高中数学人教A版 (2019)必修 第一册三角函数的应用教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册三角函数的应用教学设计及反思，共8页。教案主要包含了知识回顾，学以致用，能力提升，检测反馈，思维梳理，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
5.7.1三角函数的应用（第一课时）
教学目标
1.通过对简谐运动的统计图和图象的研究，能建立解析式，并能根据解析式作出图象.
2.通过对弹簧振子和交变电流等简谐运动的研究，理解振幅、周期、频率、相位、初相的概念，并能应用概念建立与实际生活的联系.
3.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
4.将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型.提高学生数学抽象、数学建模、数学运算、数学分析的核心素养.
教学内容分析：本节课是在学生学习了三角函数y=Asin（ωx+φ ）的图象及性质的基础上进一步的学习，学生已经了解参数对函数图象的影响，并会通过解析式求函数的周期。所以本节课的重点就放在了函数的应用上，以正弦函数与音乐的关系为切入点，让学生体会三角函数与简谐运动的内在一致性。再通过研究弹簧振子运动和交流电的产生过程中三角函数所起到的作用来深刻感知三角函数模型应用的灵活性、广泛性。
教学对象分析：学生在前面的学习中对于三角函数已经有了一定的认知，关于正弦型函数有了浅显的了解，但是对于函数与实际问题的联系并不清楚。我们希望通过本节课的学习学生能在实际情境中理解三角函数这个模型，并能将三角函数的核心知识、思想方法和实际应用有机的结合，建立恰当的模型解决实际问题。
教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型.
教学过程
一、知识回顾
【引言】我们上一节共同研究了三角函数y=Asin（ωx+φ ）的图象及性质，那么
1.函数的y=Asin（ωx+φ ）周期怎么求？
2.参数A、ω、φ对图象有什么影响？
声音中也包含着正弦函数，纯音的数学模型就是函数 y=Asinωt .音有四要素：音调、响度、音长和音色.这都与正弦函数的参数有关.你能尝试利用信息技术，去探索它们之间的关系吗？
（辅助学生用几何画板进行相关探究）
【过渡语】除了音乐外现实生活中还存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。物理中有很多的运动就具有周期性，比如弹簧振子运动和交流电的产生等。今天我们就通过这些例子来说明三角函数模型的简单应用。
问题探究
探究一
【引入语】振子的振动具有循环往复的特点，你了解弹簧振子是如何运动的吗？
课前同学们通过学习物理课或者多媒体等媒介收集了大量的资料。请同学们展示一下。
【活动一】第一小组学生展示收集的视频和文字资料。
【问题１】某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位:s）与位移y（单位:mm）之间的对应数据如表5.7.1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
【分析题意】统计表中的数据直观明了，呈现周期性的变化。但是如何变化不容易发现规律。我们需要把表转换成比较容易观察函数特点的形式。我们都知道散点图可以较为直观地分析两个变量的关系。所以我们可以根据数据在给定的坐标系中作出散点图。
【学生活动】学生在给定的坐标系中作出散点图.
【问题】根据已知数据作出散点图，，由振子振动的物理学原理可知，其位移随时间狋的变化规律可以用函数y=Asin（ωt+φ ）来刻画．那根据前面所学如何求函数y=Asin（ωt+φ ）中A，ω，φ.
【学生任务】求函数y=Asin（ωt+φ ）中A，ω，φ .
【学生展示】由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此A＝20；
振子振动的周期为0.6s，即2πω= 0.6 解得 ω ＝10π3；
再由初始状态（t＝0）振子的位移为-20，可得sinφ = -１，因此φ ＝- π2．
所以振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin（10π3t - π2） t∈[0，＋∞）．
【归纳总结】现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．
可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ ）, x∈［0，＋∞）表示，其中A＞0， ω ＞0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
1、振幅：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
2、周期与频率：这个简谐运动的周期是T＝2πω，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
这个简谐运动的频率由公式f=1T＝ω2π 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
3、相位和初相：ωx+φ称为相位；x＝0时的相位φ 称为初相．
【学生任务】填写学案：函数的物理意义：
当函数时，振幅为 ；周期为 ；
频率是 ；相位为 ；初相为 。
【问题】通过这个问题，我们是如何通过弹簧振子这个实际问题来建立三角函数模型的，请同学们先自主思考再小组交流。
【学生总结】根据题意建立三角函数模型，利用三角函数的性质求出结果，进而使实际问题得到解决．
【教师活动】对学生总结做出点评，并对其进行补充完善，强调需要注意问题。
步骤可记为：审读题意，提炼数学关系
→根据关系，建立三角函数模型
→利用性质，求得模型结果
→将所得结论“翻译”为实际问题．
注意：关注实际意义，先求定义域.
