第2章 二元一次方程组 综合测试（试卷）2024—2025学年浙教版（2024）数学七年级下册

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第2章 综合测试 限时:120分钟满分:120分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．下列是二元一次方程的是（ ） A. xy=2 B. x(y−1)=1−x C. 1x+y=2 D. x−y=1 【答案】D 2．已知x=−2,y=1是方程mx+3y=7的解,则m的值是（ ） A. 1 B. −1 C. −2 D. 2 【答案】C 3．下列各组解是方程x−2y=4的解的是（ ） A. x=−1,y=3 B. x=2,y=−1 C. x=0,y=2 D. x=4,y=1 【答案】B 4．已知x=3,y=−2是二元一次方程组mx+ny=2,nx+my=−3的解，则m+n的值是（ ） A. −5 B. 5 C. −1 D. 1 【答案】C 5．用加减消元法解方程组3x−4y=8,①2x+y=3②时，在下列四种做法中，计算比较简单的一种是（ ） A. ①×2−②×3,消去x B. ①×13−②×12,消去x C. ①×14+②,消去y D. ①+②×4,消去y 【答案】D 6．已知x+4y=7,2x−y=2是关于x,y的二元一次方程组，则x+y的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 7．茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴.在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响.某茶具厂共有120名工人，每名工人一天能生产200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套?设生产茶杯的工人有x名，生产茶壶的工人有y名，则下列方程组正确的是（ ） A. x+y=120,200x=50y B. x+y=120,8×200x=50y C. x+y=120,200x=8×50y D. x+y=120,8×50x=200y 【答案】C 8．若关于x，y的方程组3x−2y=2k−3,2x+7y=3k−2 的解满足x+y=2 025，则k的值为（ ） A. 2 025 B. 2 026 C. 2 027 D. 2 028 【答案】B 9．解方程组ax+by=2,cx−7y=8时，一名学生因把c看错得到方程组的解是x=−2,y=2,而正确的解是x=3,y=−2,则a+b+c的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 10．已知关于x,y的方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2的解为x=2,y=3,则关于m,n的方程组2a1(m+2)+b1(n−3)=5c1,2a2(m+2)+b2(n−3)=5c2的解是（ ） A. m=2,n=3 B. m=3,n=18 C. m=3,n=−18 D. m=0,n=6 【答案】B 【解析】因为a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2, 所以5a1x+5b1y=5c1,5a2x+5b2y=5c2. 因为关于x,y的方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2的解为x=2,y=3, 所以10a1+15b1=5c1,10a2+15b2=5c2. 因为关于m，n的方程组为2a1(m+2)+b1(n−3)=5c1,2a2(m+2)+b2(n−3)=5c2, 所以2(m+2)=10,n−3=15. 解得m=3,n=18. 故选B. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．已知二元一次方程4x−y=6，则用含x的代数式表示y为____________. 【答案】y=4x−6 12．若−2x4m+3+5ym−2n=1是关于x,y的二元一次方程，则mn=________. 【答案】38 13．若方程组4x+3y=7,(k−1)x+ky=3的解中x与y的值相等，则k=______. 【答案】2 14．小亮求得方程组2x+y=●,2x−y=12的解为x=5,y=★,由于不小心，小亮在作业本上滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★,请你帮他找回★这个数:★=________. 【答案】−2 15．用8块相同的小长方形地砖拼成一块大长方形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，则每块地砖的长为__cm,宽为__cm. 【答案】45； 15 16．已知关于x,y的二元一次方程(m+1)x+(2m−1)y+2−m=0,无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是__________________________________________. 【答案】x=−1,y=1 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（6分）解方程组： （1） 2x+4y=9,①x=2−y;② （2） x3−y4=3,①x2+y3−10=3.② 【答案】 （1） 【解】把②代入①,得2(2−y)+4y=9, 解得y=52. 把y=52代入②,得x=−12, 所以原方程组的解为x=−12,y=52. （2） 整理方程组，得4x−3y=36,③3x+2y=78,④ ③×2，得8x−6y=72,⑤ ④×3，得9x+6y=234,⑥ ⑤+⑥，得17x=306,解得x=18, 把x=18代入④, 得3×18+2y=78,解得y=12. 所以原方程组的解为x=18,y=12. 18．（6分）关于x,y的方程组3x−y=5,4ax+5by=−26与2x−3y=−4,ax−by=−2有相同的解，求a,b的值. 【解】因为关于x,y的方程组3x−y=5,4ax+5by=−26与2x−3y=−4,ax−by=−2有相同的解， 所以x，y一定满足方程组3x−y=5,①2x−3y=−4,② ①×3−②，得7x=19,解得x=197， 把x=197代入①，得3×197−y=5,解得y=227, 所以767a+1107b=−26,③197a−227b=−2,④ ③+④×5，得1717a=−36,解得a=−2819, 把a=−2819代入④，得−4−227b=−2,解得b=−711. 