数学必修 第二册简单几何体的表面积与体积一课一练

这是一份数学必修 第二册简单几何体的表面积与体积一课一练，共4页。
基础巩固
1.若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( )
A.1∶2B.1∶3
C.1∶5D.3∶2
答案:C
解析:设圆锥底面半径为r,则高h=2r,
∴圆锥的母线长l=5r.
∴圆锥的侧面积S侧=πrl=5πr2,
又圆锥的底面积S底=πr2,
∴S底∶S侧=1∶5.
2.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,则圆柱的体积为( )
A.S2SB.S2ππS
C.S4SD.S4ππS
答案:D
解析:设圆柱的高为2a,因为轴截面为正方形,所以底面半径为a,则S=4πa2,解得a=πS2π,故可得圆柱体积V=πa2·2a=2π·S4π·πS2π=S4ππS.故选D.
3.木星体积约是地球体积的24030倍,则它的表面积约是地球表面积的( )
A.60倍B.603倍
C.120倍D.12030倍
答案:C
4.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为7,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )
A.3B.6
C.5D.7
答案:A
解析:设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=π(r+3r)·7=84π,解得r=3.
5.已知圆台的上、下底面半径分别为r,R,若有一球与圆台的上、下底面及侧面相切,则球的表面积为( )
A.4π(R+r)2B.4πr2R2
C.4πRrD.π(R+r)2
答案:C
解析:设圆台的一个轴截面为等腰梯形ABCD,如图,作DE⊥BC,交BC于点E.设球的半径为r1,则在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r.
由勾股定理得4r12=(R+r)2-(R-r)2,解得r1=Rr,故球的表面积为S球=4πr12=4πRr.
6.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且三条侧棱长分别为1,2,3,则其外接球的表面积是 .
答案:6π
解析:因为三棱锥的三条侧棱两两垂直,所以可以把这个三棱锥补成一个同一顶点处三条棱长分别为1,2,3的长方体.于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有(2R)2=12+(2)2+(3)2=6,即R2=32.
故其外接球的表面积S=4πR2=6π.
7.圆柱内有一个内接长方体ABCD-A1B1C1D1,长方体的体对角线长是102 cm,圆柱的侧面展开图为矩形,此矩形的面积是100π cm2,则圆柱的底面半径为 cm,高为 cm.
答案:5 10
解析:设圆柱底面半径为r cm,高为h cm,如图所示,
则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长,
则(2r)2+ℎ2=(102)2,2πrℎ=100π,
解得r=5,ℎ=10.
即圆柱的底面半径为5 cm,高为10 cm.
8.已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球,在圆锥里又有一个内切球.求:
(1)圆锥的侧面积.
(2)圆锥内切球的体积.
解:(1)如图,作出轴截面,
则等腰三角形SAB内接于圆O,
而圆O1内切于△SAB.
设圆O的半径为R,则有43πR3=972π,
所以R=9.
所以SE=2R=18.
因为SD=16,
所以ED=2.
连接AE,因为SE是直径,
所以SA⊥AE,
所以SA2=SD·SE=16×18=288,
解得SA=122.
又因为AB⊥SD,
所以AD2=SD·DE=16×2=32,
解得AD=42.
所以S圆锥侧=π×42×122=96π.
(2)设内切球O1的半径为r,
因为△SAB的周长为2×(122+42)=322,
所以12r×322=12×82×16,所以r=4.
所以内切球O1的体积V球=43πr3=2563π.
能力提升
1.若圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的表面积为( )
A.81πB.100π
C.168πD.169π
答案:C
解析:作出圆台的轴截面如图所示,O1,O分别为轴截面上、下底的中点,连接O1O,过点C作CE⊥AB于点E.设O1C=r,OB=r'=4r,高CE=h=4r.
则它的母线长l=ℎ2+(r'-r)2=(4r)2+(3r)2=5r=10,
∴r=2,r'=8.
∴S侧=π(r'+r)l=π(8+2)×10=100π,
S表=S侧+πr2+πr'2=100π+4π+64π=168π.
2.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)( )
A.2寸B.3寸
C.4寸D.5寸
答案:B
解析:由题意可知,圆台形天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.
因为积水深9寸,所以水面半径为12×(14+6)=10(寸),所以盆中积水的体积为π3×9×(62+102+6×10)=588π(立方寸),又盆口面积为π×142=196π(平方寸),
所以平地降雨量为588π196π=3(寸).
3.若正三棱柱的所有棱长均为a,且所有顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A.πa2B.73πa2
C.113πa2D.5πa2
答案:B
解析:设点O,O1分别为△ABC,△A1B1C1的中心,OO1的中点为D,
由题意得D为球的球心,
则AO=23×a×sin 60°=33a,半径R=AO2+DO2=a23+a24=7a212,
故S球=4πR2=4π×712a2=73πa2.
4.若圆锥的高等于其内切球半径的3倍,则圆锥的侧面积与球的表面积之比是( )
A.32B.23
C.12D.13
答案:A
解析:设球的半径为r,圆锥底面半径为R,母线长为l.
由题意可知,12×2R·3r=12×(2R+2l)·r,
所以l=2R,即轴截面是等边三角形.
所以R2+(3r)2=(2R)2,
得R2=3r2,所以S圆锥侧S球=πRl4πr2=32.
5.已知Rt△ABC的三条边分别为a,b,c(a>b>c).分别以三角形的边a,b,c所在直线为轴,其余两边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别为S1,S2,S3和V1,V2,V3,则它们的关系为( )
A.S1>S2>S3,V1>V2>V3
B.S1