高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算优秀导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算优秀导学案，文件包含同步导学案高中数学人教A版2019必修第二册--62平面向量的运算导学案原卷版docx、同步导学案高中数学人教A版2019必修第二册--62平面向量的运算导学案解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共13页， 欢迎下载使用。

第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
1、借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义。
2、通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。
3、了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
4、通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
5、通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
6、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
一、向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
求 的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
这种求向量和的方法，称为向量加法的 法则.
对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝ ＝a

平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则


的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型， 的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
【答案】1.两个向量和
2.三角形；0＋a；平行四边形；位移；力
二、向量加法的运算律
向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
三、相反向量
1.定义：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的 向量，记作 .
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是 .
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝ .
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝ .
【答案】1.相等；相反；相反；－a
2.零向量；0；0
四、向量的减法
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的 向量，求两个向量 的运算，叫做向量的减法.
2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示.

3.文字叙述：如果把两个向量的 放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为 ，被减向量的终点为 的向量.
【答案】1.相反；差
3.起点；起点；终点
五、向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝ .
当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
【答案】（1）|λ||a|；（2）0
六、向量数乘的运算律
1.(1)λ(μa)＝ .
(2)(λ＋μ)a＝ .
(3)λ(a＋b)＝ .
特别地，(－λ)a＝－λa＝ ，λ(a－b)＝ .
2.向量的线性运算
向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .
【答案】1.(λμ)a；λa＋μa；λa＋λb；λ(－a)；λa－λb
2.加；减；数乘；λμ1a±λμ2b
七、向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
【答案】b＝λa
八、两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个 a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).

当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
【答案】1.非零向量；∠AOB；同向；反向
九、向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于 .
【答案】0
十、投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝ .
【答案】|a|cos θ e
十一、平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝ 或|a|＝ .
(4)|a·b| |a||b|.
【答案】|a|2；；≤
十二、平面向量数量积的运算律
1.a·b＝ (交换律).
2.(λa)·b＝ ＝ (数乘结合律).
3.(a＋b)·c＝ (分配律).
【答案】b·a；λ(a·b)；a·(λb)；a·c＋b·c
一、单选题
1.在 △ABC 中，若 BD=2DC ，则 AD 等于（    ）
A. 13AB+23AC                     B. 23AB+13AC                     C. AB+2AC                     D. 2AB+AC
【答案】A
【解析】解：因为 BD=2DC ，所以 BD=23BC
所以 AD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC ．
故答案为：A．
2.若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（   ）
A. EF=OF+OE         B. EF=OF-OE         C. EF=-OF+OE         D. EF=-OF-OE
【答案】 B
【解析】根据平面向量减法运算的“三角形”法则可知 EF ＝ OF - OE 　，
只有选项B符合题意，
故答案为：B.
3.如图所示，正六边形 ABCDEF 中， BA+CD+EF= （    ）

A. AD                                       B. BE                                       C. CF                                       D. 0
【答案】C
【解析】正六边形 ABCDEF 中，
∵ CD=AF ， EF=CB ；
∴ BA+CD+EF=BA+AF+CB
=CB+BA+AF
=CF 。
故答案为：C．
4.在△ABC中，BC边上的点D满足CD=2DB ， 设AC=a ， AD=b ， 则AB=（    ）
A. 13a+23b                         B. -12a+32b                         C. 52a-32b                         D. 32a-12b
【答案】 B
【解析】由CD=2DB ， 得CB=32CD ， ∴AB=AC+32CD=AC+32(AD-AC)=-12AC+32AD ，
故答案为：B.
5.已知向量 e1 ， e2 是两个不共线的向量，若 a=2e1-e2 与 b=e1+λe2 共线，则 λ= （    ）
A. 2                                         B. -2                                         C. -12                                         D. 12
【答案】 C
【解析】由 a//b ，可设 2e1-e2=m(e1+λe2) ，
则 {2=m-1=mλ
解得： λ=-12 ，
故答案为：C
6.如图，在 △ABC 中， D ， E ， F 分别是 AB ， AC ， BC 的中点，则（    ）

A. AF=-3AD-BE        B. AF=-3AD+BE        C. AF=3AD-BE        D. AF=3AD+BE
【答案】D
【解析】 AF=12(AB+AC)=12(2AD+2AE)=AD+AE=AD+(2AD+BE)=3AD+BE .
故答案为：D.
二、填空题
7.已知 AB ， AC 是不共线的两个向量， BE= 12 AC -AB ，则 |AE||AC|= ________．
【答案】 12
【解析】因为 AB ， AC 是不共线的两个向量，且 BE = 12AC-AB ，
∴ AE = AB+BE = 12AC ，
则 |AE||AC| = |12AC||AC| = 12 .
故答案为 12 ．
8.四棱锥 S-ABCD 的底面是平行四边形， SE=2EC ，若 BE=xAB+yAD+zAS ，则 x+y+z= ________．
【答案】 23
【解析】由 SE=2EC ，则 CE=13CS
四棱锥 S-ABCD 的底面是平行四边形,即 ABCD 为平行四边形，则 AD+AB=AC

则 BE=BC+CE=AD+13CS=AD+13(AS-AC)
=AD+13(AS-AB-AD)=13AS+23AD-13AB
又 BE=xAB+yAD+zAS
所以 x=-13,y=23,z=13 ，故 x+y+z=23
故答案为： 23
三、解答题
9.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA⊥ 平面 ABCD ， AB=2 ， PA=4 ， ∠ABC=60° ， E 是 BC 的中点， H 在线段 PD 上且 DH=14DP ．

（1）用向量 AB ， AD ， AP 表示向量 EH ；
（2）求向量 EH 的模长．
【答案】 （1）解： EH=EP+PH=EB+BP+34PD=-12AD+(AP-AB)+34(AD-AP)
=-12AD+AP-AB+34AD-34AP=14AD+14AP-AB
（2）解： |EH|2=|14AD+14AP-AB|2=116(AD+AP)2-12(AD+AP)⋅AB+|AB|2
=116(|AD|2+|AP|2)-12AD⋅AB+|AB|2
=116(4+16)-12⋅2⋅2⋅(-12)+4=254 ，
∴|EH|=52
【解析】(1)根据题意由向量的加减运算性质计算出结果即可。
(2)由向量模的运算性质整理化简，然后代入数值计算出结果即可。
10.已知 e1,e2 是平面上两个不共线的向量且 AB=ke1-4e2 ， CD=-e1+ke2 ， BD=e1+2e2 .
（1）若 AB ， CD 方向相反，求 k 的值；
（2）若 A ， C ， D 三点共线，求 k 的值.
【答案】 （1）解：由题意知， AB//CD ，则存在 λ∈R ，使得 AB=λCD ，即 ke1-4e2=λ(-e1+ke2) ，从而 {k=-λ-4=kλ ，得 λ=±2 ，又 AB,CD 方向相反，则 λ=-2,k=2
（2）解：由题意知， AD=AB+BD=(k+1)e1-2e2 ，由 A ， C ， D 三点共线得，存在 μ∈R ，使得 AD=μCD ，即 (k+1)e1-2e2=μ(-e1+ke2) ，从而 {k+1=-μ-2=kμ ，得 k=1 或 -2 .
【解析】（1）由向量共线得出存在 λ∈R ，使得 AB=λCD ，得出 ke1-4e2=λ(-e1+ke2) ，列出方程组，即可得出 k 的值；（2）根据三点共线得出存在 μ∈R ，使得 AD=μCD ，得出 (k+1)e1-2e2=μ(-e1+ke2) ，列出方程组，即可得出 k 的值.