人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用学案，共16页。
1 平面几何中的向量方法
① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.
Eg 点A、B、C、D不在同一直线上
(1)证明直线平行或共线：AB//CD⇔AB//CD
(2)证明直线垂直：AB⊥CD⟺AB⋅CD=0
(3)求线段比值：ABCD=λ且AB//CD⇔ AB=λCD
(4)证明线段相等： AB2=CD2⇔AB=CD
2 向量在物理中的应用
① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
② 力的合成与分解符合平行四边形法则.
【题型一】平面向量在几何中的应用
【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.

【典题2】 已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD，求证AC2+BD2=2(AB2+AD2) (即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).

【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.


【典题4】证明三角形三条中线交于一点.

巩固练习
1(★★) 如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB=1，CD=2，∠ABC=75°，∠BCD=45°，则线段EF的长是 ．
2(★★) 证明勾股定理，在Rt∆ABC中，AC⊥BC，AC=b，BC=a , AB=c，则c2=a2+b2.
3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4(★★)用向量方法证明 设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．
5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.
6(★★★) 已知向量OP1→、OP2→、OP3→满足OP1→+OP2→+OP3→=0，|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1．求证 △P1P2P3是正三角形．
【题型二】平面向量在物理中的应用
【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为|v0|=1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．
(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
【典题2】 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|=|F2|，F1与F2的夹角为θ．给出以下结论
①θ越大越费力，θ越小越省力； ②θ的范围为[0 , π]；
③当θ=π2时，|F1|=|G|； ④当θ=2π3时，|F1|=|G|．
其中正确结论的序号是 ．
【典题3】 如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
巩固练习
1(★★) 一条渔船以6km/ℎ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/ℎ，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．
2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1 , F2，且F1 , F2与水平夹角均为45°，|F1|=|F2|=102N，则物体的重力大小为 ．

3(★★) 已知一艘船以5km/ℎ的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知|F1|=2N，方向为北偏东30°；|F2|=4N，方向为东偏北30°；|F3|=6N，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F所做的功．


平面向量的应用
1 平面几何中的向量方法
① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.
Eg 点A、B、C、D不在同一直线上
(1)证明直线平行或共线：AB//CD⇔AB//CD
(2)证明直线垂直：AB⊥CD⟺AB⋅CD=0
(3)求线段比值：ABCD=λ且AB//CD⇔ AB=λCD
(4)证明线段相等： AB2=CD2⇔AB=CD
2 向量在物理中的应用
① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
② 力的合成与分解符合平行四边形法则.
【题型一】平面向量在几何中的应用
【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【证明】 设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AO=OC , BO=OD
∵AB=12AC+12DB , DC=12DB+12AC
∴AB=DC，即AB=DC且AB//DC
所以四边形ABCD是平行四边形
即对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【点拨】
① 证明四边形是平行四边形⇔AB=DC且AB//DC⇔AB=DC.
② 证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.
【典题2】 已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD，求证AC2+BD2=2(AB2+AD2) (即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).
【证明】由 |AC​2=AC2=AB+AD2=|​AB2+|​AD2+2AB⋅AD
|DB​2=DB2=AB−AD2=|​AB2+|​AD2−2AB⋅AD
两式相加得|AC​2+|DB​2=2(|​AB2+|​AD2)
即AC2+BD2=2(AB2+AD2)
【点拨】利用|AB​2=AB2可证明线段长度关系.
【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.

【证明】(分析 设H是高线BE、CF的交点，再证明AH⊥BC，则三条高线就交于一点.)
设H是高线BE、CF的交点，
则有BH=AH−AB，CH=AH−AC，BC=AC−AB
∵BH⊥AC，CH⊥AB
∴AH−AB⋅AC=AH−AC⋅AB=0
化简得AH⋅AC−AB=0
∴AH⋅BC=0 则AH⊥BC
(向量中证明AB⊥CD，只需要证明AB⋅CD=0)
所以三角形三条高线交于一点.

