴a=±5且a≠5， 解得a=−5． 13． 2x+6y=10 6x−3y=12 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．通过扩大适当的倍数，使某个字母的系数相等或互为相反数，以便消元． 【详解】解：为了先消去x，需使方程①和②中x的系数相等， 故将方程①乘以2，得 2x+6y=10； 为了先消去y，需使方程①和②中y的系数互为相反数， 故将方程②乘以3，得 6x−3y=12． 故答案为：2x+6y=10，6x−3y=12． 14．83 【分析】设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据他们的对话，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据题意得： 9x+4y=529+3x+4−1y=52+1， 解得：x=83y=7， 答：永州款的单价为83元． 15． 1 【分析】本题考查解二元一次方程组，有理数的乘方运算，已知式子的值，求代数式的值． 将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得x、y的值，联立含有a、b的两个方程，把x、y的值代入，两方程相加可求得a+b的值，代入代数式中求解即可． 【详解】解：把方程组中不含a、b的两个方程联立得， 2x+3y=3①3x−2y=11②， ①×2+②×3得，13x=39， ∴x=3， 把x=3代入①得，6+3y=3， ∴y=−1， ∴方程组的解为x=3y=−1， 把方程组中含a、b的两个方程联立得， ax−by=−5bx−ay=1， 把x=3y=−1代入得3a+b=−5③3b+a=1④， ③+④得，4a+4b=−4， ∴a+b=−1， ∴a+b2026=−12026=1， 故答案为：1． 16．x=7y=−5 【分析】首先将a(x−1)+b(y+1)=2ec(x−1)+d(y+1)=2f变形得a(x−12)+b(y+12)=ec(x−12)+d(y+12)=f，然后由已知条件即可得出x−12=3y+12=−2，从而得出答案． 【详解】解：原式变形可得a(x−12)+b(y+12)=ec(x−12)+d(y+12)=f， 令x−12=py+12=q， 则化简为：ap+bq=ecp+dq=f， 方程ax+by=ecx+dy=f和ap+bq=ecp+dq=f为系数完全相同的二元一次方程组，即同解， ∴p=3q=−2 ∴x−12=3y+12=−2， 解得x=7y=−5． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是通过变形换元得出两个方程组的解相同，从而得出答案． 17．(1)加减消元法 (2)一，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2 (3)见解析 (4)解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键． （1）根据①×2得③，再②+③可知运用了加减消元法； （2）根据等式的性质可知年年在第一步出现错误； （3）更正错误的步骤并继续完成解题步骤即可得出答案； （4）根据计算步骤中的变换适当给出建议即可． 【详解】（1）解：根据解方程的步骤，上述使用的是加减消元法． （2）解：第一步出现错误，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2． （3）解：①×2得：4x−2y=12，③ ②+③得：7x=21， 解，得x=3， 将x=3代入①得：y=0， ∴原方程组的解为x=3y=0． （4）解：解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 18．(1)x=2y=1 (2)x=3y=1 【分析】（1）利用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 【详解】（1）解：x=2y①2x−3y=1② 将①代入②得，4y−3y=1， 解得y=1， 将y=1代入①得，x=2×1=2， 因此该方程组的解为x=2y=1； （2）解：x−2y=1①x+3y=6② ②−①得，5y=5， 解得y=1， 将y=1代入①得，x−2×1=1， 解得x=3， 因此该方程组的解为x=3y=1． 19．x=1y=−1 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组特殊解法．先解方程组，求出用a表示的x、y的值，由题意，9a+2可以整除a+7，根据整除关系得到9a+2的因数为±1,±61，再尝试求得整数a，使x、y都是整数． 【详解】解：解原方程组得，x=10a+99a+2y=a2−2a−29a+2， 由于x=10a+99a+2=1+a+79a+2 则9a+2可以整除a+7，即9a+2可以整除9a+7=9a+63， 故可知，9a+639a+2=1+619a+2， 则9a+2的因数为±1,±61 当9a+2=1时，a=−19舍去， 当9a+2=−1时，a=−13舍去， 当9a+2=61时，a=599舍去， 当9a+2=−61时，a=−7， 把a=−7代入x=10a+99a+2y=a2−2a−29a+2解得，x=1y=−1 ∴原方程组的整数解为x=1y=−1． 20．(1)a=−2，b=5； (2)x=73y=13． 