第六章 第25讲 点、线与圆的位置关系-2026年广东中考数学一轮复习课件

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第25讲点、线与圆的位置关系 1.(2025 淮安一模)已知⊙O 的半径为 3，A 为线段 PO 的中点，则当 OP＝5 时，点 A 与⊙O 的位置关系为()A.点在圆内C.点在圆外 B.点在圆上D.不能确定A2.如图，MN 是⊙O 的切线，M 是切点，连接 OM，ON.若∠N＝37°，则∠MON 的度数是________.53°3.如图，点 P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点 B，∠P＝30°，OB＝3，则线段OP的长为()A.3B. C.6D.9C4.如图，PA ，PB 与⊙O 分别相切于点 A，B，PA ＝2，∠P＝60°，则 AB＝()B 5.(2025 徐州节选)如图，⊙O 为正三角形 ABC 的外接圆，直线 CD 经过点 C，CD∥AB.判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.解：CD 与⊙O 相切，理由如下：连接 OB，OC，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∵CD∥AB，∴∠ABC＝∠BCD＝60°，∴∠OCD＝∠BCO＋∠BCD＝90°，∴OC⊥CD，又∵OC 是半径，∴CD 与⊙O 相切.1.点与圆的位置关系有三种：如果圆的半径为 r，某一点到圆心的距离为 d，那么：(1)点在圆外(2)点在圆上(3)点在圆内d＞r；d＝r；d＜r.内上外 回练课本1.⊙O 的半径 r＝10 cm，点 P 到圆心 O 的距离为 d.(1)当 d＝8 cm 时，点 P 在⊙O________；(2)当 d＝10 cm 时，点 P 在⊙O________；(3)当 d＝12 cm 时，点 P 在⊙O________.2.直线与圆的位置关系有三种：相离、相切和相交 回练课本2.⊙O 的半径是 6.5 cm，如果圆心与直线 l 的距离为 d：(1)当 d＝4.5 cm 时，直线 l 和⊙O______，有________个公共点；相交2相切1相离0 (2)当 d＝6.5 cm 时，直线 l 和⊙O______，有________个公共点； (3)当 d＝8 cm 时，直线 l 和⊙O________，有________个公共点.3.切线的性质与判定垂直 (1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)切线的判定定理：经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线. 回练课本 3.(1)如图，AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，则∠BAT 的度数为________； (2)如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB，则 AT是⊙O 的________.90°切线4.*切线长定理平分 (1)切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. (2)定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线________两条切线的夹角. 回练课本 4.已知⊙O 的半径为 3 cm，点 P 和圆心 O 的距离为 6 cm.过点P 画⊙O 的两条切线，则这两条切线的切线长分别为__________，__________. 点、直线与圆的位置关系1.(2025 镇江一模)已知矩形 ABCD 中，AB＝a，BC＝b，若以AB 为直径的圆与边 CD 有交点，则 a 与 b 满足的关系为()A.a≥2bB.a＞2bC.a＞bD.a≥b2.在平面直角坐标系 xOy 中，以点(－3，4)为圆心，4 为半径的圆与 x 轴的位置关系是()A.相交B.相离C.相切D.无法判断AC 3.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.以 C 为圆心作⊙C，如果⊙C 与斜边 AB 有两个公共点，那么⊙C 的半径长)R 的取值范围是( A.0＜R＜2.4 C.2.4＜R≤3 B.R＜2.4D.2.4＜R≤4C 切线的性质与判定 4.(2025 湖南一模)如图，直线 AB，CD 相交于点 O，∠AOD＝30°，半径为 1 cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为 6 cm. 如果⊙P 以 1 cm/s 的速度沿 A 到 B 的方向移动，那么__________s 后⊙P 与直线 CD 相切.4 或 8 5.如图，点 A 是⊙O 外一点，AB，AC 分别与⊙O 相切于点 B，C，点 D 在 上.已知∠A＝50°，则∠D 的度数是________.65°6.如图，AC 是⊙O 的切线，B 为切点，连接 OA，OC.若∠A＝30°，AB＝ ，BC＝3，则 OC 的长度是()C(2)若BF＝1，sin∠AFE＝ ，求BC的长.7.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，E 在⊙O 上，∠CAB＝2∠EAB，点 F 在线段 AB 的延长线上，且∠AFE＝∠ABC.(1)求证：EF 与⊙O 相切；(1)证明：连接 OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE，∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE，∵∠AFE＝∠ABC，∴∠CAB＋∠ABC＝∠FOE＋∠AFE，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠ABC＝90°＝∠FOE＋∠AFE，∴∠OEF＝90°，即 OE⊥EF，∵OE 是半径，∴EF 与⊙O 相切.(2)解：设半径为 r，即 OE＝OB＝r，则 OF＝r＋1，︵ 8.如图，AB 为⊙O 的直径，E 为⊙O 上一点，点 C 为EB的中点，过点 C 作 CD⊥AE，交 AE 的延长线于点 D，延长 DC 交 AB的延长线于点 F.求证：CD 是⊙O 的切线.证明：连接 OC，︵ ︵ ︵∵点 C 为EB的中点，∴EC＝BC，∴∠EAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OCA，∴AE∥OC，∴∠ADC＝∠OCF，∵CD⊥AE，∴∠ADC＝90°，∴∠OCF＝90°，即 OC⊥DF.又∵OC 为⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线. 9.(2025 青海)如图，线段 AB 经过圆心 O，交⊙O 于点 A，C，AD 为⊙O 的弦，连接 BD，∠A＝∠B＝30°.(1)求证：直线 BD 是⊙O 的切线；︵(2)已知 BC＝2，求DC的长(结果保留π).(1)证明：连接 OD，∵∠A＝∠B＝30°，∴∠BOD＝2∠A＝60°，∴∠ODB＝180°－∠B－∠BOD＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，且 BD⊥OD，∴直线 BD 是⊙O 的切线.