【典题4】证明三角形三条中线交于一点.
【证明】(分析 设BE、AF交于O，证明C、O、D三点共线便可)
AF、CD、BE是三角形ABC的三条中线
设BE、AF交于点O，
∵点D是中点，∴CD=12(CA+CB)
连接EF，易证明∆AOB~∆FOE,且相似比是2：1，
∴BO=23BE,
∴CO=CB+BO=CB+23BE=CB+23BA+AE
=CB+23BC+CA+12AC=13(CA+CB)
∴CO=23CD 即C、O、D三点共线，
(向量中证明三点A、B、C共线，只需证明AB=λAC)
∴AF、CD、BE交于一点，
即三角形三条中线交于一点.
巩固练习
1(★★) 如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB=1，CD=2，∠ABC=75°，∠BCD=45°，则线段EF的长是 ．
【答案】72
【解析】 由图象，得EF→=EA→+AB→+BF→，EF→=ED→+DC→+CF→．
∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，
∴2EF→=(EA→+ED→)+(AB→+DC→)+(BF→+CF→)=AB→+DC→．
∵∠ABC=75°，∠BCD=45°，∴＜AB→，DC→＞=60°，
∴|EF|→=12(AB→+DC→)2=12AB→2+DC→2+2|AB|→⋅|DC|→cs＜AB→，DC→＞
=1212+22+2×1×2×12=72．
∴EF的长为 72．
故答案为 72．
2(★★) 证明勾股定理，在Rt∆ABC中，AC⊥BC，AC=b，BC=a , AB=c，则c2=a2+b2.
【证明】 由AB=AC+CB，得AB2=AC+CB2=AC2+2AC⋅CB+CB2
即|AB​2=|AC​2+|CB​2
故c2=a2+b2.
3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【证明】如图平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，
∵AB=AO+OB,BC=BO+OC
∴AB2=AO+OB2=AO2+2AO⋅OB+OB2=AO2+OB2
BC2=BO+OC2=BO2+2BO⋅OC+OC2=BO2+OC2
∴AB=BC
∴四边形ABCD是菱形.
4(★★)用向量方法证明 设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．
【证明】 因AD⊥BC，所以AD→⋅BC→=AD→⋅(AC→−AB→)=0，
因BD⊥AC，所以AC→⋅BD→=AC→⋅(AD→−AB→)=0，
于是AD→⋅AC→=AD→⋅AB→，AC→⋅AD→=AC→⋅AB→，
所以AD→⋅AB→=AC→⋅AB→，(AD→−AC→)⋅AB→=0，
即CD→⋅AB→=0，所以CD→⊥AB→，即AB⊥CD．
5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.
【证明】如图，平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O,
设OA=a，∵对角线相等 ∴OB=OD=a
∵AB=AO+OB,AD=AO+OD
∴AB∙AD=AO+OBAO+OD=AO2+AO∙OD+OB⋅AO+OB⋅OD
=a2+AOOD+OB−a2=0
∴AB⊥AD 即AB⊥AD
∴四边形ABCD是矩形.
6(★★★) 已知向量OP1→、OP2→、OP3→满足OP1→+OP2→+OP3→=0，|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1．求证 △P1P2P3是正三角形．
【证明】法一 ∵OP1→+OP2→+OP3→=0，∴OP1→+OP2→=−OP3→．∴|OP1→+OP2→|=|−OP3→|．
∴|OP1→|2+|OP2→|2+2OP1→•OP2→=|OP3→|2．
又∵|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1，∴OP1→•OP2→=−12．
∴|OP1→||OP2→|cs∠P1OP2=−12，即∠P1OP2=120°．
同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°．
∴△P1P2P3为等边三角形．
法二 以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则OP1→=(x1，y1)，OP2→=(x2，y2)，OP3→=(x3，y3)．
由OP1→+OP2→+OP3→=0，
得x1+x2+x3=0y1+y2+y3=0.∴x1+x2=−x3y1+y2=−y3.，
由|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1
∴2+2(x1x2+y1y2)=1
∴|P1P2→|=(x1−x2)2+(y1−y2)2=x12+x22+y12+y22−2x1x2−2y1y2
=2(1−x1x2−y1y2)=3
同理|P1P3→|=3，|P2P3→|=3
∴△P1P2P3为正三角形
【题型二】平面向量在物理中的应用
【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为|v0|=1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．