19．（6分）对于有理数x和y,定义新运算：x⊙y=ax+by,其中a,b是常数，已知2⊙4=12,4⊙10=2. （1） 求a,b的值； （2） 若x=1,x⊙y=6,求y的值. 【答案】 （1） 【解】因为x⊙y=ax+by, 所以2⊙4=2a+4b=12,4⊙10=4a+10b=2, 所以联立2a+4b=12,①4a+10b=2,② ①×2−②，得−2b=22,解得b=−11, 把b=−11代入①，得2a+4×(−11)=12, 解得a=28. （2） 根据题意，得x⊙y=1⊙y=28+(−11)y=6. 解得y=2. 20．（8分）魏晋时期的数学家张丘建在古算书《张丘建算经》中提出著名的百鸡问题，即“今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?”其大意是：公鸡5文钱1只，母鸡3文钱1只，小鸡3只1文钱，用100文钱买100只鸡，其中公鸡、母鸡和小鸡都必须要有，问公鸡、母鸡和小鸡各有多少只?设公鸡、母鸡和小鸡各有x只,y只,z只，请完成下列问题. （1） 请列出满足题意的方程组，并求出y与z（用含x 的代数式表示）; （2） 由于x,y,z均为小于100的正整数，请写出所有满足条件的x的值. 【答案】 （1） 【解】由题意得x+y+z=100,5x+3y+13z=100, 解得y=100−7x4,z=300+3x4. （2） 由（1）得y=25−74x,z=75+34x. 因为x，y，z都是正整数， 所以74x,34x都是正整数. 所以x一定是4的倍数. 所以当x=4时，y=18,z=78,符合题意； 当x=8时，y=11,z=81,符合题意； 当x=12时，y=4,z=84,符合题意； 当x=16时，y=−3,z=87,不符合题意. 综上所述，x=4或x=8或x=12. 21．（8分）如图，α 和β 的度数满足方程组2α+β=230∘,3α−β=20∘. （1） 求α 和β 的度数，并判断AB与EF的位置关系； （2） 若CD//EF,AC⊥AE,求∠C的度数. 【答案】 （1） 【解】2α+β=230∘,①3α−β=20∘,② 由①+②,得5α=250∘ ,所以α=50∘ . 将α=50∘ 代入①,得2×50∘+β=230∘ , 所以β=130∘ . 所以α+β=180∘ .所以AB//EF. （2） 因为AB//EF,CD//EF,所以AB//CD. 因为AC⊥AE,所以∠CAE=90∘ . 所以∠CAB=∠CAE+α=140∘ . 因为AB//CD,所以∠C=180∘−∠CAB=40∘ . 22．（10分）已知关于x,y的方程组x+2y=6,2x−2y+mx=8. （1） 请写出方程x+2y=6的所有正整数解. （2） 若方程组的解满足x+y=0,求m的值. （3） 当m每取一个值时，2x−2y+mx=8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗? （4） 如果方程组有整数解，求整数m的值. 【答案】 （1） 【解】将方程x+2y=6整理得y=3−x2, 所以方程x+2y=6的正整数解有x=2,y=2或x=4,y=1. （2） 由x+y=0,得x=−y, 将x=−y代入x+2y=6,得−y+2y=6, 解得y=6, 所以x=−6.将x=−6,y=6代入2x−2y+mx=8,得 2×(−6)−2×6−6m=8.解得m=−163. （3） 将2x−2y+mx=8变形，得(2+m)x−2y=8, 令x=0,得y=−4, 所以无论m如何取值，x=0,y=−4都是方程2x−2y+mx=8的解. 所以公共解为x=0,y=−4. （4） x+2y=6,①2x−2y+mx=8,② ①+②，得3x+mx=14, 解得x=143+m. 因为方程组有整数解，且m是整数， 所以3+m=±1,3+m=±2,3+m=±7或3+m=±14. 所以m=−1，−2，−4，−5，−10，−17，4或11. 当m=−1时,x=7,y=−12，不符合题意; 当m=−2时，x=14,y=−4,符合题意； 当m=−4时，x=−14,y=10,符合题意； 当m=−5时,x=−7,y=132,不符合题意; 当m=−10时，x=−2,y=4,符合题意; 当m=−17时,x=−1,y=72,不符合题意; 当m=4时，x=2,y=2,符合题意; 当m=11时,x=1,y=52,不符合题意. 综上，整数m的值为−2或−4或−10或4. 23．（10分）某中学拟组织七年级师生去参观河南省博物院.下面是李老师和小明、小刚的对话： 李老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，且租用1辆60座客车和1辆45座客车到河南省博物院，一天的租金共计1 800元.” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和3辆45座的客车到河南省博物院，一天的租金共计6 400元.” 小刚说：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满.” 根据以上对话，解答下列问题： （1） 参加此次活动的七年级师生共有____人. （2） 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元? （3） 若同时租用两种或一种客车，要使每名师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案?哪一种租车方案最省钱? 【答案】（1） 480 【解析】根据题意得45a+30=60(a−2),解得a=10,所以45a+30=45×10+30=480,所以参加此次活动的七年级师生共有480人. （2） 【解】设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得x+y=1 800,4x+3y=6 400, 解得x=1 000,y=800. 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是1 000元，45座客车每辆每天的租金是800元. （3） 设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 根据题意得60m+45n=480, 所以m=8−34n. 又因为m,n均为自然数， 所以m=8,n=0或m=5,n=6或m=2,n=8. 所以共有3种租车方案, 方案1:租用60座客车8辆，费用为8×1 000=8 000（元）； 方案2:租用60座客车5辆，45座客车4辆，费用为5×1 000+4×800=8 200（元）； 方案3:租用60座客车2辆，45座客车8辆，费用为2×1 000+8×800=8 400（元）. 因为8 000元