(2)解：∵∠ODB＝90°，∠B＝30°，OD＝OC，∴OB＝2OD＝2OC，∵BC＝OB－OC＝2OC－OC＝OC，且 BC＝2，∴OC＝2，∵∠COD＝60°， 当已知一条直线和圆有一个公共点时，可以连接圆心和这个公共点，然后证明直线与这条半径垂直，即可得该直线为圆的切线. 10.(2025广东)如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以 OA 为半径的⊙O 与边 BC 相切于点 D.求证：AD 平分∠BAC.证明：连接 OD，∵⊙O 与边 BC 相切于点 D，∴OD⊥BC，∵∠ABC＝90°，∴OD∥AB，∴∠ODA＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠BAD＝∠OAD，∴AD 平分∠BAC. 11.(2023 深圳)如图，在单位长度为 1 的网格中，点 O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以 O 为圆心，OA 为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点 A 作切线 AC，且 AC＝4(点 C 在 A 的上方)；②连接 OC，交⊙O 于点 D；③连接 BD，与 AC 交于点 E.(1)求证：BD 为⊙O 的切线；(2)求 AE 的长度.解：如图.(1)证明：∵AC 是圆的切线，由题意得 OD＝OA＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，∴△AOC≌△DOB(SAS)，∴∠ODB＝∠OAC＝90°，∵OD 是圆的半径，∴BD 为⊙O 的切线.(2)∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C， ∴AE＝AC－CE＝4－2.5＝1.5.∴CD＝ AB＝AD，12.(2025深圳节选)如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝EC.(1)求证：四边形 ADCE 为菱形.证明：∵AD＝CE，CD＝AE，∴四边形 ADCE 为平行四边形，又∵∠ACB＝90°，且 D 为 AB 中点，∴平行四边形 ADCE 为菱形. (2)如图 2，若点 O 为 AC 上一点，且 E，A，D 三点均在⊙O上，连接 OD，CD 与⊙O 相切于点 D，①∠ACD＝________°；30②AC＝4，求⊙O 的半径 r.解：设半径为 r，∵AC＝4，∴OC＝4－r，∵∠ACD＝30°，∠CDO＝90°， 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB 边上的高，AB＝4.若圆 C 是以点 C 为圆心，2 为半径的圆，则下列说法正确的是()DA.点 D 在圆 C 上，点 A，B 均在圆 C 外B.点 D 在圆 C 内，点 A，B 均在圆 C 外C.点 A，B，D 均在圆 C 外D.点 A 在圆 C 外，点 D 在圆 C 内，点 B 在圆 C 上 2.在同一平面内，已知⊙O 的半径为 2，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 为圆上的一个动点，则点 P 到直线 l 的最大距离是()B40°A.2B.5C.6D.8 3.如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，过点 C 的切线与AB 的延长线交于点 D，若∠A＝25°，则∠D 的度数为_______. 4.(2025 福建)如图，PA 与⊙O 相切于点 A，PO 的延长线交⊙O 于点 C，AB∥PC，且交⊙O 于点 B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为()CA.30°B.45°C.60°D.75° 5.为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得 AB＝10 cm，则铁环的半径是____________.6.如图，点 O 是△ABC 外接圆的圆心，点 I 是△ABC 的内心，连接 OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC 的度数为________.20° 7.如图，△ABC 的内切圆⊙I 与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I 的半径为 r，∠A＝α，则BF＋CE－BC的值和∠FDE)的大小分别为(D 8.如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC于点 D，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为点 E，ED 的延长线交 AB 的延长线于点 F.求证：直线 EF 是⊙O 的切线.证明：连接 OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥EF，∵OD 是⊙O 的半径，∴直线 EF 是⊙O 的切线.︵9.如图，在⊙O 中，AB 是直径，AE 是弦，点 F 是AE上一点，︵ ︵AF＝BE，AE，BF 交于点 C，点 D 为 BF 的延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA.(1)求证：AD 是⊙O 的切线； ︵ ︵(1)证明：∵AF＝BE，∴∠ABF＝∠BAE，∵∠CAD＋∠BAE＋∠CDA＋∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA，∴2(∠CAD＋∠BAE)＝180°，∴∠OAD＝∠CAD＋∠BAE＝90°，∵OA 是⊙O 的半径，且 AD⊥OA，∴AD 是⊙O 的切线.10.如图，BC 与⊙O 相切于点 C，线段 BO 交⊙O 于点 A，过径等于________.511.(2025 济南)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，P为⊙O 外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接 PC.(1)求证：PC 与⊙O 相切；(2)若 AO＝3，OP＝5，求 AC 的长.(1)证明：如图，连接圆的半径 OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵OP∥AC，∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，∴∠COP＝∠BOP，∵OP＝OP，OC＝OB，∴△COP≌△BOP(SAS)，∴∠OCP＝∠OBP＝90°，∴OC⊥PC，∴PC 与⊙O 相切.(2)解：如图，连接 BC 交 OP 于点 D，由(1)知 PC＝PB，OB＝OC，∴OP 垂直平分 BC，∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°， 12.如图，点 A，O 在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为 1，在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)B，C，使点 O 为△ABC 的外心，则 BC 的长度是________.