初中数学湘教版（2024）九年级下册垂径定理优秀同步练习题

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级下册垂径定理优秀同步练习题，文件包含湘教版数学九年级下册23《垂径定理》5大题型提分练原卷版docx、湘教版数学九年级下册23《垂径定理》5大题型提分练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
A.夯实基础
题型一 垂径定理的理解
1．如图，在中，半径的长为，圆心到的距离，则弦的长为（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，先由垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握圆中求线段长的方法是解决问题的关键．
【详解】解：是的弦，，
由垂径定理可知，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
故选：C．
2．如图，已知AB是的直径，CD是的弦，，垂足为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查的是垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．
先根据垂径定理求出，即可解答．
【详解】解：∵是的直径，．
，
，
故选：D．
3．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得．
【详解】解：∵半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．如图，是的半径，、是上的点，且．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．根据垂径定理可得，推出，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：是的半径，，
，
，
，
，
故选：C．
5．的半径为2，是它的一条弦，，则弦所对的圆周角为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及圆内接四边形的性质，连接，，过点O作的垂线，通过解直角三角形，易得出的度数，由于弦所对的弧有两段：一段是优弧，一段是劣弧，所以弦所对的圆周角也有两个，因此分类求解．
【详解】解：如图，连接，，过点O作于点C，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴弦所对的圆周角有两个，为或．
故选：C．
6．如图，，交AB于C、D两点，半径于点F．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论．
【详解】证明：∵为的弦，
，
，
，
，
．
7．如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，．
(1)求证：点为弧的中点；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，勾股定理：
（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，由平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答；
（2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点为的中点；
（2）解：∵，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为．
题型二 垂径定理的应用
8．如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为，瓶内截面圆中弦AB的长为，则液体的最大深度CD为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键．
垂径定理可得，根据勾股定理求得的长，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
，
在中，，
∴，
故选：C．
9．如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．设半径为，根据垂径定理可以列方程求解即可．
【详解】解：设圆的半径为，
由题意可知，，，
∴，
∴中， ，，
所以，
解得．
故选：D．
10．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块
【答案】B
【分析】本题考查了圆的相关概念，根据圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心即可得解．
【详解】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，从而可得到半径的长，可以配到与原来大小一样的圆形玻璃
故选：B．
11．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为米，轮子的半径为米，求轮子的吃水深度．
【答案】轮子的吃水深度米
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
根据题意可得，米，则米，在中，运用勾股定理可得米，然后根据即可得解．
【详解】解：根据题意可得，，米，
∴（米），
在中，（米），
∴（米），
∴轮子的吃水深度米．
12．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径是多少？
【答案】门洞的半径长为米
【分析】过作于，过作于，由垂径定理得米，再证四边形是矩形，则米，米)，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：过作于，过作于，如图所示：

则米，，
，
，
四边形是矩形，
米，米)，
设该圆的半径长为米，
根据题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
解得，
即门洞的半径长为米．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定和性质，方程组的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
题型三 利用垂径定理求半径或弦长
13．如图，是的直径，弦，垂足为．若，则的半径为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理及解方程，先由垂径定理得到，连接，如图所示，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理、勾股定理求解圆中相关线段长度问题是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
是的直径，弦，垂足为，，
由垂径定理可得，
设，则，
在中，，，，，由勾股定理可得
即，解得，
的半径为，
故选：C．
14．是的直径，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】此题考查垂径定理，勾股定理，连接，根据题意易得，进而求出的长度，再利用勾股定理求出的长度即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
∵的直径为10，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∵于点E，
∴．
故选：D．
15．如图，CD是的直径，AB是的弦，，垂足为M，E为上一点，且，连接交AB于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
（1）由垂径定理可得，由此可得，根据同弧或等弧对的圆周角相等可得；
（2）连接，由（1）可知，得出，在中，由勾股定理可求出，即可得，设，在中，由勾股定理可求出，即可解答．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
，
又，
，
．
（2）解：连接，
由（1）可知，
，
在中，，
∴，
∴，
设，
则在中，，
，
解得：，
．
16．如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连接交于点．

(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质；熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；
（1）连，由为的直径，根据圆周角定理的推论得到，，而，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2），根据垂径定理得，则，，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
，
，
，
平分，
，
，
；
（2）解：是的直径，
，
由（1）知，
，
，，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
，
即，
，
题型四 利用垂径定理求平行弦问题
17．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ）
A．6或12B．2或14C．6或14D．2或12
【答案】B
【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解．
【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．

∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即此时AB与CD间的距离是2；
②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．

∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即此时AB与CD间的距离是14．
综上可知AB与CD间的距离是2或14．
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形．
18．半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A．1B．7C．1或7D．3或4
【答案】C
【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离．
【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，
，
，
，，
而，，
，，
在中，，；
在中，，；
当圆点在、之间，与之间的距离；
当圆点不在、之间，与之间的距离；
所以与之间的距离为7或1．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （ ）
A．B．C．6D．
【答案】A
【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH=DH，DM=EM，BN=CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN=DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE．
【详解】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，
∵DE∥BC，
∴MN⊥BC，DG⊥DE，
∴四边形DMNG是矩形，
∴DG=MN，
∵OM⊥DE，ON⊥BC，
∴DM=EM=DE，BN=CN，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．
∴CH=DH=CD=3，
∴OH==4，
∴BH=9，
∴BC==3，
∴BN=BC=，
∴ON=，
∵sin∠BCH=，即，
∴DG=，
∴MN=DG=，
∴OM=MN-ON=，
∴DM==，
∴DE=2DM=．
故选A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
20．某同学在证明命题“在同一个圆中，两条平行的弦所夹的弧相等”时，画出了下图，并写出了如下证明过程：
(1)数学老师认为该证法有问题，请指出问题；
(2)完善该命题的证明．
【答案】(1)这道题应分两种情况证明
(2)证明见解析
【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，平行线的性质等知识
（1）根据题意分两种情况画出图形；
（2）根据题意分两种情况画出图形，写出已知、求证及证明过程即可；
，熟练运用圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
【详解】（1）解：这道题应分两种情况证明；
（2）已知：如图，，是的两条弦，．
求证：．
证明：分两种情况：
①如图1，当、在圆心的同一侧时，
过点作于点，交于点，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当、在圆心的两侧时，
过点作于点，交于点，交于点、，
∴是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，．
题型五 利用垂径定理求同心圆问题
21．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
22．如图，两个圆都以点O为圆心．
求证：．
【答案】过点O作于E，根据垂径定理可得，，即可得到结果．
【详解】过点O作OE⊥AB于E，
在小⊙O中，∵OE⊥CD，∴EC=ED．
在大⊙O中，∵OE⊥AB，∴EA=EB．
∴AC=BD．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．
B.提高能力
23．如图，的半径为5，点C是弦上一点，若，设，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，当Ｃ与A或B重合时，最长，当直于时，最短，即可求出x的范围．
【详解】解：当Ｃ与重合时，；
当垂直于时，可得出C为的中点，连接，
在中，，
根据勾股定理得： ，
则x的范围为．
故选：A．
24．如图，四边形是的内接四边形，平分，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由弧、弦、圆心角的关系即可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质可得，由垂径定理可得，由弧、弦、圆心角的关系
可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵平分，
，
，
∴；
（2）解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，角平分线的有关计算，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．
25．如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，．
(1)连接，证明为等腰直角三角形；
(2)连接，若点，在上，且，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，得出，再根据，即可得出为等腰直角三角形；
（）连接，根据，得出，再根据为等腰直角三角形得出，从而得出．
【详解】（1）证明：∵为直径，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形；
（2）证明：连接，交于，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
26．如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结，，．延长，相交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理．
（1）延长交于F，连接，根据直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，由此可得出结论；
（2）设的半径为R，则，，证明是的中位线，则，，进而得，，在和中利用勾股定理构造方程，由此解出R即可．
【详解】（1）证明：延长交于F，连接，如图所示：
∵为的直径，
∴，
即，
∵点C为的中点，
∴根据垂径定理得：，
∴；
（2）解：设的半径为R，则，，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴的半径为5．
27．如图，四边形内接于为直径，于．
(1)求的半径；
(2)求四边形的面积；
(3)E是线段上一点，，连接并延长交于F，求的长．
【答案】(1)5
(2)32
(3)
【分析】（1）连接，设半径为r，由勾股定理求出的半径即可；
（2）过B作，交延长线于点G，利用角平分线性质和三角形全等求出和长，再代入数据计算即可；
（3）连接DF，过C作于点G，则，由勾股定理求出，，然后分别证明，，最后根据性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，设半径为r，
在中，，由勾股定理得：
，
解得：，
∴的半径为5；
（2）如图，过B作，交延长线于点G，
∵，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，连接DF，过C作于点G，则，
∵，，
∴，
∴，同理得：，
连接交于点M，
∵,
∴,
∴
∵，
∴,
∴,
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理及推论，圆周角定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
28．如图1，内接于，是的直径，过点B作交于点D（点D与点B不重合）．
(1)求证：．
(2)如图2，过点C作交的延长线于点E，连结交于点F．
①若，求的长；②若是直角三角形，求的值
【答案】(1)见详解
(2)①1；②
【分析】（1）利用平行线的性质得出，根据等边对等角可得出，等量代换可得出，即可得出．
（2）①连接，设交于点H，利用圆周角定理，平行线的性质，垂径定理得到
；利用矩形的判定与性质得到，利用正弦的定义得出含角的直角三角形，由含角的直角三角形的性质，圆周角定理和等边三角形的判定与性质得到，再利用等腰三角形的三线合一的性质求得，则结论可求；
②利用分类讨论的思想方法得到，利用直角三角形的性质和等角的余角相等的性质和等腰三角形的性质得到；设、、，则，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质分别表示，进而得到x，y的方程，解方程求得x，y的关系式，代入化简运算即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．，
∴．
（2）解：连接，设交于点H，如图，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
②∵是直角三角形，
当时，点F在外，由于为弦，这与交于点F不符；
当时，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴点D在外，这与题意不符．
∴只有．则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
设、、，
则，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
∴，
∴，
∴(负数不合题意，舍去)
∴，
∴，
即
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正弦值求角，含角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
已知：如图，，是的两条弦，．
求证．
证明：如图，连接，，，，过点O作，交于点E，F．
∵，∴．∴，．
∵，∴．
同理，．
∵，∴．
同理，．
（该同学画的图）
∴．∴．