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    【同步导学案】高中数学人教A版(2019)必修第二册--6.2 平面向量的运算 导学案(原卷版+解析版)
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    高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算优秀导学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算优秀导学案,文件包含同步导学案高中数学人教A版2019必修第二册--62平面向量的运算导学案原卷版docx、同步导学案高中数学人教A版2019必修第二册--62平面向量的运算导学案解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共13页, 欢迎下载使用。

    第六章 平面向量及其应用
    6.2 平面向量的运算
    1、借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的加、减运算及运算规则,理解其几何意义。
    2、通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及运算规则,理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。
    3、了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
    4、通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积。
    5、通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
    6、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
    一、向量加法的定义及其运算法则
    1.向量加法的定义
    求 的运算,叫做向量的加法.
    2.向量求和的法则
    向量求和的法则
    三角形法则
    已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.
    这种求向量和的方法,称为向量加法的 法则.
    对于零向量与任意向量a,规定a+0= =a

    平行四边形法则
    以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB,则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则


    的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型, 的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
    【答案】1.两个向量和
    2.三角形;0+a;平行四边形;位移;力
    二、向量加法的运算律
    向量加法的运算律
    交换律
    a+b=b+a
    结合律
    (a+b)+c=a+(b+c)
    三、相反向量
    1.定义:与向量a长度 ,方向 的向量,叫做a的 向量,记作 .
    2.性质
    (1)零向量的相反向量仍是 .
    (2)对于相反向量有:a+(-a)=(-a)+a= .
    (3)若a,b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b= .
    【答案】1.相等;相反;相反;-a
    2.零向量;0;0
    四、向量的减法
    1.定义:向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b),因此减去一个向量,相当于加上这个向量的 向量,求两个向量 的运算,叫做向量的减法.
    2.几何意义:在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量a-b=,如图所示.

    3.文字叙述:如果把两个向量的 放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为 ,被减向量的终点为 的向量.
    【答案】1.相反;差
    3.起点;起点;终点
    五、向量数乘的定义
    实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,其长度与方向规定如下:
    (1)|λa|= .
    (2)λa (a≠0)的方向
    特别地,当λ=0时,λa= .
    当λ=-1时,(-1)a=-a.
    【答案】(1)|λ||a|;(2)0
    六、向量数乘的运算律
    1.(1)λ(μa)= .
    (2)(λ+μ)a= .
    (3)λ(a+b)= .
    特别地,(-λ)a=-λa= ,λ(a-b)= .
    2.向量的线性运算
    向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)= .
    【答案】1.(λμ)a;λa+μa;λa+λb;λ(-a);λa-λb
    2.加;减;数乘;λμ1a±λμ2b
    七、向量共线定理
    向量a (a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使 .
    【答案】b=λa
    八、两向量的夹角与垂直
    1.夹角:已知两个 a和b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则 =θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).

    当θ=0时,a与b ;当θ=π时,a与b .
    2.垂直:如果a与b的夹角是,则称a与b垂直,记作a⊥b.
    【答案】1.非零向量;∠AOB;同向;反向
    九、向量数量积的定义
    非零向量a,b的夹角为θ,数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,规定:零向量与任一向量的数量积等于 .
    【答案】0
    十、投影向量
    在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.
    设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系为= .
    【答案】|a|cos θ e
    十一、平面向量数量积的性质
    设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量.则
    (1)a·e=e·a=|a|·cos θ.
    (2)a⊥b⇔a·b=0.
    (3)当a∥b时,a·b=
    特别地,a·a= 或|a|= .
    (4)|a·b| |a||b|.
    【答案】|a|2;;≤
    十二、平面向量数量积的运算律
    1.a·b= (交换律).
    2.(λa)·b= = (数乘结合律).
    3.(a+b)·c= (分配律).
    【答案】b·a;λ(a·b);a·(λb);a·c+b·c
    一、单选题
    1.在 △ABC 中,若 BD=2DC ,则 AD 等于(    )
    A. 13AB+23AC                     B. 23AB+13AC                     C. AB+2AC                     D. 2AB+AC
    【答案】A
    【解析】解:因为 BD=2DC ,所以 BD=23BC
    所以 AD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC .
    故答案为:A.
    2.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是(   )
    A. EF=OF+OE         B. EF=OF-OE         C. EF=-OF+OE         D. EF=-OF-OE
    【答案】 B
    【解析】根据平面向量减法运算的“三角形”法则可知 EF = OF - OE  ,
    只有选项B符合题意,
    故答案为:B.
    3.如图所示,正六边形 ABCDEF 中, BA+CD+EF= (    )

