第六章 第24讲 圆的基本性质-2026年广东中考数学一轮复习课件

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第六章圆第24讲圆的基本性质1.(2025 宜宾)如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D.若AB＝8，OC＝5，则 OD 的长是()A.3B.2C.6D.52AD2.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且 CE＝DE，∠COB＝52°，则∠DCO 的度数为()A.52°B.50°C.48°D.38°3.如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O 的半径为10 cm，水的最深处到水面 AB 的距离为 4 cm，则水面 AB 的宽度为________cm.164.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点.若∠BOC＝66°，则∠A＝()BA.66°B.33°C.24°D.30°5.(2025 泸州)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，BD 为⊙O 的直径.若 AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝()A.40°B.50°C.60°D.70°B356.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，点 D 是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝________°.7.如图，AB 是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC 的度数是()A.25°B.30°C.35°D.40°A1.圆的有关概念及性质(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，圆既是轴对称图形也是中心对称图形.(2)圆具有对称性和旋转不变性.(3)不共线的三点确定一个圆.(4)圆上各点到圆心的距离都等于半径.(5)圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆周的弧称为优弧，小于半圆周的弧称为劣弧.(6)连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.(7)弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的________也相等.弧弦圆心角弦推论：在同圆或等圆中，两个________、两条弧、两条______中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.回练课本1.如图，AB，CD 是⊙O 的两条弦.(1)如果 AB＝CD，那么___________，∠AOB＝∠COD；︵ ︵ (2)如果AB＝CD，那么___________，_________________；(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__________，__________；(4)如果 AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F，那么 OE________OF.︵ ︵AB＝CDAB＝CD∠AOB＝∠COD ︵ ︵AB＝CDAB＝CD＝2.垂径定理直径平分平分平分(1)定理：垂直于弦的__________平分弦，并且__________弦所对的两条弧.平分平分(2)推论 1 ：①平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦 ， 并且__________弦所对的两条弧.②弦的垂直平分线经过圆心，并且__________弦所对的两条弧.③平分弦所对的一条弧的直径，垂直__________ 弦，并且__________弦所对的另一条弧.(3)推论 2：圆的两条平行弦所夹的__________相等.注意：轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的作辅助线的方法.弧回练课本2.(1)如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm，则⊙O 的半径为___________；第(1)题图第(2)题图(2)如图，在⊙O 中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为 D，E，则四边形 ADOE 是_____形.5 cm正方3.与圆有关的角及其性质(1)圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角.圆周角：顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.(2)圆周角定理一半圆周角直角直径定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_________.推论：①同弧或等弧所对的__________相等.②半圆(或直径)所对的圆周角是__________，90°的圆周角所互补对的弦是圆的__________.③圆内接四边形的对角__________.回练课本3.(1)如图，在⊙O 中，∠BOD＝70°，则∠A＝________，∠C＝________；第(1)题图第(2)题图(2)如图，⊙O 的直径 AB＝10 cm，C 为⊙O 上的一点，∠B＝30°，则 AC 的长为_______.35°145°5 cm垂径定理1.如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，AC，OB 交于点 D.)若 AD＝CD＝8，OD＝6，则 BD 的长为(A.5B.4C.3D.2BB2.(传统文化)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 37 m，)拱高约为 7 m，则赵州桥主桥拱半径 R 约为(A.20 mB.28 mC.35 mD.40 m3.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且 CD⊥AB 于点 E，连接 AC，OC，BC.求证：∠ACO＝∠BCD.证明：连接 BD，∵CD⊥AB，︵ ︵∴BC＝BD，∴∠A＝∠BCD，又∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD.圆心角和圆周角4.如图，点 A，B，C 在⊙O 上，若∠C＝55°，则∠AOB 的度数为()A.95°B.100°C.105°D.110°DD5.如图，AD 是⊙O 的直径，弦 BC 交 AD 于点 E，连接 AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB 的度数是()A.50°B.40°C.70°D.60°6.(2025 青海)如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是()A.80°B.50°C.40°D.25°B7.