数学必修 第二册简单几何体的表面积与体积习题

这是一份数学必修 第二册简单几何体的表面积与体积习题，共4页。试卷主要包含了一个五面体ABC-DEF等内容，欢迎下载使用。
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1.长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是( )
A.63B.36
C.11D.12
答案:A
解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则ab=2,bc=6,ac=9.
∴a2b2c2=108,abc=63,即V=63.
2.若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )
A.3B.2
C.23D.32
答案:A
解析:如图,正方体的四个顶点A',C',D,B可构成一个正四面体,设正方体棱长为a,则正四面体棱长为2a.
∴正方体表面积S1=6a2,
正四面体表面积为S2=4×34×(2a)2=23a2,
∴S1S2=6a223a2=3.
3.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为V,点P,Q分别在侧棱AA'和CC'上,AP=C'Q,则四棱锥B-APQC的体积为( )
A.V2 B.V3
C.V4D.V5
答案:B
4.正三棱锥的底面边长为a,高为66a,则此棱锥的侧面积等于( )
A.34a2B.32a2
C.334a2D.332a2
答案:A
解析:侧棱长为66a2+33a2=22a,斜高为22a2-a22=a2,
故S侧=3×12×a×a2=34a2.
5.如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1,则四棱锥C-AA'B'B的体积是( )
A.13B.12
C.23D.34
答案:C
解析:因为V三棱锥C -A'B'C'=13V三棱柱ABC-A'B'C'=13,所以V四棱锥C -AA'B'B=1-13=23.
6.一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1,并已知AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为( )
A.36B.334+12
C.32D.334−12
答案:C
解析:如图,用一个和五面体ABC-DEF完全相同的五面体HIJ-LMN与五面体ABC-DEF拼在一起,其中顶点L,M,N分别与顶点D,E,F重合.
由题意可知,拼成的组合体是一个三棱柱.
该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)是边长为1的等边三角形,
其面积为34×12=34,三棱柱的侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,
所以VABC-DEF=12VABC-HIJ=12×34×4=32.故选C.
7.已知棱长为1,各面均为等边三角形的四面体,则它的表面积是 ,体积是 .
答案:3 212
解析:S表=4×34×12=3,V体=13×34×12×12-332=212.
8.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面EC'B'F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-A'C'B'的体积),V2的两部分,则V1∶V2= .
答案:7∶5
解析:设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AC,AB的中点,所以S△AEF=14S.
所以V1=13ℎS+14S+S·S4=712Sh,V2=V-V1=512Sh.所以V1∶V2=7∶5.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为 .
答案:13
解析:如图,∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,
∴S△ANM=12×1×1=12,
∴VA-NMD1=VD1-AMN=13×12×2=13.
10.如图,正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,求此三棱柱的侧面积的最大值.
解:设三棱锥的底面中心为O,连接PO(图略),则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的平面与PO交于点O1,则A1B1AB=PO1PO,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=ℎax,
于是OO1=h-PO1=h-ℎax=h(1-xa).
所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(1-xa)=3ℎa(a-x)x=3ℎa[a24-(x-a2)2].
当x=a2时,三棱柱侧面积有最大值为34ah.