初中数学人教版（2024）九年级上册实际问题与一元二次方程一课一练

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册实际问题与一元二次方程一课一练，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有( )
A. 7队B. 6队C. 5队D. 4队
2.为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( )
A. 20%B. 22%C. 25%D. 80%
3.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为(参考数据： 2≈1.414)( )
A. 20.3%B. 25.2%C. 29.3%D. 50%
4.近年来，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2017年我国快递业务量为400亿件，2019年快递量将达到600亿件，设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中正确的是( )
A. 400(1+x)=600B. 400(1+2x)=600
C. 400(1+x)2=600D. 600(1−x)2=400
5.某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为( )
A. (x−2500)(8+4×x50)=5000
B. (2900−x−2500)(8+4×x50)=5000
C. (x−2500)(8+4×2900−x50)=5000
D. (x−2500)(8+50×2900−x50)=5000
6.如图所示，某小区规划在一个宽为9m，长为16m的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，(互相垂直)，余下部分种草，耕地面积为112m2，设小路的宽为x m，那么x满足的方程是( )
A. 2x2−25x+16=0B. x2−25x+32=0
C. x2−17x+16=0D. x2−17x−16=0
7.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
8.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为( )
A. 2(1+x)2=8B. 2(1−x)2=8
C. 2+2(1+x)+2(1+x)2=8D. 2(1+x)+2(1+x)2=8
二、填空题：
9.根据物理学规律，如果把一物体从地面以7m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度(单位：m)约为7x−4.9x2.根据上述规律，则物体经过______秒落回地面．
10.如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S=66时，则n=______．
11.某大型超市连锁集团元月份销售额为300万元，三月份达到了720万元，若二、三月份两个月平均每月增长率为x，则根据题意列出方程是 ．
12.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，则共有 支球队参赛．
13.要在一块长12m，宽8m的矩形空地中，修建两条形状为平行四边形的甬道(其中一条甬道形状为矩形)，剩余部分载种蔬菜，且菜地的面积为77m2，若设两条甬道的入口宽EF=GH=x m，则根据题意列出的方程可以为______．
14.超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元.因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价.已知5月份礼盒的售价为486元，则r= ______，
15.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏长30m，若养鸡场面积为120m2，设AB=x m，则列方程得______．
16.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么______秒后，线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分．
三、解答题：
17. 列方程解应用题：
某工厂一月份的产品产量为100万件，由于工厂管理理念更新，管理水平提高，产量逐月提高，三月份的产量提高到144万件，求一至三月该工厂产量的月平均增长率．
18. 商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价2元，则平均每天销售数量为______件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
19. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．

(1)花圃的面积为______米 ​2(用含a的式子表示)；
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽；
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
20. 河南烩面是一道河南特色的传统美食，在安阳市一家烩面馆考察得知，一份烩面的成本价为8元，若每份卖18元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为320元．
(1)每份烩面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天1360元的净利润？
(2)面馆能实现每天1800元的净利润吗？说明理由．
21.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm、AD=8cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动、动点Q从点A出发沿AB−BC向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从点D，A同时出发、其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动.若点P移动的时间为t秒．
(1)当点P在移动时，AP的长为______(用含t的式子表示)cm，t的取值范围是______．
(2)当以A、P、Q为顶点的三角形的面积为6cm2时，求t的值．
22.为实现“绿色江夏⋅和谐江夏”，江夏区政府准备开发城北一块长为32m，宽为21m的长方形空地．

