八年级数学第一学期期末试卷（解析版）

这是一份八年级数学第一学期期末试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了精心选一选．，细心填一填．等内容，欢迎下载使用。
1. 关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（ ）
A. 对角相等B. 对边相等
C 对角线互相平分D. 对角线互相垂直
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，需要区分所有平行四边形共有的性质与特殊平行四边形才具有的性质，找出不一定正确的结论，即可作答．
【详解】解：依题意，平行四边形的基本性质是对角相等、对边相等、对角线互相平分，这是所有平行四边形都满足的性质，
∴选项A、B、C一定正确；
∵平行四边形不一定具备对角线互相垂直的性质，
∴D选项不一定正确，
故选：D．
2. 分式的值为0，则的值是（ ）
A. 0B. C. 1D. 0或1
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
3. 下列各个统计量中，不能反映一组数据集中趋势量是（ ）
A. 方差B. 平均数C. 众数D. 中位数
【答案】A
【解析】
【分析】根据初中统计中各统计量的作用判断即可．
【详解】解：∵平均数、众数、中位数都是反映一组数据集中趋势的统计量，方差是反映一组数据波动大小（离散程度）的统计量，
∴不能反映一组数据集中趋势的量是方差．
4. 一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形是（ ）
A. 六边形B. 八边形C. 十边形D. 十二边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式可得（n﹣2）•180°＝360°，解方程即可
【详解】解：设多边形的边数为n，
由题意得（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝10，
∴这个多边形为十边形，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形内角和定理与外角和的应用，解题的关键是掌握多边形内角和公式：（n﹣2）•180°．
5. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ）
A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答．
【详解】解：是中心对称图形，但不是轴对称图形
故选：B
6. 若，，则的值为（ ）
A. 1B. 3C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可得到结果，用到提取公因式法和完全平方公式．
【详解】解：∵
，
又∵，，
∴原式．
7. 某班七个合作学习小组人数如下：4，5，5，x，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（ ）
A. 5，5B. 6，5C. 6，5和6D. 6，5和7
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平均数中位数和众数的定义，先根据平均数求出x的值，再将数据从小到大排序，根据定义求出中位数和众数即可．
【详解】解：∵这组数据的平均数为6，共有7个数据，
∴这组数据的总和为 ，
∴，
将这组数据从小到大排列为：4，5，5，6，7，7，8，
∵7个数据的中位数是排序后第4个数据，∴中位数为6，
∵5和7都出现2次，出现次数最多，∴众数为5和7，
故选：D．
8. 已知下列各组多项式：①和；②和；③和；④和．上述各组中有相同公因式的有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查公因式的判断，解题思路为对每组中两个多项式分别因式分解，再判断是否有相同公因式，统计符合要求的组数即可．
【详解】解：① ，有相同公因式，；
② ，有相同公因式；
③ ∵，本组有相同公因式；
④ ，另一多项式为，本组无相同公因式；
综上，共有3组有相同公因式．
9. 分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（ ）
A ①②B. ②③C. ①③D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可．
【详解】解：，
当①②改变时，，故选项A不符合题意；
当②③改变时，，故选项B不符合题意；
当①③改变时，，故选项C不符合题意；
当③④改变时，，故选项D符合题意．
10. 如图，将平行四边形沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F．若，，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解四边形是平行四边形，且，得，，，，设，，再结合折叠性质得，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质，全等三角形的判定与性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，且，
∴，，，，
∴，
设，
∴，
由翻折性质得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵
∴，
在和中，
，
，故选项C正确，不符合题意；
∵，
与不垂直，故选项D不正确，符合题意，
故选：D．
11. 如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平移或旋转的定义，熟练掌握平移或旋转的定义是解题的关键．根据平移或旋转的定义进行判断即可．
【详解】解：如图，选项A，C，D中的三角形可以利用平移或旋转的方法得到．选项B中的三角形不能利用平移或旋转的方法得到．
故选：B．
12. 如图，P为等边三角形内一点，，，则以为边的三角形的面积为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，，推出，将绕点A逆时针旋转得到，得到是等边三角形，利用勾股定理求得，据此求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵P为等边三角形内一点，，且，
∴，，
∵，且，
∴，
∴，
将绕点A逆时针旋转得到，
则，，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴以为边的三角形的面积为，
∴以为边的三角形的面积为．
二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）．
13. 在中，若，则_______．
【答案】45
【解析】
【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补及内角和为的性质，通过等量代换建立关系求解的度数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，，且，
（平行四边形邻角互补），
，
又，，
，即，
将代入，
得：，
，
．
14. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可求解．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【详解】解：
．
故答案为：．
15. 如图，中，E是边AB（不含端点）上任意一点，若，，则_____ ．
【答案】8
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
16. 【新情境】小明家和小刚家到图书馆的路程都是，小明走的是平路，骑车的速度是．小刚需要走1km的上坡路和2km的下坡路，在上坡路的骑车速度是，在下坡路的骑车速度是．如果他们同时出发，________先到图书馆．
【答案】小明
【解析】
【分析】本题考查列代数式以及分式．正确的列出代数式是解决问题的关键．先分别求出小明和小刚用的时间，然后比较即可得出答案．
【详解】解：依题意，小明用的时间为，
小刚用的时间为，
∵且
∴小明先到图书馆．
故答案为：小明．
17. 对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分和4分四个等级，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图，根据图中信息，这些学生的平均分数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是从扇形图中获取信息，先求解分等级的人数，2分等级的人数，再求解平均数即可．
【详解】解：由题意得总人数为：（人），
所以分等级的人数为：（人），
2分等级的人数为：（人），
故平均分为：（分）．
故答案为：．
18. 如图，已知四边形中，，点E、F分别是边的中点，连接，则的长是______．