【分析】（1）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程②，乙求得的方程组的解满足方程①，据此可得关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的a，解得x=3y=1，乙看错了方程②中的b，解得x=−1y=2， ∴甲求得的方程组的解x=3y=1，满足方程②，乙求得的方程组的解x=−1y=2满足方程①， ∴5×3=b+10，−a−4×2=−6， ∴a=−2，b=5； （2）解：由（1）得，a=−2，b=5， ∴原方程组为−2x−4y=−6①5x=5y+10②， 由②得，x=y+2③， 把③代入①得−2y+2−4y=−6，解得y=13， 把y=13代入③得，x=13+2=73， ∴方程组的解为：x=73y=13． 21．(1)x=−1y=−4 (2)x=2y=−14 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得x−y=3③，代入②求出x=−1，把x=−1代入③求出y=−4即可； （2）由①得，3x+4y−2=3③，把③代入②求出x=2，把x=2代入①求出y=−14即可． 【详解】（1）解：将方程①移项，得x−y=3③ 把方程③代入②得2×3+5x=1 解得x=−1 把x=−1代入③，得−1−y=3 y=−4 ∴方程组的解为x=−1y=−4 （2）解：由①得，3x+4y−2=3③ 把③代入②得33−2x=−3 解得x=2 把x=2代入①得，3×2+4y−5=0 解得y=−14 ∴方程组的解为x=2y=−14． 22．(1)4x+2y=3 (2)x=−1y=2 (3)2026 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到m+n=−p，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程3x+2y=4的“变更方程”为4x+2y=3， 故答案为：4x+2y=3； （2）解：2x+3y=4①4x+3y=2②， ①−②得：−2x=2， 解得x=−1， 把x=−1代入①得：−2+3y=4， 解得：y=2， ∴方程组的解为：x=−1y=2， 故答案为：x=−1y=2； （3）解：∵a+b+c=0， ∴a+c=−b， 方程ax+by=c与它的“变更方程”组成的方程组为ax+by=ccx+by=a， 解得x=−1y=−1， ∴把x=−1y=−1代入mx+ny=p可得−m−n=p， 即m+n=−p， ∴2m−n−m−p+3n+2026 =2m−2n−m+p+3n+2026 =m+n+p+2026 =−p+p+2026 =2026． 23．(1)1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨 (2)共有3种租车方案，具体见详解 (3)选租车方案3最省钱，最少租车费为730元 【分析】（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨，根据“用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“一次运完19吨消毒液，且恰好每辆车都载满消毒液”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，即可分别求出选用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨， 依题意得3x+y=9x+2y=8，解得x=2y=3， 答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨； （2）解：依题意得2a+3b=19， ∴a=19−3b2， 又∵a，b均为整数， ∴a=8b=1或a=5b=3或a=2b=5， ∴共有3种租车方案： 方案1：租用A型车8辆，B型车1辆； 方案2：租用A型车5辆，B型车3辆； 方案3：租用A型车2辆，B型车5辆； （3）解：选用方案1所需租车费为90×8+110×1=830（元）； 选用方案2所需租车费为90×5+110×3=780（元）； 选用方案3所需租车费为90×2+110×5=730（元）； ∵830>780>730， ∴选租车方案3最省钱，最少租车费为730元． 24．(1)x=1y=−1z=0 (2)（i）x=−1y=2z=−2 （ii）m≠5 【分析】（1）解出z的值，再依次代入上一行方程分别求出y，x的值； （2）根据材料的方法仿照解题即可． 【详解】（1）解：方程组3x+y−2z=2①7y+z=−7②6z=0③， 由③得，z=0， 代入②，解得y=−1， 代入①，解得x=1， ∴方程组的解为x=1y=−1z=0； （2）解：（i）方程组2x−y−z=−2①x+2y+z=1②−x+y+2z=−1③， 仿照材料可得： 2−1−1−21211−112−1 →②×2−① 2−1−1−20534−112−1 →③×2+① 2−1−1−20534013−4 →③×5−② 2−1−1−205340012−24 最后一个数阵对应的方程组是2x−y−z=−2④5y+3z=4⑤12z=−24⑥， 由⑥得z=−2， 代入⑤，解得y=2， 代入④，解得x=−1， ∴方程组的解为x=−1y=2z=−2； （ii）方程组x+y+z=1①x+2y+3z=2②x+3y+mz=5③， 仿照材料可得： 1111123213m5 →②−① 1111012113m5 →③−① 1111012102m−14 →③−②×2 1111012100m−52 最后一个数阵对应的方程组是 x+y+z=1④y+2z=1⑤m−5z=2⑥， 当m−5≠0，即m≠5时， 由⑥得z=2m−5， 代入⑤，解得y=m−9m−5， 代入④，解得x=2m−5， ∴方程组的解为x=2m−5y=m−9m−5z=2m−5，符合题意； ∴m≠5． 解方程组：2x−y=6①3x+2y=9② 解：①×2得：4x−2y=6．③   第一步 ②+③得：7x=15   第二步 解得：x=157    第三步 将x=157代入①，得：y=−127    第四步 所以原方程组的解为x=157y=−127     第五步题号12345678910答案ADCCBCCBCC