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2020-2021学年21.3 实际问题与一元二次方程导学案
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这是一份2020-2021学年21.3 实际问题与一元二次方程导学案，文件包含213实际问题与一元二次方程讲义学生版doc、213实际问题与一元二次方程讲义教师版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共29页， 欢迎下载使用。
1.会分析实际问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题。
2.经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
【学习重难点】
重点：列一元二次方程解决实际问题。
难点：找出题目中的等量关系。
知识点一 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤
与列一元一次方解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤为：
1．审：审清题意，明确那些死未知量，哪些是已知量，以及它们之间的关系；
2．设：根据题意，设恰当的未知数。设未知数有“直接设元”和“间接设元”两种方法；
3．列：将相等关系中的各个量用含未知数的代数式表达出来，再根据相关关系列出方程；
4．解：解方程，得出未知数的值；
5．验：检验得出的方程的解是否符合题意，舍去不符合一题的解；
6．答：写出正确的解．
【例题】某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?
【变式】某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
知识点二 列一元二次方程解决平均增长率
（1）增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率
(2)连续两次增长，且增长率相等的问题：若原来为m，现在为n，增长率为x，满足公式如果是连续两次下降则为：
【例题1】雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款 12100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【变式1】 某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．300(1＋x)=363 B．300(1＋x)2=363 C．300(1＋2x)=363 D．363(1－x)2=300
【变式2】某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100B．100（1﹣x）2=80C．80（1+2x）=100D．80（1+x2）=100
【变式3】某市去年9月招收区内初中班学生50名，并计划在明年9月招生结束后，使区内初 中班三年招生总人数达到450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率．
知识点三 列一元二次方程解决与几何图形有关的应用题
与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数量及数量之间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有：三角形、四边形、正（长）方形，以后还会有圆。涉及三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理。
【例题1】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
【变式1】如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=32
【变式2】如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为 7 m．
知识点四 列一元二次方程解决与循环有关的问题
单循环公式： =总次数
双循环公式： =总次数
注：双循环常见题型：①送礼物（礼尚往来）；
②球赛：每支球队分别以主、客场身份和其他球队交锋两次。
【例题】一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，有人统（总）计一共握了45次手，这次参加会议到会的人数是多少？
【变式1】在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
【变式2】祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
=930B．=930C．x（x+1）=930D．x（x﹣1）=930
【变式3】一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，比赛组织者应邀请 6 个队参赛．
【变式4】一种电脑病毒，起初有一台感染，经过2轮感染后，将会有81台电脑被感染。平均每台电脑能感染多少台电脑，第三轮感染后，会超过700台吗？
知识点五 列一元二次方程解决与传播有关的问题
可传染人数 共传染人数
第0轮 1（传染源） 1
第1轮 x x+1
第2轮 x(x+1) 1+x+ x(x+1)
列方程 1+x+ x(x+1)= =总被传染人数
【例题】有一种传染性疾病，蔓延速度极快．据统汁，在人群密集的某城市里，通常情况下，每人一天能传染给若干人，通过计算解答下面的问题：
现有一人患了这种疾病，开始两天共有225人患上此病，求每天一人传染了几人?
两天后，人们有所觉察，这样平均一个人一天以少传播5人的速度在递减，求再过两天共有多少人患有此病?
【变式1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给多少个人？
知识点六 列一元二次方程解决与经济有关的问题
（1）利润=售价-进价；
（2）售价=标价×折扣；
（3）
（4） 总利润=一件商品的利润×销售量
（5）销售额=单价×销售量
【例题1】某百货商场服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装每天可售出20件，每件赢利40元，经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天可多售出8件．
（1）为扩大销售量，增加赢利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，问：要想平均每天在销售这种童装上赢利1200元，那么每件童装应降价多少元？
（2）若该商场要在销售这种童装上平均每天所获得的利润最多，这种童装应如何定价？
【变式1】宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890B．（x﹣20）（50﹣）=10890
C．x（50﹣）﹣50×20=10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890
【变式2】某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为 10% ．
拓展点一 队伍参赛的问题
【例题】参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，共有多少个队参加足球联赛？
拓展点二 数字问题
【例题】两个连续奇数的积是323，求这两个数。
【变式1】有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。
【变式2】有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。
【变式3】三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大332，求这三个连续偶数.
