数学必修 第一册三角函数的应用测试题

这是一份数学必修 第一册三角函数的应用测试题，文件包含人教A版必修第一册高一数学上学期同步考点分类训练专题57三角函数的应用4类必考点原卷版docx、人教A版必修第一册高一数学上学期同步考点分类训练专题57三角函数的应用4类必考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc123585135" 【考点1：几何中的三角函数模型】 PAGEREF _Tc123585135 \h 1
\l "_Tc123585136" 【考点2：三角函数在实际生活中的应用】 PAGEREF _Tc123585136 \h 6
\l "_Tc123585137" 【考点3：三角函数在物理学中的应用】 PAGEREF _Tc123585137 \h 11
\l "_Tc123585138" 【考点4：数学文化及新定义】 PAGEREF _Tc123585138 \h 15
【考点1：几何中的三角函数模型】
【知识点：几何中的三角函数模型】
1．如图，已知OAB是半径为2km的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的动点，过点C作CH⊥OA，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且OH=2OD，则该风景区面积的最大值为（ ）
A．52km2B．114km2C．3km2D．178km2
【答案】A
【分析】设∠COA=θ，其中θ∈0,π2.利用θ表示风景区面积，求出最大值即可.
【详解】设∠COA=θ，其中θ∈0,π2，则CH=2sinθ，OH=2csθ.又OH=2OD，则OD=csθ.
则风景区面积S=12⋅OA⋅CH+OH⋅OD=2cs2θ+2sinθ.又cs2θ+sin2θ=1，则2cs2θ+2sinθ=−2sin2θ+2sinθ+2=−2sinθ−122+52≤52，当且仅当sinθ=12，即θ=π6时取等号.故选：A
2．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为12,32，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是____________.
【答案】−32,12
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，结合三角函数的定义计算点M所处位置M'的坐标．
【详解】解：由题意可得图：
每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2；点M的初始位置坐标为12,32，若角的始边为x轴的非负半轴，此时角α终边所在直线为OM，则sinα=32,csα=12运动到3分钟时，形成的角度为α+π2，所以sinα+π2=csα=12,csα+π2=−sinα=−32动点M所处位置M'的坐标是−32,12．
故答案为：−32,12．
3．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l等于表高h与天顶距θ正切值的乘积，即l=htanθ．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为θ1和θ2，则tanθ1−θ2=（ ）
A．−1B．−17C．13D．1
【答案】B
【分析】根据已知条件得出tanθ1,tanθ2的值，利用两角差的正切公式可得结果.
【详解】由题意知tanθ1=2,tanθ2=3，所以tanθ1−θ2=tanθ1−tanθ21+tanθ1tanθ2=2−31+2×3=−17故选：B.
4．重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引大量游客来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的A，B两点间的距离，现在旁边取两点C，D测得CD=300米，∠ADB=3π4，∠BDC=∠DCA=π12，∠ACB=2π3（假设A，B C，D四点在同一平面上，则AB两点的距离为______米.
【答案】3005
【分析】画出图形，在三角形中，结合正余弦定理即可解决.
【详解】如图所示：在△BCD中，CD=300，∠BDC=π12=15∘，
∠BCD=∠ACB+∠DCA=2π3+π12=135∘，∠CBD=180∘−15∘−135∘=30∘，
由正弦定理得：BDsin135∘=300sin30∘，解得BD=3002，在△ACD中，CD=300，∠DCA=π12=15∘，∠ADC=∠ADB+∠BDC=135∘+15∘=150∘，
∠CAD=180∘−15∘−150∘=15∘，所以AD=CD=300，在△ABD中，由余弦定理得，
AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB=3002+30022−2×300×3002×cs135∘ =3002×5，所以AB=3005所以AB两点的距离为3005.故答案为：3005
5．要把半径为10的半圆形木料截成矩形，应该怎么截取，才能使矩形面积达到最大？
【答案】当α=π4时，矩形面积达到最大
【分析】得出长方形截面面积表达式，转化为求函数最值问题
【详解】易得OB=Rcsα,AB=Rsinα,α∈0,π2，
∴S=2OB⋅AB=2Rcsα⋅Rsinα=R2sin2α=100sin2α，
∴sin2α=1,α=π4 ，此时长方形截面面积最大为100.即当α=π4时，矩形面积达到最大
6．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC'面积达到最大.
【答案】60°##π3
【分析】遮阴影面ABC'面积达到最大即是点C'到AB的距离最大，根据正弦定理表示出点C'到AB的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．
【详解】如图，过点C作CD⊥AB交AB于D，连接C'D，由题可知C'D⊥AB
因此∠C'DC就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为C'D⊥AB，所以求遮阴影面ABC'面积最大，即是求C'D最大，其中已知∠CC'D=30°，CD=32
设∠DCC'=θ，θ∈0°,150°，根据正弦定理CDsin30°=C'Dsinθ⇒C'D=62sinθ
当θ=90°时遮阴影面ABC'面积最大，此时∠C'DC=60°故答案为：60°
7．某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD的长AB＝2千米，宽AD＝1千米，半圆的圆心P为AB中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧AE、线段EF、FC组成的观光道路，其中线段EF经过圆心P，点F在线段CD上（不含线段端点C，D），已知道路AE，FC的造价为每千米20万元，道路EF造价为每千米70万元，设∠APE＝θ，观光道路的总造价为y万元．
(1)试求y与θ的函数关系式y＝f（θ），并写出θ的取值范围；
(2)当θ为何值时，观光道路的总造价y最小．
【答案】(1)y=20θ+90+70−20csθsinθπ4＜θ＜3π4，(2)θ=π3
【分析】（1）过点 F 作 FO⊥AB，垂足为 O，利用三角函数求出FP,FC，由弧长公式求出AE，即可求解；
（2）由导数正负研究原函数增减，确定最值，进而求出总造价y取最小值时的θ．
【详解】（1）由题意可知 ∠APE＝θ，过点 F 作 FO⊥AB，垂足为 O，则∠FPB＝θ，
所以EF＝1+1sinθ，FC＝1−1tanθ，y=20θ+1−1tanθ+701+1sinθ =20θ+90+70−20csθsinθπ4＜θ＜3π4；
（2）由（1）得y'=20+20sin2θ−70csθ+20cs2θsin2θ=40−20cs2θ−70csθsin2θ，
令y'=40−20cs2θ−70csθsin2θ=0， 即2cs2θ+7csθ−4=0,2csθ−1csθ+4=0，
csθ=12 或csθ=−4（舍去），θ=π3∈π4，3π4，
所以 θ=π3 时，y 最小，即当 θ=π3 时，观光道路的总造价最小．
【考点2：三角函数在实际生活中的应用】
【知识点：三角函数在实际生活中的应用】
1．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A1,−3出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为x,y，其纵坐标满足y=ft=Rsinωt+φt≥0,ω>0,φ0,−π2