第五章 第22讲 菱形、矩形-2026年广东中考数学一轮复习课件

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第22讲菱形、矩形1.(2025 常州)如图，在菱形 ABCD中，AC，BD是对角线，AB＝5.若∠ABD＝30°，则 AC 的长是()BA.4B.5C.6D.102.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下)C列结论中错误的是( A.AB＝AD C.AC＝BDB.AC⊥BDD.∠DAC＝∠BAC3.如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AC，AD 的中点，若EF＝2，则菱形 ABCD 的周长是________.164.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，已知∠ACB＝25°，则∠AOB 的大小是________.50°5.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AB＝6，BC＝8，则△COD 的周长为________.166.(2025 德阳)如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，需要增加)D的一个条件可以是( A.AB∥CD C.∠B＝∠DB.AB＝BCD.AC＝BD1.菱形 (1)定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (2)性质：菱形的四条边_______，两条对角线互相__________，且每一条对角线平分一组__________.(3)判定方法：①一组__________相等的平行四边形是菱形；②对角线互相__________的平行四边形是菱形；③四条边都__________的四边形是菱形.相等垂直平分对角邻边垂直相等 回练课本1.(1)如图，四边形 ABCD 是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB菱于点 H，则 DH 的长为________； 第(1)题图 第(2)题图 (2)如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AB＝5，AO＝4，BO＝3，则▱ ABCD 是______形.4.82.矩形平分直角(1)定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.(2)性质：矩形的对角线互相_____且相等，四个角都是______.(3)判定方法：三相等一①有__________个角是直角的四边形是矩形；②对角线__________的平行四边形是矩形；③有__________个角是直角的平行四边形是矩形.(4)设矩形的长和宽分别为 a，b，则 S矩形＝ab. 回练课本2.(1)如图，矩形ABCD的对角线 AC，BD 相交于点O，∠AOB840°＝60°，AB＝4，则 AC 的长为________； 第(1)题图 第(2)题图 (2)如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA＝OD，∠OAD＝50°，则∠OAB 的度数为________. 菱形的性质和判定1.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为边BC 的中点，连接 OE.若 AC＝6，BD＝8，则 OE＝()BA.2 5B. 2C.3D.42.(2025 湖南)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相垂直平分，AB＝3，则四边形 ABCD 的周长为()CA.6B.9C.12D.18 3.如图，在▱ ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD，BD，BC 相交于点 E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠OBF，∵O 是 BD 的中点，∴BO＝DO，∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴OE＝OF，∴四边形 EBFD 是平行四边形，又∵EF⊥BD，∴四边形 EBFD 是菱形. 4.如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，点 E在 DA 的延长线上，连接 BE，过点 C 作 CF∥BE 交 AD 的延长线于点 F，连接 BF，CE.求证：四边形 BECF 是菱形.证明：∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，∴AD 垂直平分 BC，∴EB＝EC，FB＝FC，∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD，∵DB＝CD，∴△EBD≌△FCD(AAS)，∴BE＝FC，∴EB＝BF＝FC＝EC，∴四边形 BECF 是菱形.＝60°，则＝( 矩形的性质和判定5.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O.若∠AOBABBC)D 6.(2025 青岛一模)如图，P 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD于点 F，连接 AP，EF，则 AP＋EF 的最小值为__________.7.如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 CE 的延长线于点 F.(1)求证：FA ＝BD；(2)连接 BF，若 AB＝AC，求证：四边形 ADBF 是矩形.证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，又∵E 为 AD 的中点，∴AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴FA ＝CD，又∵D 为 BC 的中点，∴BD＝CD，∴FA ＝BD.(2)∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形 ADBF 是平行四边形，∵AB＝AC，D 为 BC 的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形 ADBF 是矩形. 菱形和矩形中都有线段的垂直出现，一般证明一个角是直角或者两条直线垂直，可以综合代数运算和几何性质两个角度考虑.代数运算如勾股定理的逆定理、三角形内角和等；几何性质如等腰三角形的三线合一、圆的直径所对的圆周角等. 8.(2022 广东)菱形的边长为 5，则它的周长为________. 9.(2025 广州)如图，菱形 ABCD 的面积为 10，点 E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点，则四边形 EFGH 的面积为()20BA.52B.5C.4D.8 10.(2023 深圳)如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，将线段 AB 水平向右平移 a 个单位长度得到线段 EF，若四边形ECDF 为菱形，则 a 的值为()BA.1B.2C.3D.4 11.(2024 广东)如图，菱形 ABCD 的面积为 24，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 上的动点.若△BEF 的面积为 4，则图中阴影部分的面积为________.10 12.(2025 广东)如图，在矩形 ABCD 中，E，F 是 BC 边上的三等分点，连接 DE，AF 相交于点 G，连接 CG.