    A. AD                                       B. BE                                       C. CF                                       D. 0
    【答案】C
    【解析】正六边形 ABCDEF 中,
    ∵ CD=AF , EF=CB ;
    ∴ BA+CD+EF=BA+AF+CB
    =CB+BA+AF
    =CF 。
    故答案为:C.
    4.在△ABC中,BC边上的点D满足CD=2DB , 设AC=a , AD=b , 则AB=(    )
    A. 13a+23b                         B. -12a+32b                         C. 52a-32b                         D. 32a-12b
    【答案】 B
    【解析】由CD=2DB , 得CB=32CD , ∴AB=AC+32CD=AC+32(AD-AC)=-12AC+32AD ,
    故答案为:B.
    5.已知向量 e1 , e2 是两个不共线的向量,若 a=2e1-e2 与 b=e1+λe2 共线,则 λ= (    )
    A. 2                                         B. -2                                         C. -12                                         D. 12
    【答案】 C
    【解析】由 a//b ,可设 2e1-e2=m(e1+λe2) ,
    则 {2=m-1=mλ
    解得: λ=-12 ,
    故答案为:C
    6.如图,在 △ABC 中, D , E , F 分别是 AB , AC , BC 的中点,则(    )

    A. AF=-3AD-BE        B. AF=-3AD+BE        C. AF=3AD-BE        D. AF=3AD+BE
    【答案】D
    【解析】 AF=12(AB+AC)=12(2AD+2AE)=AD+AE=AD+(2AD+BE)=3AD+BE .
    故答案为:D.
    二、填空题
    7.已知 AB , AC 是不共线的两个向量, BE= 12 AC -AB ,则 |AE||AC|= ________.
    【答案】 12
    【解析】因为 AB , AC 是不共线的两个向量,且 BE = 12AC-AB ,
    ∴ AE = AB+BE = 12AC ,
    则 |AE||AC| = |12AC||AC| = 12 .
    故答案为 12 .
    8.四棱锥 S-ABCD 的底面是平行四边形, SE=2EC ,若 BE=xAB+yAD+zAS ,则 x+y+z= ________.
    【答案】 23
    【解析】由 SE=2EC ,则 CE=13CS
    四棱锥 S-ABCD 的底面是平行四边形,即 ABCD 为平行四边形,则 AD+AB=AC

    则 BE=BC+CE=AD+13CS=AD+13(AS-AC)
    =AD+13(AS-AB-AD)=13AS+23AD-13AB
    又 BE=xAB+yAD+zAS
    所以 x=-13,y=23,z=13 ,故 x+y+z=23
    故答案为: 23
    三、解答题
    9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA⊥ 平面 ABCD , AB=2 , PA=4 , ∠ABC=60° , E 是 BC 的中点, H 在线段 PD 上且 DH=14DP .

    (1)用向量 AB , AD , AP 表示向量 EH ;
    (2)求向量 EH 的模长.
    【答案】 (1)解: EH=EP+PH=EB+BP+34PD=-12AD+(AP-AB)+34(AD-AP)
    =-12AD+AP-AB+34AD-34AP=14AD+14AP-AB
    (2)解: |EH|2=|14AD+14AP-AB|2=116(AD+AP)2-12(AD+AP)⋅AB+|AB|2
    =116(|AD|2+|AP|2)-12AD⋅AB+|AB|2
    =116(4+16)-12⋅2⋅2⋅(-12)+4=254 ,
    ∴|EH|=52
    【解析】(1)根据题意由向量的加减运算性质计算出结果即可。
    (2)由向量模的运算性质整理化简,然后代入数值计算出结果即可。
    10.已知 e1,e2 是平面上两个不共线的向量且 AB=ke1-4e2 , CD=-e1+ke2 , BD=e1+2e2 .
    (1)若 AB , CD 方向相反,求 k 的值;
    (2)若 A , C , D 三点共线,求 k 的值.
    【答案】 (1)解:由题意知, AB//CD ,则存在 λ∈R ,使得 AB=λCD ,即 ke1-4e2=λ(-e1+ke2) ,从而 {k=-λ-4=kλ ,得 λ=±2 ,又 AB,CD 方向相反,则 λ=-2,k=2
    (2)解:由题意知, AD=AB+BD=(k+1)e1-2e2 ,由 A , C , D 三点共线得,存在 μ∈R ,使得 AD=μCD ,即 (k+1)e1-2e2=μ(-e1+ke2) ,从而 {k+1=-μ-2=kμ ,得 k=1 或 -2 .
    【解析】(1)由向量共线得出存在 λ∈R ,使得 AB=λCD ,得出 ke1-4e2=λ(-e1+ke2) ,列出方程组,即可得出 k 的值;(2)根据三点共线得出存在 μ∈R ,使得 AD=μCD ,得出 (k+1)e1-2e2=μ(-e1+ke2) ,列出方程组,即可得出 k 的值.
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