人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用教案，共5页。
课程基本信息
课例编号
2020QJ10SXRA063
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
三角函数的应用（1）
教科书
名：普通高中教科书数学必修第一册 A版
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
马琳
北京市第二十二中学
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
1.通过对两个实际问题的学习，能认识三角函数模型是描述周期变化的重要数学模型，了解简谐运动的函数模型中参数的物理意义；
2.在问题研究过程中体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，增强应用意识，感受数学应用价值；
3.在实际问题的解决过程中感受信息技术处理数据的优势， 提升数学建模素养.
教学重点： 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点：了解振子的运动原理，建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
1分钟
温故知新
我们前面学习了角与弧度、三角函数概念与性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换的内容，今天我们一起来学习三角函数的应用．
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，例如地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体作匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等.
如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。本节课我们将通过两个具体实例，说明三角函数模型的简单应用。下面请大家先来看第一个问题．
10分钟
学以致用
学以致用
问题１ 某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：ｓ）与位移y（单位：ｍｍ）之间 的对应数据如表5.7-1所示。试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式 ．
教师：我们可以看到这个问题是研究弹簧振子随时间呈周期性变化的问题，题目给出了某个振子在完成一次全振动的过程中，时间t与位移y的对应数据。首先我们一起来看一下物理当中的弹簧振子完成一次全振动的过程。
教师：我们可以看到振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数 y=Asin(ωx+φ)来刻画．这里自变量是t,函数值是y.
追问1：我们进一步观察时间和位移之间的三角函数关系y=Asin(ωx+φ)，要想确定这个函数解析式，我们需要确定三个量.A, ω，φ.通过来看表格中的具体数据，请大家想想这些数据的物理意义是怎么样的？他们又对应着什么数学含义？
在这个表中，我们可以不需要计算就能直接得出自变量的t的值所对应的y的值，比如时间t=0.00时，弹簧振子的位移是-20.并且可以从表格中看出在t=0.00和t=0.60时所对应的位移y是相同的．而且能看到当t=0.30时所对应的y值是20.
追问2：我们知道函数有三种常用的表示方法．解析法、列表法和图象法.
教师：我们可以看到表格1就是通过列出表格来表示两个变量t与y之间的对应关系.
如果根据已知数据作出散点图，如图5.7-1所示.
追问3：请同学们想一想，散点图可以作为这个函数的图象吗？从散点图中我们是否能得到上面的信息呢？它和表格1的差别又是怎样的呢？
教师：首先我们要知道，函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点.
教师：从散点图中我们可以直观形象地看到随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们进一步研究函数的性质.
当然我们也可以从散点图中看到函数值的最高点和最低点，同时可以看到点的位置先升高再降低，并且具有周期性.
追问4：我们知道，弹簧振子成周期变化，那么它的一个最小正周期又是多少呢？我们怎么能通过散点图得到呢？
教师：由散点图可以看到，在t=0.00和t=0.60时所对应的位移y是相同的，于是可以得出振子振动的周期为0.6ｓ，进而可以得出即2πω=0.6，于是解得ω=10π3.
教师：振子振动时位移的最大值为20ｍｍ，因此A＝20；振子振动的周期为0.6ｓ，即2πω=0.6，解得ω=10π3 ；再由初始状态（t＝0）振子的位移为-20，可得sinφ=-1，因此φ=-π2．所以振子位移关于时间的函数解析式为
y=20sin10π3t-π2,t∈0,+∞.
3分钟
技巧方法
通过这道例题，我们能看到函数的三种表示，这三种表示分别是解析法、图象法和列表法.
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，即将两个变量之间的对应关系，用一个等式来表示。我们中学阶段所研究的函数主要是能够用解析式表示的函数.
解析法的优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.
2、图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，图象法也常常用于生产和生活中，优点是直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值变化的趋势，有利于我们研究函数的某些性质.
3、列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，我们在生活中也经常遇到使用列表法的实例，如银行中利率表、列车时刻表等。列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
从上面我们可以看到这三种表示法有各自的优点，我们以后学习的重点是要在面对实际情境时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
2分钟
技巧方法
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为 “简谐运动”． 可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asinωx+φ,x∈[0,+∞) 表示，其中A＞０，ω＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
这个简谐运动的周期是T=2πω，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
这个简谐运动的频率由公式f=1T=ω2π给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往 复运动的次数；
ωx+φ称为相位；x＝０时的相位φ称为初相．
可以看到我们在物理学中把三角函数中的A, ω，φ三个参数都赋予了物理意义.
5分钟
基本应用
我们可以看下面这个例子复习上面学习的内容．
练习：如图所示的是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（2）写出这个简谐运动的函数解析式．
解：(1) 根据图象所示，简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离。所以这个题目中的振幅A=3(cm),观察得到振子从B到C应该是半个周期，所以半周期是2，T=4（s）,频率f=14(Hz).
(2)由（1）可得y=3sinπ2x+φ.由点（1.2,0）在图象上代入，也就是当x=65，0=3sinπ2×65+φ=3sin3π5+φ,即sin3π5+φ=0，可得3π5+φ=π+2kπ,φ=2π5+2kπk∈Z.取φ=2π5，则函数解析式为y=3sinπ2x+2π5．
1分钟
综合应用
问题2如图5.7-2(1)所示的是某次实验测得的交变电流i（单位：Ａ）随时间t（单位：ｓ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图5.7-2(2)．
（１）求电流i随时间t变化的函数解析式；
（２）当t=0,1600,1150,7600,160时，求电流i．
2分钟
技巧方法
教师：根据我们物理中的知识，交变电流的产生原理也是一个典型的具有周期变化规律的物理现象．将实际测得的图象放大，我们得到图（2）．
追问1：我们为什么要放大图象？
追问2：观察这个函数图象以及根据物理知识，我们知道电流随时间变化应该满足三角函数关系，那么要确定这个函数解析式，我们需要哪些特征值？
教师：根据前面例一的学习，我们知道要想确定三角函数关系，需要确定通过图象可以直观形象地看出随着自变量的变化，相应函数值变化的趋势，以及函数的最高和最低点和函数的周期． 因为这里是个实际问题，所以我们都是取近似值．
追问3：这里是个实际问题，所以取近似值。由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可用i=Asin(ωt+φ)来刻画，其中ω2π 表示频率，A表示振幅，φ表示初相．根据前面例一的学习我们可以知道，我们可以从图象的几何特征来对函数作出代数解释．
由图5.7-2(2)可知，电流最大值为5A，因此A=5；电流变化的周期为150s频率 为50Hz，即ω2π=50，解得ω＝100π；再由初始状态(t＝0)的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为π3．所以电流i随时间t变化的函数解析式是
i=5sin100πt+π3,t∈0,+∞.
追问4：解析法的优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。所以我们当t=0，1600，1150，7600，160时，我们可以求出相应的电流．于是得到
当t=0时，i=532．
当t=1600时，i=5．
当t=1150时，i=0．
当t=7600时，i=-5．
当t=160时，i=0．
我们可以看到当时间分别为上述值时，可以得到相应的电流值．
1分钟
画龙点睛
例2我们分别从图象到解析式，从应用解析式求出了任意一个自变量的值所对应的函数值，最后我们从数学和物理的角度分别来看数据的意义。经过本节课的学习，我们认识到三角函数模型是描述周期变化的重要数学模型，主要了解简谐运动的函数模型中参数的物理意义；同时在问题研究过程中体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，增强了我们的应用意识，感受了数学的应用价值；同时在实际问题的解决过程中感受信息技术处理数据的优势， 提升了我们的数学建模素养.