初中垂径定理优秀课件ppt

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湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件2.3垂径定理第2章 圆授课教师： Home . 班 级： 九年级（---）班 . 时 间： . 2026年2月2日问题引入问题1 圆是轴对称图形吗？问题2 它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆是轴对称图形其对称轴是直径所在的直线 无数条问题3：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 在⊙O中，AB 是任一条弦，CD 是⊙O 的直径，且 CD ⊥ AB，垂足为 E. 试问：AE 与 BE， 与 ， 与 分别相等吗？因为圆是轴对称图形， 将 ⊙O 沿直径CD对折，AE 与 BE 重合， ， 分别与 , 重合， 即AE = BE ， , .你能试着证明这个结论吗？连接 OA，OB.∵ OA = OB，∴ △OAB 是等腰三角形.∵ OE ⊥ AB，∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD.从而∠AOC =∠BOC.∴ ，垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧. 如图，弦AB = 8 cm，CD是⊙O 的直径，CD⊥AB， 垂足为 E，DE ＝ 2 cm，求⊙O 的直径 CD 的长.解 连接 OA. 设 OA = r cm， 则 OE ＝ r - 2 （cm）.∵ CD⊥AB，由垂径定理得在 Rt△AEO 中， 由勾股定理得OA2 ＝ OE2 + AE2.即 r2 ＝ （r-2）2 + 42.解得 r ＝ 5 .∴ CD = 2r = 10 （cm）.【教材P59页】 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．已知：如图， 在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 平行．求证：证明： 作直径 EF⊥ AB， ∴ . 又∵AB∥CD， EF ⊥ AB ， ∴ EF ⊥ CD. ∴ . 因此 . 即 .【教材P59页】即BD= BCRt△ABC中，AB = 10cm，AC = 8cm；由勾股定理，得：BC=6cm；∴ BD= BC=3cm． 如图， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O上一点，AC ＝ 8 cm， AB ＝ 10 cm， OD⊥BC于点 D， 求 BD 的长.练习解 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线【教材P59页】【教材P60】水管中心到水面的高度为 水深为 25-15＝10 （cm）.答：此时水的深度是10cm。【教材P60】证明 过点 O 作 OE⊥CD，则AE＝BE， CE＝DE.∴ AE-CE＝BE-DE，即 AC ＝BD.E【教材P60】解 如图，用 表示桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径为 r，经过圆心 O 作弦 AB 的垂线， D 为垂足，OC 与 相交于点 C， 则 D 是 AB 的中点， CD为拱高.在 Rt△ADO 中，r2＝18.72 + (r-7.2)2，解得 r ≈ 27.9（m）.答：桥拱的半径是27.9m。【教材P60】解 如图，过点 O 作 OD⊥AB，连接 OB， OC. 设小圆的半径为 r，大圆的半径为 R，则在 Rt△ODB 中， OD2 + 22 = r2，在 Rt△ODC 中， OD2+32= R2，∴ 圆环面积 S＝πR2-πr2＝π（32-22） ＝ 5π.【教材P60】解 连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线， 交 于点 C， 所以 C 点为 的中点.理由是： 垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧.C 返回A1． 下列命题正确的有(　　)①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(　　)A．61° B．63° C．65° D．67°B 返回 返回D4. 如图， AB是 ⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OB＝5，OC＝3，则 AP的长可能是______________．(写出一个符合条件的数值即可)5(答案不唯一) 返回5．[2025首师大附中月考]如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A过原点O，分别交y轴、x轴于点B，C.若点B的坐标为(0，6)，AB＝5，则点C的坐标为________．(8，0)6. ⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为________．7或1垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:① 过圆心；② 垂直于弦； ③ 平分弦（不是直径）; ④ 平分弦所对的优弧;⑤ 平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.两条辅助线：连半径，作弦心距构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形