第五章 第23讲 正方形-2026年广东中考数学一轮复习课件

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第23讲正方形 1.(2025 自贡)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD的边长为 5，AB 边在 y 轴上，B(0，－2).若将正方形 ABCD 绕点 O逆时针旋转 90°，得到正方形 A′B′C′D′，则点 D′的坐标为()A.(－3，5)B.(5，－3)C.(－2，5)D.(5，－2)A2.如图，在边长为 4 的正方形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 E，F 为线段 BC 的中点，连接 EF，则线段 EF 的长为()A.14 1B. 2C.1D.2D3.一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放，若∠1＝132°，则∠2 的大小为________度.48 4.(2025 乐山)如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形 ABCD 是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组合是_______________(只需填一种组合即可).①②(或①③)5.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 平分∠ACB，DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F，求证：四边形 CEDF 是正方形.证明：∵CD 平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形 CEDF 是矩形，∵DE＝DF，∴矩形 CEDF 是正方形.1.正方形的定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 回练课本1.正方形有________条对称轴.42.正方形的性质(1)正方形既是矩形，又是菱形，所以正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.直角相等垂直平分(2)正方形的四个角都是__________，四条边都__________.(3)正方形的对角线相等且互相__________.800 m2 回练课本 2.如图，ABCD 是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC＝30 m，EB＝10 m，则这块场地的面积是_______，对角线长是_______.40 m3.正方形的判定方法相等垂直直角相等(1)有一组邻边__________的矩形是正方形.(2)对角线互相__________的矩形是正方形.(3)有一个角是__________的菱形是正方形.(4)对角线__________的菱形是正方形.正方 回练课本 3.如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 是________形.4.梯形(1)定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.如图.(2)面积公式：S梯形＝(上底＋下底)×高÷2. 回练课本4.如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，已知∠A＝∠B，求证：AD＝BC.平行四边形CE∠CEB∠CEBCE证明：如图，过 C 作 CE∥AD，交 AB 于 E.∵AB∥DC，∴四边形 ADCE 是______________，∴AD＝________，∵AD∥CE，∴∠A＝________，∵∠A＝∠B，∴________＝∠B，∴________＝BC，∴AD＝BC.5.梯形、平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系回练课本 5.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：_________________________________，使得该菱形为正方形.AC＝BD 或 AB⊥BC 等(答案不唯一) 正方形的性质1.如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，PE⊥AD 于点 E，PE＝3，则点 P 到直线 AB 的距离为________.3 2.(2025 吉林模拟)如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD相交于点O，H 为 CD 边中点，正方形 ABCD 的周长为 16，则 OH的长等于________.23.如图，延长正方形 ABCD 的边 BA 至点 E，使 AE＝BD，则∠E＝()AA.22.5°B.25°C.30°D.45° 4.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 P 是对角线 BD 上的一点，PF⊥AD 于点 F，PE⊥AB 于点 E，连接 PC，当 PE∶PF＝1∶2 时，则 PC＝()C5.如图，在矩形 ABCD 中，M，N 分别是边 AD，BC 的中点，E，F 分别是线段 BM，CM 的中点.(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)当 AB∶AD 的值为多少时，四边形 MENF 是正方形？请说明理由.(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M 为 AD 中点，∴AM＝DM，∴△ABM≌△DCM(SAS).(2)解：当 AB∶AD＝1∶2 时，四边形 MENF 是正方形，理由：当 AB∶AD＝1∶2 时，同理∠DMC＝45°，∴∠EMF＝90°，∵△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∵M，N 分别是边 AD，BC 的中点，E，F 分别是线段 BM，CM 的中点，∴FN∥BM，EN∥CM，EM＝FM，∴四边形 MENF 是菱形，∵∠EMF＝90°，∴四边形 MENF 是正方形. 6.如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝CF，连接 DE，DF，BE， BF.(1)求证：四边形 BEDF 是菱形；(2)若 AB＝4，AE＝ ，求菱形 BEDF 的边长.(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即 OE＝OF.∵OB＝OD，∴四边形 BEDF 是平行四边形.又∵AC⊥BD，∴四边形 BEDF 是菱形. 解题时需注意正方形的以下性质：①对称性，即中心对称和轴对称；②角度关系，对角线与边的夹角为 45°，常用于构造等腰直角三角形；③四边相等，用于线段和差的计算.正方形的判定)A7.满足下列条件的四边形是正方形的是(A.对角线互相垂直且相等的平行四边形B.对角线互相垂直的菱形C.对角线相等的矩形D.对角线互相垂直平分的四边形8.(2025 深圳模拟)如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，OA＝OC，AD∥BC，则下列说法错误的是()A.若 AC＝BD，则四边形 ABCD 是矩形DB.