若 AB＝8，BC＝12，则 tan ∠GCF 的值是()B运算能力特训——计算能力 13.(传统文化)(2025 镇江)小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高 1 丈(1 丈＝10 尺)，折断后顶端触到墙上距地面 9 尺的点 P处，墙脚 O 离竹根 A 处 3 尺远.请你解答：折断处 B 离地面多高？解：如图，过点 B 作 BC⊥OP 于点 C，由题意得 BA⊥OA，OP＝9 尺，OA＝3 尺，AB＋BP＝10 尺，OA⊥OP，∴四边形 OABC 是矩形，∴BC＝OA＝3 尺，OC＝AB，设 OC＝AB＝x 尺，则 BP＝(10－x)尺，CP＝OP－OC＝(9－x)尺，由勾股定理得 BC2＋CP2＝BP2，即 32＋(9－x)2＝(10－x)2，解得 x＝5，即 AB＝5 尺.答：折断处 B 离地面 5 尺. 14.(2025 北京)如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，DF⊥BC，垂足为 F，点 G 在 DE 的延长线上，DG＝FC.(1)求证：四边形 DFCG 是矩形；(2)若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求 BC 和 AC 的长.(1)证明：∵D，E 分别为 AB，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，∵DG＝FC，∴四边形 DFCG 是平行四边形，又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，∴平行四边形 DFCG 是矩形.(2)解：∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△BDF 是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝3，∵DG＝FC＝5，∴BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.由(1)可知，DE 是△ABC 的中位线，四边形 DFCG 是矩形，教材难题生长——思维能力 15.(北师 9 上P19 问题解决改编)(运算能力、几何直观、模型观念)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早由三国时期数学家刘徽提出.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形 ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC 与 BD 相交于点O，点 E 为 BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点 F，G，则 EF＋EG＝________. 16.(人教 8 下P68 拓广探索改编)(几何直观、空间观念、应用意识)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm， 点 D 从点 A 出发沿 AC 方向以 1 cm/s 的速度向终点 C 匀速运动，过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E，过点 E 作 EF⊥BC 交 AB 于点F，当四边形 ADEF 为菱形时，点 D 运动的时间为________s.1.如图，点 O 是坐标原点，菱形 ABOC 的顶点 B 在 x 轴的负半轴上，顶点 C 的坐标为(3，4)，则顶点 A 的坐标为()C2.若菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则该菱形的面积为________.2413 3.如图，在菱形 ABCD 中，AC＝24，BD＝10，AC，BD 相交于点 O，若 CE∥BD，BE∥AC，连接 OE，则 OE 的长是_______.4.如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥CD，垂足为点 E，CF⊥AD，垂足为点 F.求证：AF＝CE.证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝CD.∵AE⊥CD，CF⊥AD，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∴△AED≌△CFD(AAS)，∴DE＝DF，∴AD－DF＝CD－DE，∴AF＝CE.5.如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，连接 EF.(1)求证：AE＝AF；(2)若∠B＝60°，则∠AEF 的度数为________.(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE＝AF.(2)60°6.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，当△EBC 是等边三角形时，∠AEB＝()CA.30°B.45°C.60°D.120°7.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠AOD＝120°，AB＝3，则 AC 的长是________.6 8.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线分别交边AB，CD 于点 E，F.若 AD＝8，BE＝10，则 tan ∠ABD＝_______.9.(2025 吉林)如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 在边 BC 上，连接 AE，DF，∠BAE＝∠CDF.(1)求证：△ABE≌△DCF；(2)当 AB＝12，DF＝13 时，求 BE 的长.(1)证明：在矩形 ABCD 中，AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，∴△ABE≌△DCF(ASA).(2)解：由(1)知△ABE≌△DCF， 10.如图，点 P 是 Rt△ABC 的斜边 AC(不与点 A，C 重合)上一动点，分别作 PM⊥AB 于点 M，PN⊥BC 于点 N，点 O 是 MN 的中点，若 AB＝5，BC＝12，当点 P 在 AC 上运动时，BO 的最小值是________.11. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：①AB∥CD，②AD＝BC.(1)请从以上条件①②中任选 1 个作为条件，求证：四边形 ABCD 是矩形；(2)在(1)的条件下，若 AB＝3，AC＝5，求四边形 ABCD 的面积.(1)证明：选择①作为条件.∵AD∥BC，AB∥CD，(或选择②作为条件，∵AD∥BC，AD＝BC，)∴四边形 ABCD 是平行四边形.∵∠ABC＝90°，∴四边形 ABCD 是矩形.(2)解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC＝90°.∴四边形 ABCD 的面积为 AB·BC＝3×4＝12. 12.学习新知：如图 1，图 2，点 P 是矩形 ABCD 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2＋CP2＝BP2＋DP2.该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明. 应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且 CD＝2，∠ADB＝90°，则 AB 的最小值为________.