初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程同步测试题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程同步测试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中有一个根为−1的方程是( )
A. x2+2x=0B. x2+2x−3=0C. x2−5x+4=0D. x2−3x−4=0
2.下列方程中，一定是一元二次方程的是( )
A. x(x−1)=6B. x2+ x+1=0
C. (x−3)(x−2)=x2D. ax2+bx+c=0
3.把方程x(x+2)=5(x−2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是( )
A. 1，−3，10B. 1，7，−10C. 1，−5，12D. 1，3，2
4.关于x的方程(a−1)x2+3x−2=0是一元二次方程的条件是( )
A. a≠0B. a=1C. a≠1D. a为任意实数
5.已知m是方程x2−x−1=0的一个根，则代数式m2−m的值等于( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
6.若1− 3是方程x2−2x+c=0的一个根，则c的值为( )
A. −2B. 4 3−2C. 3− 3D. 1+ 3
7.我们知道方程x2+2x−3=0的解是x1=1，x2=−3，现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)−3=0，它的解是( )
A. x1=−1，x2=−3B. x1=1，x2=−3
C. x1=−1，x2=3D. x1=1，x2=3
二、填空题：
8.将方程(3−2x)(x+2)=5化为一般形式为______．
9.若关于x的方程(m+2)x|m|+2x−1=0是一元二次方程，则m=_______
10.一元二次方程3x(x−2)=7(x+1)+2的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______．
11.设方程(x−a)(x−b)−x=0的两根是c、d，则方程(x−c)(x−d)+x=0的根是______．
12.已知x=−1是方程x2−a=0的解，则a=________．
13.如果m是方程x2−2x−6=0的一个根，那么代数式2m2−4m−7的值为 ．
14.已知a、b为正整数，a=b−2005，若关于x方程x2−ax+b=0有正整数解，则a的最小值是______．
三、解答题：
15. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx−6=0与ax2+2bx−15=0有一个公共根是3.求a，b的值．
16. (1)当实数x为何值时，代数式x2−13+x2的值为2？
(2)当正数x为何值时，等式x2−23+x2=x成立？
17. 已知 5+2 5−2是有理系数的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，试求这个方程．
18. 已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，求a2bc+b2ca+c2ab的值．
19. 阅读材料：
我们规定一种运算：abcd=ad−bc．
例如：2345=2×5−3×4=10−12=−2，x214=4x−2．
按照这种运算的规定，请你解答下面的问题：
(1)−12−212= ;
(2)若x−12x3=x−212−2，求x的值．
20.定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．
(1)下面方程是“完美方程”的是______.(填序号)①x2−4x+3=0；②2x2+x+3=0；③2x2−x−3=0．
(2)已知3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、当x=−1时，x2+2x=1−2=−1，所以x=−1不是方程x2+2x=0的解；
B、当x=−1时，x2+2x−3=1−2−3=−4，所以x=−1不是方程x2+2x−3=0的解；
C、当x=−1时，x2−5x+4=1+5+4=10，所以x=−1不是方程x2−5x+4=0的解；
D、当x=−1时，x2−3x−4=1+3−4=0，所以x=−1是方程x2−3x−4=0的解．
故选：D．
利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2；一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】
解：A.是一元二次方程；
B.不是一元二次方程；
C.化简后不是一元二次方程；
D.二次项系数可能为0，不是一元二次方程．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
方程整理为一般形式，找出常数项即可．
【解答】
解：由方程x(x+2)=5(x−2)，得
x2−3x+10=0，
∴a、b、c的值分别是：1，−3，10；
故选：Ａ．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0；