拓展点三 增长率的问题
【例题1】某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了1.2万台．
（1）求该厂今年产量的月平均增长率为多少？
（2）预计7月份的产量为多少万台？
【变式1】某工厂三月份的利润为16万元，五月份的利润为25万元，则平均每月增长的百分率为 25% ．
【变式2】已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数是 10 %．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为 146.41 万台．
拓展点四 商品销售问题
【例题】某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件.如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种 衬衫售价应定为多少元？
【变式】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
拓展点五 方案设计问题
【例题】在一块长16m，宽12m的矩形土地上，要建造一个花园，其余部分硬化，使花园所占面积为矩形土地面积的一半.你能给出设计方案吗？
1.小明的设计方案如图1：
你是怎样想的？请看QQ群中的视频2《小明的设计》，也许会有不同的发现！
⑴根据小明的设计思路，应求出四周硬化小路的宽度.
设四周小路的宽度为m
花园的长为： ，宽为： .
列方程
解方程得：x1= ，x2= .
当= 时，花园的长是 ，宽是 ；
当= 时，花园的长是 ，宽是 ；
⑵由此发现四周小路的宽度只能等于 m.
2.小亮的设计方案如图2：
根据小明的设计思路，需要求出扇形的半径.
⑴如果设扇形半径为xm，则四个扇形面积和为： ；
⑵花园的面积= 的面积－ 的面积= ；
这两个根都符合题意吗？
⑶列出方程： ；
⑷方程的两个根是:x1= ，x2= ，
3.小颖的设计方案如图3：
⑴设纵横花园的宽度均为xm：
①如图3，花园的面积用含有x的代数式
表示为 ；
②如果将花园设计方案改成图4所示，
此时花园的面积可表示为 ；
③如果再将花园设计方案改成图5所示，
此时花园的面积可表示为 .
⑵你能列出方程了吧！把你的解答过程写在下面：
①设：
②列：
③解：
④验：
⑤答：
拓展点六 动点问题
【例题】如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到 2或 秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【变式】 如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2?
解：设要经过x秒钟，则eq \f(1,2)×(6－x)×2x＝8，整理得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，都符合题意，∴经过2秒或4秒钟，△PBQ的面积为8 cm2
1.会分析实际问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题。
2.经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
【学习重难点】
重点：列一元二次方程解决实际问题。
难点：找出题目中的等量关系。
知识点一 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤
与列一元一次方解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤为：
1．审：审清题意，明确那些死未知量，哪些是已知量，以及它们之间的关系；
2．设：根据题意，设恰当的未知数。设未知数有“直接设元”和“间接设元”两种方法；
3．列：将相等关系中的各个量用含未知数的代数式表达出来，再根据相关关系列出方程；
4．解：解方程，得出未知数的值；
5．验：检验得出的方程的解是否符合题意，舍去不符合一题的解；
6．答：写出正确的解．
【例题】某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?
【变式】某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
知识点二 列一元二次方程解决平均增长率
（1）增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率
(2)连续两次增长，且增长率相等的问题：若原来为m，现在为n，增长率为x，满足公式如果是连续两次下降则为：
【例题1】雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款 12100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【变式1】 某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．300(1＋x)=363 B．300(1＋x)2=363 C．300(1＋2x)=363 D．363(1－x)2=300
【变式2】某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100B．100（1﹣x）2=80C．80（1+2x）=100D．80（1+x2）=100
【变式3】某市去年9月招收区内初中班学生50名，并计划在明年9月招生结束后，使区内初 中班三年招生总人数达到450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率．
知识点三 列一元二次方程解决与几何图形有关的应用题
与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数量及数量之间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有：三角形、四边形、正（长）方形，以后还会有圆。涉及三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理。
【例题1】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
【变式1】如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=32
【变式2】如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为 7 m．
知识点四 列一元二次方程解决与循环有关的问题
单循环公式： =总次数
双循环公式： =总次数
注：双循环常见题型：①送礼物（礼尚往来）；
②球赛：每支球队分别以主、客场身份和其他球队交锋两次。
【例题】一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，有人统（总）计一共握了45次手，这次参加会议到会的人数是多少？
【变式1】在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
【变式2】祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
=930B．=930C．x（x+1）=930D．x（x﹣1）=930
【变式3】一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，比赛组织者应邀请 6 个队参赛．
【变式4】一种电脑病毒，起初有一台感染，经过2轮感染后，将会有81台电脑被感染。平均每台电脑能感染多少台电脑，第三轮感染后，会超过700台吗？
知识点五 列一元二次方程解决与传播有关的问题
可传染人数 共传染人数
第0轮 1（传染源） 1
第1轮 x x+1
第2轮 x(x+1) 1+x+ x(x+1)
列方程 1+x+ x(x+1)= =总被传染人数
【例题】有一种传染性疾病，蔓延速度极快．据统汁，在人群密集的某城市里，通常情况下，每人一天能传染给若干人，通过计算解答下面的问题：
现有一人患了这种疾病，开始两天共有225人患上此病，求每天一人传染了几人?
