高中数学5.7 三角函数的应用教案

《5.7三角函数的应用》

教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第七节《三角函数的应用》。以下是本节的课时安排：

二、学情分析

   三角函数是一种特殊的周期函数，既可以联系物理、生物、自然界中的周期现象，也可以从已学过的指数函数、对数函数、幂函数等得到启发，还要注意与锐角的三角函数建立联系。

三、学习目标

1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题，提升数学运算的核心素养；

2．会将实际问题抽象为三角函数模型，培养数学建模的核心素养。

四、教学重点

重点：会用三角函数解决一些简单的实际问题；

难点：体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

五、教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散；下联是：潮长长　长长长　长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：

江心屿

探究　1.仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？

2.以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？

提示　1.水深随时间的变化呈周期变化.

2.若用平滑的曲线连接各点，则大致呈正弦曲线.

（二）三角函数在物理中的应用

在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相．

【做一做】函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)

A．3π，，　　　　　　 B．6π，，

C．3π，3，－  D．6π，3，

【答案】B

　（三）典型例题

1.　三角函数在物理中的应用

例1.已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．

①小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？

②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

③经过多长时间小球往复振动一次？

【解析】列表如下：

描点、连线，图象如图所示．

①将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，

所以小球开始振动时的位移是2 cm.

②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.

③因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.

例2.  已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ).

①如图是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

②如果t在任何一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

【解析】①由题图可知A＝300.

设t1＝－，t2＝，则周期T＝2(t2－t1)＝2＝，∴ω＝＝150π.

又当t＝时，I＝0，即sin＝0，而|φ|＜，∴φ＝.

故所求函数的解析式为I＝300sin.

②依题意，周期T≤，即≤(ω＞0)，∴ω≥300π≈942.48.

又ω∈N*，故ω的最小正整数值为943.

【类题通法】三角函数解决物理问题的三个关键量

(1)物体运动的初始位置，即初相．

(2)完成一次运动需要的时间，即周期．

(3)离开平衡位置的最大位移，即振幅．

【巩固练习1】弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：

(1)振动的振幅、周期和频率；

(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移．

【解析】 (1)设振幅为A，则2A＝20 cm，所以A＝10 cm.

设周期为T，则＝0.5 s，所以T＝1，所以f＝1 Hz.

(2)振子在1 s内通过的距离为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200 (cm)．

5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.

2.三角函数在生活中的应用

例3. 估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)＝sin (t－79)＋12，其中t(t∈Z)表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．

(1)在波士顿，k＝6，试画出当0≤t≤365时函数的图象；

(2)在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？

(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时．

【解析】(1)先用五点法作出f(t)＝3sin (t－79)的简图，

由(t－79)＝0及(t－79)＝2π，得t＝79及t＝444.

当t＝0时，f(0)＝3sin (－79)≈3sin(－1.36)≈－2.9.

∵f(x)的周期为365，∴f(365)≈－2.9.

将f(t)在[0,365]上的图象向上平移12个单位，就得D(t)的图象(如图所示)．

(2)白昼时间最长的一天，即D(t)取最大值的一天，此时t≈170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t≈353时D(t)取最小值，即12月20日(闰年除外)白昼最短．

(3)D(t)>10.5，即3sin (t－79)＋12>10.5，

sin (t－79)>－，t∈[0,365]．

∴292>t≥49,292－49＝243.故约有243天的白昼时间超过10.5小时．

【类题通法】已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般较容易，只需根据函数解析式并结合题中所提供信息即可求解．

【巩固练习2】某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：

f(t)＝10－2sin，t∈[0,24)．

(1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？

【解析】(1)因为f(t)＝10－2sin，

又0≤t＜24，所以≤t＋＜，

－1≤sin≤1.

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．

由(1)得f(t)＝10－2sin，

故有10－2sin＞11，

即sin＜－.

又0≤t＜24，所以＜t＋＜，

即10＜t＜18.故在10时至18时实验室需要降温．

3.拟合三角函数模型

例4.某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.

经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b的图象．

(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)

【解析】(1)由已知数据，描出曲线如图：

易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，

∴ω＝＝，∴y＝3sin t＋10.

(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，

由y≥11.5，得3sin t＋10≥11.5，∴sin t≥.①

∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π.②

由①②得≤t≤π或π≤t≤π.

化简得1≤t≤5或13≤t≤17.

∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．

【类题通法】在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤

(1)根据原始数据，绘出散点图；

(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；

(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；

(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．

【巩固练习3】　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ω t＋b的图象．

(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；

(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？

【解析】(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝.

又t＝0时，y＝1.5，

所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cos t＋1(0≤t≤24)．

(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以y＝cos t＋1>1，cos t>0,2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z，

即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．

又0≤t≤24，

所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9<t<15.

【设计意图】通过三角函数的实际应用，培养学生数学建模的核心素养。

（五）操作演练  素养提升

1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至(　　)

A．甲　　　　　　 B．乙

C．丙  D．丁

2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)

A．[0,5]  B．[5,10]

C．[10,15]  D．[15,20]

3．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin 160πt＋115，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　　)

A．60  B．70

C．80  D．90

4．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5        B．6        C．8  D．10

【答案】1.C  2.C  3.C   4.C

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固函数的表示法，树立用函数解析式解决相关问题的意识。

六、布置作业

完成教材：第244页  练习     第1，2，3题

         第248页  练习     第1,2题

         第249 页   习题5.7  第1，2,3题