(3)是整式方程；
(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．根据一元二次方程的定义可得a−1≠0，再解即可．
【解答】
解：由题意得：a−1≠0，
解得：a≠1．
故选C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程的解，解题关键是掌握一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，将m代入原方程即可求m2−m的值．
【解答】
解：把x=m代入方程x2−x−1=0可得：m2−m−1=0，
即m2−m=1，
故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把x=1− 3代入已知方程，可以列出关于c的新方程，通过解新方程即可求得c的值．
【解答】
解：∵关于x的方程x2−2x+c=0的一个根是1− 3，
∴(1− 3)2−2(1− 3)+c=0，
解得，c=−2．
故选A．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先把方程(2x+3)2+2(2x+3)−3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=−3，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】
解：把方程(2x+3)2+2(2x+3)−3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
根据题意得，2x+3=1或2x+3=−3，
所以x1=−1，x2=−3，
故选A．
8.【答案】2x2+x−1=0
【解析】解：(3−2x)(x+2)=5，
3x+6−2x2−4x−5=0，
−2x2−x+1=0，
2x2+x−1=0，
故答案为：2x2+x−1=0．
利用多项式乘以多项式计算法则把左边展开，然后再合并同类项即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．
9.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)，解答此题根据一元二次方程的定义可得关于m的方程和不等式，然后解之即可．
【解答】
解：∵(m+2)x|m|+2x−1=0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0，|m|=2，
解得：m=2，
故答案为2．
10.【答案】−19
【解析】解：3x(x−2)=7(x+1)+2，
3x2−6x=7x+7+2，
3x2−13x−9=0，
3+(−13)+(−9)=−19，
故答案为：−19．
首先去括号，移项，再合并同类项可得3x2−13x−9=0，再确定二次项系数、一次项系数及常数项，再求和即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
11.【答案】x=a，x=b
【解析】解：∵(x−a)(x−b)−x=0，
∴x2−(a+b+1)x+ab=0，
而方程的两个根为c、d，
∴c+d=a+b+1，①
cd=ab，②
又方程(x−c)(x−d)+x=0可以变为x2−(c+d−1)x+cd=0，③
∴把①②代入③中得
x2−(a+b)x+ab=0，
(x−a)(x−b)=0，
∴x=a，x=b．
故答案为：x=a，x=b．
首先把(x−a)(x−b)−x=0变为x2−(a+b+1)x+ab=0，而方程(x−a)(x−b)−x=0的两根是c、d，利用根与系数关系可以得到a、b、c、d之间的关系，然后代入后面的方程即可解决问题．
此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
12.【答案】1
【解析】【分析】
本题主要考查一元二方程的解，熟练掌握一元二方程解的意义是解决问题的关键.把x=−1代入方程即可求出a值．
【解答】
解：把x=−1代入方程x2−a=0得：
(−1)2−a=0，
a=1．
故答案为1．
13.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先把m代入方程x2−2x−6=0，得到m2−2m=6，再代入代数式2m2−4m−7，即可求出答案．
【解答】
解：把m代入方程x2−2x−6=0，得到m2−2m−6=0，
所以m2−2m=6，
∴2m2−4m−7
=2(m2−2m)−7
=2×6−7
=5．
14.【答案】95
【解析】解：设两根为p，q
p+q=a
pq=b=a+2005
(p−1)(q−1)=pq−(p+q)+1=2006=2×59×17
=1×2006=2×1003=17×118=34×59
所以a=p+q=(1+2006)+2=2009
或
a=p+q=(2+1003)+2=1007
或
a=17+118+2=137
或
a=34+59+2=95
所以最小值为95，
故答案为95．
设两根为p，q，根据根与系数的关系，可知(p−1)(q−1)=pq−(p+q)+1=2006=2×59×17=1×2006=2×1003=17×118=34×59，因而求出a的最小整数值．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，有一点的难度．