若 BD 平分∠ABC，则四边形 ABCD 是菱形C.若 AB⊥BC 且 AC⊥BD，则四边形 ABCD 是正方形D.若 AB＝BC 且 AC⊥BD，则四边形 ABCD 是正方形9.如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 交于点径画弧，两弧交于点 P，连接 BP，CP.(1)试判断四边形 BPCO 的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形 BPCO是正方形？解：(1)四边形 BPCO 是平行四边形.理由：∵四边形 ABCD 是平行四边形，由题意得 OB＝CP，BP＝OC，∴四边形 BPCO 是平行四边形.(2)当 AC⊥BD 且 AC＝BD 时，四边形 BPCO 是正方形.∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∵四边形 BPCO 是平行四边形，∴四边形 BPCO 是正方形.10.(2016 广东)如图，正方形 ABCD 的面积为 1，则以相邻两边中点的连线 EF 为边的正方形 EFGH 的周长为()B11.(2017 广州)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝110°，则∠B＝________.70°B12.(2024 广东)完全相同的 4 个正方形面积之和是 100，则正方形的边长是()A.2B.5C.10D.20 13.(2024 深圳)如图，A，B，C均为正方形，若 A 的面积为 10，C 的面积为 1，则 B 的边长可以是__________________.(写出一个答案即可)2(答案不唯一)与对角线的交点 O 重合，EF 为折痕，则的值为(14.(2025 深圳)如图，将正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使得点 A EFCG)D 15.(2024 广州)如图，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，∴BC＝BE＋EC＝3＋6＝9，∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF. 运算能力特训——计算能力 16.(2025 辽宁三模)如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 CD，AD 上，BE 与 CF 交于点 G.若 BC＝4，DE＝AF＝1，则GF 的长为________.2.6 17.(2025 山东三模)乐乐从一副七巧板(如图 1)中取出了其中的六块，拼成了一个平行四边形 ABCD(如图 2)，已知原来七巧板拼成正方形的边长为 4.(1)图 2 中小正方形②的边长＝_______；线段 BC＝_______；(2)求平行四边形 ABCD 对角线 AC 的长.(2)延长 CB，过点 A 作 AE⊥CB 于点 E，如图 2 所示，图 2根据七巧板的特点可知，AB＝4，△ABF为等腰直角三角形， ∴∠ABF＝45°，∴∠ABE＝90°－45°＝45°，∵∠AEB＝90°，∴△ABE 为等腰直角三角形， 教材难题生长——思维能力 18.(人教 8 下P61 综合应用改编)(几何直观、推理能力、模型观念)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 为正方形，若点 A(3，1)，则点 C 的坐标为__________.(－1，3)1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()BA.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4.以AB为边在点 C 同侧作正方形 ABDE，则正方形 ABDE 的周长为()A.12B.16C.20D.25C3.如图，已知点 E 为正方形 ABCD 内一点，△ABE 为等边三角形，连接 ED，EC，则∠DEC 的度数为()BA.120°B.150°C.108°D.135° 4.(2025 浙江模拟)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，E，F分别为边 AB，BC 的中点，连接 AF，DE，点 G，H 分别为 DE，AF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为()B5.如图，点 E，F 在正方形 ABCD 的边 AB，BC 上，BE＝CF，若 CE＝10 cm，求 DF 的长.解：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，∴△CBE≌△DCF(SAS)，∴CE＝DF，∵CE＝10 cm，∴DF＝10 cm. 6.如图，在矩形 ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分线交于边 BC 上一点 E.点 F 为矩形外一点，四边形 AEDF 为平行四边形.求证：四边形 AEDF 是正方形.证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°.∵AE，DE 分别平分∠BAD 与∠CDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE.∵∠EAD＋∠EDA＋∠AED＝180°，∴∠AED＝180°－∠EAD－∠EDA＝90°，∴平行四边形 AEDF 是正方形.7.如图，四边形 ABCD 为正方形，点 E 在 BD 的延长线上，连接 EA，EC.(1)求证：△EAB≌△ECB；(2)若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE.证明：(1)∵四边形 ABCD 为正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，∴△EAB≌△ECB(SAS).(2)∵四边形 ABCD 为正方形，∵△EAB≌△ECB，∠AEC＝45°，∵∠BDC＝∠CED＋∠DCE＝45°，∴∠DCE＝45°－22.5°＝22.5°，∴∠DCE＝∠CED，∴DC＝DE. 8.(2025 东莞三模)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点 E 是边 CD 的延长线上的动点，连接 AE，过点C 作 CF⊥AE 于点 F.(1)求证：四边形 ABCD 是正方形；四边形 ABCD 的面积.(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形 ABCD 为菱形，又∵AB⊥BC，∴菱形 ABCD 为正方形.(2)连接 AC，如图所示： 9.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上，且 BE＝1，点 F 为对角线 BD 上一动点，连接 CF，EF，则 CF＋EF 的最小值为________. 10.在正方形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 所在直线上一点，若点 P 在对角线 BD 上(如图 1)，连接 PC，过点 P 作 PQ⊥CP 交AB 于点 Q. (2) 若点 P 在 BD 的延长线上(如图 2) ，连接 AP ，过点 P 作PE⊥AP，交 BC 的延长线于点 E，连接 DE.若 CE＝8，△DPE 的面积是 20，则 PE 的长为________.2