(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
【解析】如图，设OA=v0，OB=v1，OC=v2，
则由题意知v2=v0+v1，|OA|=1，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．
(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且|OB|=AC=3，如下图所示，
则在直角△OAC中，|v2|=OC=OA2+AC2=2，
tan∠AOC=31=3，又α=∠AOC∈(0 , π2)，所以α=π3；
(2)由题意知α=∠OCB=π2，且|v2|=|OC|=3，BC=1，如下图所示，
则在直角△OBC中，v1=OB=OC2+BC2=2，tan∠BOC=13=33，
又∠AOC∈(0 , π2)，所以∠BOC=π6，
则β=π2+π6=2π3，
答 (1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；
(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．
【点拨】注意平行四边形法则的使用！
【典题2】 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|=|F2|，F1与F2的夹角为θ．给出以下结论
①θ越大越费力，θ越小越省力； ②θ的范围为[0 , π]；
③当θ=π2时，|F1|=|G|； ④当θ=2π3时，|F1|=|G|．
其中正确结论的序号是 ．
【解析】 对于①，由|G|=|F1+F2|为定值，
所以G2=|F1|2+|F2|2+2|F1|×|F2|×csθ=2|F1|2(1+csθ)，
解得|F1|2=|G|22(1+csθ)；
由题意知θ∈(0 , π)时，y=csθ单调递减，所以|F1|2单调递增，
即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．
对于②，由题意知，θ的取值范围是(0 , π)，所以②错误．
对于③，当θ=π2时，|F1|2=G22，所以|F1|=22|G|，③错误．
对于④，当θ=2π3时，|F1|2=|G|2，所以|F1|=|G|，④正确．
综上知，正确结论的序号是①④．
故答案为 ①④．
【典题3】 如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
【解析】 如图，设木板对球的支持力为N，则N=10sinα，
设绳子的拉力为f．又AC=20csα，AD=6tanα2，
由动力矩等于阻力矩得|f|×20csα=|N|×6tanα2=60sinα⋅tanα2，
∴|f|=6020csα⋅sinα⋅tanα2=3csα(1−csα)≥3(csα+1−csα2)2=314=12，
∴当且仅当 csα=1−csα 即csα=12，亦即α=60°时，|f|有最小值12N．
巩固练习
1(★★) 一条渔船以6km/ℎ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/ℎ，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．
【答案】210km/ℎ
【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为vAC→=v船→+v水→；
大小为|vAC→|=|v船→+v水→|=62+22 =210km/ℎ．
2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1 , F2，且F1 , F2与水平夹角均为45°，|F1|=|F2|=102N，则物体的重力大小为 ．

【答案】20
【解析】如图，∵|F1→|=|F2→|=102N，
∴|F1→+F2→|=102×2N=20N，
∴物体的重力大小为20．
故答案为 20．
3(★★) 已知一艘船以5km/ℎ的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
【答案】53km/ℎ
【解析】如图，设AD→表示船垂直于对岸的速度，AB→表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC→就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，|AD→|=|BC→|=5，
∴|AC→|=|BC→|sin30°=10，|AB→|=|BC→|tan30°=53．
故船实际航行速度的大小为10km/ℎ，水流速度53km/ℎ．

4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知|F1|=2N，方向为北偏东30°；|F2|=4N，方向为东偏北30°；|F3|=6N，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F所做的功．
【答案】246 J
【解析】 以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，建立直角坐标系．
则由已知可得OF1→=(1，3)，OF2→=(23，2)，OF3→=(﹣3，33)．
∴OF→=OF1→+OF2→+OF3→=(23−2，43+2)．
又位移OS→=(42，42)．
∴OF→•OS→=(23−2)×42+(43+2)×42=246(J)．