【答案】5
【解析】
【分析】取的中点G，连接，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，取的中点G，连接，

∵E、F分别是边的中点，G是的中点，
∴分别是的中位线，
∴且，且，
∵，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
19. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，设交于点，连接，当旋转角α的度数为 ____________ 时，是等腰三角形．
【答案】或
【解析】
【分析】先根据旋转的性质得到，再求出，进而求出，分，，三种情况讨论即可．
【详解】解：由旋转得：，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
分三种情况：
当，
∴，
∴，
此方程无解，故不存在；
当，
∴，
∴，
∴，
当，
∴，
∴，
∴，
∴当旋转角α的度数为或时，是等腰三角形．
20. 如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】在上截取，连接，过点D作于点E，利用旋转的性质证明，得到当点P与点E重合时，最短，即为的长，再根据直角三角形角的性质即可求解．
【详解】解：在上截取，连接，，过点D作于点E，如图，
由题意可得：，
由旋转的性质可得：，，
，即，
又，
，
，
当最短时，最小．
当点P与点E重合时，最短，即为的长．
，
，
．
，
，
，
，
∴则长的最小值为．
三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）．
21. （1）因式分解：
①；
②．
（2）化简：
①；
②．
【答案】（1）①；②；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）①先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；②利用完全平方公式，结合平方差公式进行因式分解即可；
（2）①先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答；②先将括号内的分式通分，再进行除法运算即可解答．
【详解】（1）解：①原式
；
②原式
．
（2）解：①
；
②


．
22. 如图所示，三角形和三角形关于某一点成中心对称，其中边的对应边是．请在图中画出中心对称点，并补全三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作中心对称图形，根据题意先作关键点的对应点，最后连接即可．
【详解】解：如图，连接，相交于点O，连接并延长至点，使，连接，，
则点O和三角形即为所求．
23. 张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了个工作日的上班路上用时，其中个工作日走路线一，另外个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图：
（1）根据以上数据把表格补充完整：
（2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少个统计量说明理由．
【答案】（1），，，；
（2）路线一，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了折线统计图、平均数、众数、中位数、方差与极差，解决本题的关键是根据折线统计图中提供的数据计算出平均数、众数、中位数、方差与极差，再根据这些数据作出决策．
（1）根据平均数、众数、中位数、方差与极差的定义求出这些数据；
（2）由（1）中计算出的数据可知：路线一的平均数，中位数和众数相同均比路线二的高，极差为，路线一的方差与极差都比路线二的方差与极差小，路线一的用时比较稳定．
【小问1详解】
解：由折线统计图可知，上班路上走路线一所用的时间为：，，，，，，，，，，
上班路上走路线一的平均时间为，
上班路上走路线一的个数据中出现次数最多的是，共出现了次，
路线一的众数是；
由折线统计图可知，上班路上走路线二的数据排序为：，，，，，，，，，，
这组数据的中位数为：，极差为；
故答案为：，，，；
【小问2详解】
解：张老师应选择路线一，
理由如下：路线一的平均数，中位数和众数相同，
路线一的方差与极差都比路线二的方差与极差小，
路线一的用时比较稳定．
24. （1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明．
（2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点．
①求证：四边形为平行四边形；
②若，求的长．
【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解；
（2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案．
【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
同理：，
∴，
即对角线互相平分，
∴四边形为平行四边形；
（2）①证明：∵点D、E分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，且，
∵点G、F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
②解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∵点G为的中点，
∴．
25. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【答案】（1）航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
（2）当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可；
（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
小问2详解】
解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得，
，
∵，
∴y随m增大而增大，
∴当时，y有最小值，最小值为，
此时有，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
26. 如图，在中，，对角线相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转一个角度（），分别交线段于点E、F，已知，，连接．
（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并证明；
（2）如图②，当时，请写出线段与的数量关系，并证明；
（3）如图③，当时，求的面积．
【答案】（1），见解析
（2），见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，则，由证得，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，推出，求出，即，由，即可得出结论；
（3）由，得出，证得四边形是平行四边形，则，由得，得出，由得，由，，则．
【小问1详解】
解： ；理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
，
；
【小问2详解】
解：；理由如下：
，
，

四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
由（1）得：，
，
由（）得：，
，，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积计算等知识；熟练掌握平行四边形的性质、证明三角形全等、同底等高的三角形面积相等是解题的关键．
平均数
中位数
众数
方差
极差
路线一
________
________
路线二
________
________