两天后，人们有所觉察，这样平均一个人一天以少传播5人的速度在递减，求再过两天共有多少人患有此病?
【变式1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给多少个人？
知识点六 列一元二次方程解决与经济有关的问题
（1）利润=售价-进价；
（2）售价=标价×折扣；
（3）
（4） 总利润=一件商品的利润×销售量
（5）销售额=单价×销售量
【例题1】某百货商场服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装每天可售出20件，每件赢利40元，经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天可多售出8件．
（1）为扩大销售量，增加赢利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，问：要想平均每天在销售这种童装上赢利1200元，那么每件童装应降价多少元？
（2）若该商场要在销售这种童装上平均每天所获得的利润最多，这种童装应如何定价？
【变式1】宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890B．（x﹣20）（50﹣）=10890
C．x（50﹣）﹣50×20=10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890
【变式2】某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为 10% ．
拓展点一 队伍参赛的问题
【例题】参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，共有多少个队参加足球联赛？
拓展点二 数字问题
【例题】两个连续奇数的积是323，求这两个数。
【变式1】有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。
【变式2】有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。
【变式3】三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大332，求这三个连续偶数.
拓展点三 增长率的问题
【例题1】某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了1.2万台．
（1）求该厂今年产量的月平均增长率为多少？
（2）预计7月份的产量为多少万台？
【变式1】某工厂三月份的利润为16万元，五月份的利润为25万元，则平均每月增长的百分率为 25% ．
【变式2】已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数是 10 %．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为 146.41 万台．
拓展点四 商品销售问题
【例题】某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件.如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种 衬衫售价应定为多少元？
【变式】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
拓展点五 方案设计问题
【例题】在一块长16m，宽12m的矩形土地上，要建造一个花园，其余部分硬化，使花园所占面积为矩形土地面积的一半.你能给出设计方案吗？
1.小明的设计方案如图1：
你是怎样想的？请看QQ群中的视频2《小明的设计》，也许会有不同的发现！
⑴根据小明的设计思路，应求出四周硬化小路的宽度.
设四周小路的宽度为m
花园的长为： ，宽为： .
列方程
解方程得：x1= ，x2= .
当= 时，花园的长是 ，宽是 ；
当= 时，花园的长是 ，宽是 ；
⑵由此发现四周小路的宽度只能等于 m.
2.小亮的设计方案如图2：
根据小明的设计思路，需要求出扇形的半径.
⑴如果设扇形半径为xm，则四个扇形面积和为： ；
⑵花园的面积= 的面积－ 的面积= ；
这两个根都符合题意吗？
⑶列出方程： ；
⑷方程的两个根是:x1= ，x2= ，
3.小颖的设计方案如图3：
⑴设纵横花园的宽度均为xm：
①如图3，花园的面积用含有x的代数式
表示为 ；
②如果将花园设计方案改成图4所示，
此时花园的面积可表示为 ；
③如果再将花园设计方案改成图5所示，
此时花园的面积可表示为 .
⑵你能列出方程了吧！把你的解答过程写在下面：
①设：
②列：
③解：
④验：
⑤答：
拓展点六 动点问题
【例题】如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到 2或 秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【变式】 如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2?
解：设要经过x秒钟，则eq \f(1,2)×(6－x)×2x＝8，整理得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，都符合题意，∴经过2秒或4秒钟，△PBQ的面积为8 cm2
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