15.【答案】解：∵方程ax2+bx−6=0与ax2+2bx−15=0有一个公共根是3，
∴ax2+2bx−15=ax2+bx−6+bx−9=bx−9=0，
∴3b−9=0，得b=3，
将x=3代入ax2+bx−6=0，得
a×32+3×3−6=0，
解得，a=−13，
即a的值是−13，b的值是3．
【解析】根据方程的解满足方程，代入即可求得a、b的值，本题得以解决．
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解一定能使得原方程成立．
16.【答案】解：(1)根据题意得，x2−13+x2=2，
解得x1=2，x2=−72，
故当实数x为2或−72时，代数式x2−13+x2的值为2；
(2)解方程x2−23+x2=x得，
x=3± 414，
∵x>0，
∴x=3+ 414，
故当x为3+ 414时，等式x2−23+x2=x成立．
【解析】(1)根据解一元二次方程的方法即可得到结论；
(2)根据解一元二次方程的方法即可得到结论．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：分母有理化得：x= 5+2 5−2=( 5+2)25−4=9+4 5，
∴x−9=4 5,
两边平方，得：x2−18x+81=80，
∴x2−18x+1=0．
【解析】根据有理系数的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是无理数，利用分母有理化和两边平方法，构建一元二次方程．
考查了一元二次方程的解及分母有理化的知识，解题的关键是正确的分母有理化，难度不大．
18.【答案】解：设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，
则at2+bt+c=0①，bt2+ct+a=0②，ct2+at+b=0③，
①+②+③得(a+b+c)t2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0，
∴(a+b+c)(t2+t+1)=0，
而t2+t+1=(t+12)2+34，
∵(t+12)2≥0，
∴t2+t+1>0，
∴a+b+c=0，
∴a+b=−c，
原式=a3+b3+c3abc
=(a+b)(a2−ab+b2)+c3abc
=−c(a2−ab+b2)+c3abc
=c2−(a2−ab+b2)ab
=c2−[(a+b) 2−3ab]ab
=c2−c2+3abab
=3．
【解析】设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，根据一元二次方程的解的意义得到at2+bt+c=0①，bt2+ct+a=0②，ct2+at+b=0③，然后把①+②+③得(a+b+c)t2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0，而t2+t+1=(t+12)2+34>0，所以只有a+b+c=0，即a+b=−c；再把所求的分式通分得到a3+b3+c3abc，接着把a3+b3用立方和公式分解，然后用−c代换a+b，原分式约分后把a2+b2配方，再用−c代换a+b，最后进行约分即可得到原分式的值．
本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了分式的化简求值．
19.【答案】【小题1】72
【小题2】
解：由x−12x3=x−212−2，根据规定的运算规则abcd=ad−bc，可得
x−1×3−2x=−2x−−2×12，
化简得，3x=4，
所以，x=43
故，x的值是43。

【解析】1. 【分析】本题主要考察有理数的混合运算。由题意可知−12−212=−1×12−2×−2=−12+4=72，即可得到答案
2. 【分析】本题主要考察列一元一次方程和求解一元一次方程。把x−12x3=x−212−2，根据给定的运算abcd=ad−bc，进行计算，即可得到一元一次方程x−1×3−2x=−2x−−2×12，对该方程进行求解即可得出答案。
20.【答案】③
【解析】解：(1)①x2−4x+3=0，
∵a=1，b=−4，c=3，
∴a+c=4≠b，则方程x2−4x+3=0不是“完美方程”；
②2x2+x+3=0，
∵a=2，b=1，c=3，
∴a+c=5≠b，则方程2x2+x+3=0不是“完美方程”；
③2x2−x−3=0，
∵a=2，b=−1，c=−3，
∴a+c=b，则方程2x2−x−3=0是“完美方程”；
故答案为：③．
(2)∵3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”，
∴m=3+n，
∴n=m−3，
∴原方程为3x2+mx+m−3=0．
∵m是此“完美方程”的一个根，
∴3m2+m2+m−3=0，即4m2+m−3=0，
解得：m=−1或m=34．
(1)根据“完美方程”的定义进行求解即可；
(2)根据“完美方程”的定义得到n=m−3，则原方程为3x2+mx+m−3=0，再由m是此“完美方程”的一个根，得到4m2+m−3=0，解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．