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD＝30°.(1)求∠BAD 的度数；(2)若 AD＝ ，求 DB 的长.解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.(2)由(1)知∠B＝30°，解题时注意寻找同弧或等弧所对的圆周角或圆心角，并牢记“直径所对的圆周角是直角”. ︵8.如图，已知点 A，B，C 在⊙O 上，C 为AB的中点.若∠BAC＝35°，则∠AOB 等于()A.140°B.120°C.110°D.70°A9.如图，点 A，B，C 在半径为 2 的⊙O 上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为 E，交⊙O 于点 D，连接 OA，则 OE 的长度为________.110.如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠ACB＝2∠BAC.(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；(2)若 AB＝4，BC＝ ，求⊙O 的半径.2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC.(2)解：过点 O 作半径 OD⊥AB 于点 E，连接 DB，∴AE＝BE，11.(2017 广州)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为 E，连接 CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是()A.AD＝2OBB.CE＝EOC.∠OCE＝40°D.∠BOC＝2∠BADD12.(2023 广东)如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()A.20°B.40°C.50°D.80° ︵ ︵13.(2018 广东)同圆中，已知AB所对的圆心角是 100°，则AB所对的圆周角是__________.B50°14.(2023 深圳)如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，∠BAC 的角平分线与⊙O 交于点 D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝________°.3515.(2022 广东)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 为⊙O 的直径，∠ADB＝∠CDB.(1)试判断△ABC 的形状，并给出证明；(2)若 AB＝ ，AD＝1，求 CD 的长度.解：(1)△ABC 是等腰直角三角形，证明如下：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°， ︵ ︵∵∠ADB＝∠CDB，∴AB＝BC，∴AB＝BC，∴△ABC 是等腰直角三角形.(2)由(1)知，△ABC 是等腰直角三角形.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°.1.(2025 常州)如图，⊙O 的半径为 2，直径 AB，CD 互相垂直，︵则BC的长是()CA.π4πB.2C.πD.2π2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙P 经过点 O，与 y 轴交于点 A(0，6)，与 x 轴交于点 B(8，0)，则 OP 的长为________.53.(传统文化)赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物.如图为某圆弧形石拱桥的侧面图，桥的跨径 AB＝18 m，拱高 CD＝5 m，则石拱桥的半径为________m.4.如图，AB 是⊙O 的直径，位于 AB 两侧的点 C，D 均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝________°.755.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 BC 延长线上一点，∠DCE＝64°，则∠BOD 的度数是________.128°6.如图，在⊙O 中，弦 AB＝6 cm，∠ACB＝30°，则⊙O 的半径是()AA.6 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm7.如图，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB⊥CD 于点E.连接 AC，OC，BC.(1)求证：∠CAO＝∠BCD；(2)若 BE＝3，CD＝8，求⊙O 的直径.8.如图，在△ADE 中，DE＝6，以 DE 为直径的半圆交△ADE)的边于 B，C 两点，点 O 为圆心，且 AB＝BC，则 AE的长为(A.3B.9C.7.5D.6D9.(2025 长沙)如图，AC，BC 为⊙O 的弦，连接 OA，OB，OC.)若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO 的度数为(A.40°B.45°C.50°D.55°C10.一次综合与实践的主题为“只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径”.小明同学所在的学习小组为该主题设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于 A，B，C，D 四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 7 cm，AB＝8 cm，CD＝6 cm.根据上述数据计算纸杯杯口的直径.解：如图，作 MN⊥AB，MN 过圆心 O，连接 OD，OB，∴MN＝7 cm，∵CD∥AB，∴MN⊥CD，设 OM＝x cm，∴ON＝MN－OM＝(7－x)cm，∵OM2＋MD2＝OD2，ON2＋BN2＝OB2，∴OM2＋MD2＝ON2＋BN2，∴x2＋32＝(7－x)2＋42，∴x＝4，∴纸杯杯口的直径为 5×2＝10(cm).11.如图，在矩形 ABCD中，AB＝8，AD＝6，点 E是 BC 右侧一动点且 CE⊥BE，点 G 是 AB 上一点，点 F 是 DE 的中点，若∠DGE＝90°，则 FG 的最大值为____________.12.四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 E 为 BC 延长线上一点，BD＝AD.(1)如图 1，若∠DCE＝60°，求证：△ABD 为等边三角形；(2)如图 2，对角线 AC，BD 交于点 F，AC⊥BD，若 DF＝3，AF＝4，求⊙O 的半径长.(1)证明：∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 E 为 BC延长线上一点，∴∠DCB＋∠BAD＝∠DCE＋∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠BAD＝60°，∵BD＝AD，∴△ABD 为等边三角形.(2)解：如图，作 DH⊥AB 于点 H，连接 OB.