(1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线.则这块草地的面积为______m2；
(2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽1m的小路，则这块草地的面积为______m2；
(3)方案三：修建一个长是宽的1.6倍，面积为432m2的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到30m之间，宽在13m到20m之间.这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，属于基础题，根据题设列方程，根据实际意义确定方程解的取舍即可．
【解答】
解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x−1=10，
即xx−12=10，
∴x2−x−20=0，
∴x=5或x=−4(不合题意，舍去)．
故选C．
2.【答案】A
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，在解答时根据降价率建立等量关系建立方程是方程．设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为1001−x2，根据题意建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为1001−x2，由题意，得1001−x2=64，
解得：x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20%，
故选A．
3.【答案】C
【解析】解：设每天“遗忘”的百分比为x，
(1−x)2=12，
解得x1=2− 22，x2=2+ 22(不合题意，舍去)，
∵2− 22≈0.293，
∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%．
故选：C．
设每天“遗忘”的百分比为x，根据两天不练丢一半列方程解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键根据题意正确确定等量关系．
4.【答案】C
【解析】解：设快递量平均每年增长率为x，
依题意，得：400(1+x)2=600．
故选：C．
设快递量平均每年增长率为x，根据我国2017年及2019年的快递量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设每台冰箱定价x元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，
∵当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，
∴(x−2500)(8+4×2900−x50)=5000，
故选：C．
设每台冰箱的定价x元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，根据题意列方程即可．
本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润=销售量×单位利润．
6.【答案】C
【解析】解：设小路的宽度为x m，
那么耕地的总长度和总宽度应该为16−2x，9−x；
根据题意即可得出方程为：(16−2x)(9−x)=112，
整理得：x2−17x+16=0，
故选：C．
如果设小路的宽度为x m，那么耕地的总长度和总宽度应该为16−2x，9−x；那么根据题意即可得出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，弄清“耕地的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：x+x2=56，
整理得：x2+x−56=0，
解得：x1=7，x2=−8(不合题意，舍去)，
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据支干和小分支的总数是56，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率为x，由题意得：
2(1+x)+2(1+x)2=8．
故选：D．
关键描述语是：“预计今明两年的投资总额为8万元”，等量关系为：今年的投资的总额+明年的投资总额=8，把相关数值代入即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的．
9.【答案】107
【解析】解：设物体离地面的高度为S，则S=7x−4.9x2，
落回地面时S=0，
所以7x−4.9x2=0，
解得：x=0或x=107，
因为时间为零时未扔出，
所以舍去．
答：物体经过107秒回落地面．
故答案为：107．
由题意可知物体回落到地面，也就是说S为0，建立方程求得答案即可．
此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题．
10.【答案】11
【解析】解：根据题意得：n(n+1)2=66，
化简得：n2+n−132=0，
解得：n1=11，n2=−12(舍去)．
故答案为：11．
由等差数列的求和公式结合S=66，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】300(1+x)2=720
【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，属于增长率问题，解决此类变化问题，可利用公式a(1+x)n=c，其中a是变化前的原始量，c是变化后的量，x表示平均每次的增长率，n为变化的次数．
如果二，三月份平均每月的增长率为x，根据“元月份销售额为300万元，三月份达到720万元”，可得答案．
【解答】
解：设二，三月份平均每月的增长率为x，
已知“元月份销售额为300万元，三月份达到720万元”，
根据题意可得出：300(1+x)2=720．
故答案为：300(1+x)2=720．
12.【答案】8
【解析】设有x支球队参赛，则有：
12⋅x(x−1)=28，
解得：x1=8，x2=−7(舍)，
∴有8个球队参赛．
13.【答案】(12−x)(8−x)=77
【解析】解：∵设两条甬道的入口宽EF=GH=x m，
∴由题意得，(12−x)(8−x)=77，
故答案为：(12−x)(8−x)=77．
由于平行四边形的面积=AB⋅EF，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
14.【答案】10%
【解析】解：根据题意得500(1+20%)(1−r)2=486，
解得r1=0.1，r2=1.9(不合理舍去)．
所以4，5月份两个月平均降价率为10%.即r=10%．
故答案为：10%．
4月份价格从500×(1+20%)元开始降价，如果两个月平均降价率为r，根据“5月份的售价为486元”作为相等关系得到方程500(1+20%)(1−r)2=486，解方程即可求解．注意解的合理性，从而确定取舍．
本题考查的是一元二次方程的应用．原来的数量(价格)为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a(1±x)，再经过第二次调整就是a(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．
15.【答案】2x2−30x+120=0
【解析】解：由题意，∵AB的长为x m，
∴平行于墙的边BC长为(30−2x)m．
∴x(30−2x)=120．
∴2x2−30x+120=0．
故答案为：2x2−30x+120=0．
依据题意，由AB的长为xm，平行于墙的边BC长为(30−2x)m，根据面积为120m2，进而可以列方程得解．
本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
16.【答案】2或4
【解析】解：根据题意，知BP=AB−AP=(6−t)cm，BQ=2t cm．
∵线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分，
∴S△PBQ=13S△PBQ或S△PBQ=23S△PBQ，
则根据三角形的面积公式，得12(6−t)⋅2t=13×12×6×8，或12(6−t)⋅2t=23×12×6×8，
整理得：t2−6t+8=0或t2−6t+16=0(无实数解)，
解得t1=2，t2=4，
即线段PQ将△ABC分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒．
故答案为：2或4．
根据题意表示出BP、BQ的长，再分两种情况，分别根据三角形的面积公式列方程即可．
考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
17.【答案】解：设一至三月该工厂产量的月平均增长率为x，
100(1+x)2=144，
解得x1=0.2=20%，x2=−2.2(舍去)，
即该厂一至三月该工厂产量的月平均增长率是20%．
【解析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该厂一至三月份的月平均增长率．
本题考查一元二次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意．列出相应的方程．
18.【答案】解：(1)20+2×2=24(件)．
故答案为：24．
(2)设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1050元，则每件盈利(40−x)元，平均每天的销售量为(20+2x)件，
依题意得：(40−x)(20+2x)=1050，
整理得：x2−30x+125=0，
解得：x1=5，x2=25．
当x=5时，40−x=35>25，符合题意；
当x=25时，40−x=15