【总结点拨】通过提这个实际问题问题，让学生体会由实际问题建立三角函数模型的过程，培养和发展数学建模、数学抽象、直观想象的核心素养。
探究二
【过渡语】我们生活中到处都有电的影子，小到电子手表大到电脑、空调，各种各样的电子产品都与我们息息相关。这些产品的正常运转离不开电流的支持，特别是交流电。下面请我们的第三小组代表为大家介绍什么是交流电以及交流电的产生原理。
【学生任务】介绍什么是交流电，并通过视频演示交流电产生原理。
【衔接语】接下来我们看个具体实验。
【问题2】某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的图象为图（1）.将其放大得到图（2）.
（1）求电流i随时间t变化的函数解析式.
（2）
【分析题意】由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可用 i =Asin（ωt+φ）来刻画，其中ω2π表示频率，A表示振幅，φ 表示初相．
【学生任务】根据图象求函数解析式及其函数值。
【学生展示】由图 (2)可知，电流最大值为5A，因此A＝5；电流变化的周期为T=150s，频率为50Hz，即ω2π＝50，解得ω＝100π；再由初始状态（t＝0）的电流约为4.33A，可得sinφ =0.866，因此 φ 约为π3．
所以电流i随时间t变化的函数解析式是: i=5sin（100πt+π3）,t∈[0，＋∞）．
当t=0时，i=532; 当t=1600时，i=5; 当t=1150时，i=0;
当t=7600时，i=−5; 当t=160时，i=0;
【问题】回顾问题2的解答过程，你能总结一下如何根据给定的具有周期性的图象求出对应的函数解析式吗？
【归纳总结】先观察所给图象的区间长度及周期个数算出周期T，从而求出ω；观察图象的最高点、最低点及其平衡位置求出A；将t=0代入方程求得φ值。
【总结点拨】通过该问题的思考归纳，进一步提升数学建模思想的应用，并深切体会到数学知识源于生活、用于生活又服务于生活的实用价值。
三、学以致用
如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角与时间t(s)满足函数关系式，则当t=0时，角的大小及单摆频率是（ ）
2.如图所示的是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少?
（2）写出这个简谐运动的函数解析式.
四、能力提升
一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是：
（1）画出它在一个周期闭区间上的图象；
（2）回答以下问题：
①小球开始摆动（即t=0）时，离开平衡位置多少cm？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少cm？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
五、检测反馈
一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示，由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位：V)关于时间t(单位：s)的函数解析式。
六、思维梳理
【师生活动】教师引导学生回顾本单元的学习内容，并回答以下问题：
1.概括本节知识脉络
2.本节知识研究过程中用到了哪些思想方法？
3.通过本节知识的学习，谈谈你对三角函数又有了哪些新的认识？
七、课堂小结
布置作业
【必做作业】
1、函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）


2、如图，某地夏天从时用电量变化曲线近似满足函数.（）
（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
3、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置（静止时位置）的高
度h厘米由关系式确定,以t为横坐标，h为纵坐标，作出
这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题.
（1）小球开始振动时（t=0）的位置在哪里？
（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
（3）经过多少时间小球往复运动一次？
（4）每秒钟小球能往复振动多少次？
交流电的电压（单位：伏）与时间（单位：秒）的关系可表示为下式：
求：（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间。
【选做作业】
利用三角函数模型解决一个生活中的实际问题，并生成建模报告或论文.