高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直优质课教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直优质课教案及反思，共4页。
课程基本信息
学科
数学
年级
高一
学期
春季
课题
8.6.2直线与平面垂直
教学目标
1. 能通过具体实例，直观感知并借助于问题链，抽象出直线与平面垂直的定义；能说出直线与平面垂直的条件与结论；能用三种语言表达直线与平面垂直的定义；准确理解线面垂直与线面不垂直的含义；能判断直线与平面不垂直的位置关系；知道点到平面距离的概念.
2. 能从直线与平面垂直的定义出发和基本事实出发，明确判定定理所研究的问题；能通过实验活动探究并得出直线与平面垂直的判定定理；能说出判定定理的条件与结论；能利用判定定理证明空间基本图形位置关系的简单命题；初步了解直线与平面垂直的证明方法.
教学内容
教学重点：
1.直线与平面垂直的定义.
2. 直线与平面垂直的判定.
教学难点：
1. 直线与平面垂直的定义方式.
2. 直线与平面垂直判定定理的发现.
教学过程
一.创设情境，提出问题
问题1：实例中直线与平面呈现了什么样的位置关系？
通过三个实例（1）旗杆与地面（2）大桥上的立柱与水面（3）门轴与地面引导学生直观感知直线法与平面的位置关系，沿着数学家的足迹探究直线与平面垂直的定义，教学过程中渗透数学文化.
二．抽象概念，内涵辨析
问题2：阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面的影子BC位置关系如何？
虽然随着时间的变化，影子BC的位置在不断变化，但旗杆AB所在直线与影子BC所在直线始终保持垂直。也就是说旗杆AB虽在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直.
这就是古希腊数学家欧几里得《几何原本》中线面垂直的定义.
追问1：地面上不经过点B的直线与旗杆所在直线满足垂直关系吗？
对于平面内任意一条直线，过点B总你能找到一条直线与之平行，因为直线与直线垂直，根据线线异面直线所称角的定义，直线 也与直线垂直。这样我们就验证了平面内任意一条直线都与直线垂直。
1．直线与平面垂直的定义及画法
定义
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直
记法
⊥
有关概念
直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
定义给出的是一个对象成立的充要条件，因此，由定义可知：如果一条直线与平面垂直，那么这条直线就与平面内的任意一条直线垂直。也就是线面垂直可以转化为线线垂直。这就给我们体提供了一种判断或证明线线垂直的方法，尤其是异面直线垂直的判断与证明。
辨析1：若直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面.（×）
追问2：临江门大桥的斜拉索所在直线与桥面垂直吗？
结论：平面内存在一条直线与直线不垂直则直线与平面不垂直.
辨析2：若直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线.（×）
一条直线如果与平面相交会有两种角度关系，一种是垂直，一种是不垂直。如果线面垂直，则线与面内的任意一条直线垂直，这里的任意不能改为无数，如果线面不垂直，面内至少存在一条直线与之不垂直，但可以存在与之垂直的直线。
问题3：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
唯一性的证明直接证比较困难，一般我们可以采用反正法：即假设结论不成立，从假设出发，得出矛盾。
结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。
该点与垂足间的线段叫作垂线段，垂线段的长度叫作点到平面的距离。如：棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离。在具体模型中，我们要如何找出这条垂线呢？
三．观察实验，得出猜想
问题4：用定义来判断线面垂直方便吗？
定义需要面内检验所有的直线均与所证直线垂直，这是一个无限证明，不可操作。所以我们要转化为有限证明。
追问1：一条直线至少与平面内的几条直线垂直，才能够判定直线与平面垂直？
探究：如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？为什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
猜想：当折痕AD⊥BC且翻折后BD与CD不在一条直线上时，折痕AD与桌面所在的平面垂直.
追问2：如何验证折痕AD与桌面垂直？
可以借助信息技术进一步验证说明，还可以从向量角度加以论证：在平面内任取一条直线m，设直线m的方向向量为m，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数，使得
m=，则==0，即，所以.
2.线面垂直的判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形语言
例题练习，巩固理解
例1.如图，已知求证：
证明：在平面内取两条相交直线.
又且是两条相交直线
变式：如图，已知求证：
证明：在平面内取两条相交直线.
过分别作一个平面与交于，
则
又且是内两条相交直线
四.小结提升，形成结构
这节课我们主要学习了直线与平面的垂直关系，包括定义,判定定理以及平行性质，同时也初步了解了线面垂直的三种证明方法。在学习过程中主要应用了空间与平面的类似思想与化归思想。