人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优秀测试题

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一.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.
(1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
(2)简谐运动的周期是T＝eq \f(2π,ω)，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
(3)简谐运动的频率由公式f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
(4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相.
2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
3.在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：
(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；
(2)T＝eq \f(2π,ω)称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；
(3)f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.
考点一 三角函数在物理中的应用
【例1-1】（2023云南）(多选)如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断不正确的是（ ）
A．该质点的振动周期为
B．该质点的振幅为
C．该质点在和时的振动速度最大
D．该质点在和时的加速度为零
【答案】ABC
【解析】由图象可知该质点的振动周期为,故A是错误的；
该质点的振幅为,故B是错误的；
该质点在和时的振动速度是零，所以C是错误的，
该质点在和时处于平衡位置，速度达到最大，加速度为零，D正确，
故选：D
【例1-2】（2023春·北京·高一校考期中）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，下列结论正确的是（ ）
A．小球的最高点和最低点相距 B．小球在 时的高度
C．每秒钟小球往复运动的次数为D．从 到 ，弹簧长度逐渐变长
【答案】D
【解析】由题意弹簧挂着的小球上下振动，它相对于平衡位置的高度由关系式确定，
则小球的最高点和最低点相距平衡位置都是，故小球的最高点和最低点相距，A错误；
小球在 时的高度，B错误；
由知，最小正周期，则频率为，
则每秒钟小球往复运动的次数为，C错误；
由题意知当时，单调递减，时，小球在平衡位置，
因为且，故，所以即递减，
时，小球在平衡位置以上位置，时，小球在平衡位置以下位置，
即小球此时从平衡位置以上位置逐渐向平衡位置以下位置运动，故弹簧长度逐渐变长，D正确，
故选：D
【一隅三反】
1．（2023春·辽宁沈阳）（多选）已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t（s）时离开平衡位置的位移s（cm）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（ ）．
A．小球开始时在平衡位置上方2cm处
B．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处
C．经过小球重复振动一次
D．小球振动的频率为
【答案】BCD
【解析】A选项，时，，即小球开始时在平衡位置上方cm处，故A错误；
B选项，由题可知s的最小值为，即小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处，故B正确；
C选项，由题可知，最小正周期为，即经过小球重复振动一次，故C正确；
D选项，由C选项分析可知周期为，则振动的频率为，故D正确.
故选：BCD
2．（2023·全国·高一假期作业）（多选）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D．该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零
【答案】BC
【解析】由题图可知，运动周期为，故A错误；
该质点的振幅为5 cm，B正确；
由简谐运动的特点知，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，
质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，故C正确，D错误．
故选：BC．
3．（2023秋·安徽阜阳 ）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ）

A．B．C．1sD．
【答案】C
【解析】因为，，，所以，又，所以，
则，由可得，
所以，，
所以，，故，
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.
故选：C.
4．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设点的纵坐标为，
由题意可得，得.
因为起始点在第四象限，所以初相，
由图可知，所以.
所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是.
故选:A.
考点二 三角函数在生活中的应用
【例2】（2023秋·四川绵阳）（多选）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是（ ）

A．筒车的半径为3m，旋转一周用时60s
B．筒车的轴心距离水面的高度为
C．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点
D．时，盛水筒处于向上运动状态
【答案】AC
【解析】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；
的最小正周期，旋转一周用时，A正确；
对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B错误；
对于C，令，，
，解得：，
又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，C正确.
对于D，当时，，此时单调递减，
盛水筒处于处于向下运动的状态，D错误.
故选：AC.
【一隅三反】
1．（2023·北京）如图，某港口某天从到的水深（单位：m）与时间（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天的水深为（ ）

A．B．4m
C．D．
【答案】A
【解析】由题图可得，，则，
当时，取得最小值，即，解得，
∵函数的图象过点，
∴，又，则，所以，∴，
∴．
当时，，即估计当天的水深为．
故选：A.
2．（2023秋·辽宁沈阳 ）（多选）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水下则为负数）、与时间（单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（ ）

A．筒车的半径为3m，旋转一周用时30s
B．筒车的轴心距离水面的高度为
C．时，盛水筒处于向上运动状态
D．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点
【答案】BD
【解析】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；
的最小正周期，旋转一周用时，A错误；
对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确；
对于C，当时，，此时单调递减，
盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误；
对于D，令，，
，解得：，
又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确.
故选：BD.
3．（2023秋·湖南株洲 ）（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为12
B．
C．时，过山车距离地平面40m
D．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s
【答案】ACD
【解析】由题意可知，周期满足，得，
所以，得，又，解得，.
所以，又，即，得，因为，所以，所以.
对于A，，A正确；对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，由，得，即，，，解得，，
所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是，D正确.故选：ACD.
考点三 三角函数模型的拟合
【例3】（2023春·贵州遵义）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（ ）
A．，B．
C．D．，
【答案】D
【解析】设简谐振动的解析式为，其中
由表格可知：振幅，周期，过点，
由周期，且，可得，
由过点，可得，即，则，
可得，
所以简谐振动的解析式为.故选：D.
【一隅三反】
1．（2023秋·高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象.
(1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
【答案】(1)，，
(2)5个小时
【解析】（1）由表中数据知，所以.
由，，得.
由，，得，故，，
所以函数解析式为：.
（2）由题意知，当时才可对冲浪者开放，所以，
所以，所以，，
即，.
又因为，故可令
得，或，或.
所以在规定时间10：00至20：00之间，有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00.
2．（2023春·江西吉安·高一校联考期中）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据：
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.

(1)试根据数据表和曲线，求出的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
【答案】(1)
(2)16小时.
【解析】（1）根据数据，，
，，，
，
函数的表达式为；
（2）由题意，水深，
即，
，
，，1，
或；
所以，该船在至或至能安全进港，
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.
3．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：
假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
(1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；
(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．
【答案】(1)；
(2)①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.
【解析】（1）观察图形知，，解得，，，解得，
显然函数的图象过点，即，又，因此，
所以函数表达式为.
（2）①依题意，，整理得，
即有，即，
解得或，
所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.
②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货，
设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为，
如图，函数与的图像交于点，
即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，
令，即，，
解得，显然，
该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，
综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
s
0.1
10.3
1.7
20.0
17.7
10.3
0.1
（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
（小时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0