寒假作业18 三元一次方程组（巩固培优）八年级数学新教材北师大版+答案

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作业18 三元一次方程组
一、三元一次方程组的相关概念
1. 三元一次方程
含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程．
2. 三元一次方程组
（1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组．
（2）三元一次方程组须具备的3个条件
①含有三个未知数；
②每个方程中含未知数的项的次数都是1；
③是整式方程组．
三者缺一不可．
3. 三元一次方程组的解
（1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解．
（2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代入三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解．
二、三元一次方程组的解法
1. 解三元一次方程组的基本思路
用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组．
解三元一次方程组的一般步骤
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 三元一次方程（组）的定义
1.下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A．a=1b=2b−c=3B．x+y=2y+z=1z+c=3C．4x−3y=75x−2y=142x−y=4D．xy+z=3x+yz=5xy+y=7
【答案】A
【解析】解：A、a=1b=2b−c=3是三元一次方程组，则此项符合题意；
B、方程组x+y=2y+z=1z+c=3中含有4个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意；
C、方程组4x−3y=75x−2y=142x−y=4中含有2个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意；
D、方程组xy+z=3x+yz=5xy+y=7的每个方程中含未知数的项的次数不都是1，不是三元一次方程组，则此项不符合题意；
故选：A．
题型二 消元法解三元一次方程组的步骤判断
2.《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
32139321393213923134→693102→...→051a12326→→0b839
A．24，4B．17，4C．24，0D．17，0
【答案】A
【解析】解：3x+2y+z=39①2x+3y+z=34②x+2y+3z=26③
由②×3，得6x+9y+3z=102④，
由④−①，得3x+7y+2z=63⑤，
由⑤−①，得5y+z=24，
∴a=24，
由③×3，得3x+6y+9z=78⑥，
由⑥−①，得4y+8z=39，
∴b=4，
故选：A．
题型三 解三元一次方程组
3．若x，y，z同时满足：x+y=13，y+z=12，x+z=5，则3x+4y+5z= ；
【答案】59
【解析】解：x+y=13①，y+z=12②，x+z=5③，
①+②+③得：x+y+y+z+x+z=2x+2y+2z=30，
∴x+y+z=15④，
④-①得：z=2，
④-②得：x=3，
④-③得：y=10，
∴3x+4y+5z=3×3+4×10+5×2=59，
故答案为：59．
题型四 三元一次方程组中字母的值
4．已知方程组3x−y=52x+y−z=04ax+5by−z=−22与方程组ax−by+z=8x+y+5z=c2x+3y=−4有相同的解，则a、b、c的值为（ ）
A．a=−2b=−3c=1B．a=−2b=3c=1C．a=2b=−3c=−1D．a=2b=3c=−1
【答案】D
【解析】解方程组 3x−y=52x+y−z=02x+3y=−4，
解得x=1y=−2z=0 ，
代入可得方程组4a−10b=−22a+2b=8−1=c ，
解得a=2b=3c=−1，
故选D．
题型五 三元一次方程组中利用整体法求代数式的值
5．若对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y=ax+by+c，其中a、b、c为常数．已知3△6=16，7△2=−4，求5△4的值 ．
【答案】6
【解析】解：∵3△6=16，7△2=−4，
3a+6b+c=16①7a+2b+c=−4②,
①+②，可得：10a+8b+2c=12，
∴5a+4b+c=6，
∴5△4=5a+4b+c=6，
故答案为：6．
题型六 构造三元一次方程组求值
6．如图，两台天平都保持平衡，则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为 ．
【答案】3
【解析】解：设每个球体的质量为a，每个正方体的质量为b，每个圆柱体的质量为c，
根据题意得，2a+b=5c，2b=4c，
根据等式的基本性质2，将2b=4c的两边同时除以2得，b=2c，
将b=2c代入2a+b=5c得，2a+2c=5c，
根据等式的基本性质1，将2a+2c=5c的两边同时减2c得，2a=3c，
∴与2个球体质量相等的圆柱体的个数为3，
故答案为：3．
题型七 由两个三元一次方程求值
7．已知2x+y−7z=0，x−2y+4z=0（xyz≠0），则2x+y+zx−2y+z= ．
【答案】−83
【解析】解∶联立2x+y−7z=0，x−2y+4z=0，
得2x+y−7z=0x−2y+4z=0，
解得x=2zy=3z，
∴2x+y+zx−2y+z=2×2z+3z+z2z−2×3z+z=8z−3z=−83，
故答案为∶−83．
题型八 判断三元一次方程（组）的解
8．三元一次方程x+y+z=5的正整数解有（ ）
A．2组B．4组C．6组D．8组
【答案】C
【解析】解：当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1，有3组正整数解；
当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1，有2组正整数解；
当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1，有1组正整数解；
所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）．
故选：C．
题型九 三元一次方程（组）的应用
9．用方程组解决问题：某动物保护机构要准备A，B，C三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题．
(1)如果C类型食物安排了16名志愿者，那么A，B两种类型食物各需多少名志愿者？
(2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案．
【答案】(1)A，B两种类型食物各需13名，11名志愿者
(2)见解析
【解析】（1）设A，B两种类型食物各需x名，y名志愿者，由题意，得
x+y=40−166x+8y=310−16×9，
解得x=13y=11，
所以A，B两种类型食物各需13名，11名志愿者；
（2）设A，B，C三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，由题意，得
x+y+z=40①6x+8y+9z=310②，
①×9−②得：
3x+y=50，
∴y=50−3x，
∵每种类型的食物至少安排11名志愿者，
∴当x=11时，y=17,z=12，
当x=12时，y=14,z=14，
当x=13时，y=11,z=16，
所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人．
1．已知x+4y−3z=04x−5y+2z=0，xyz≠0，求3x2+2xy+z2x2+y2的值．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：x+4y−3z=04x−5y+2z=0，
整理得x+4y=3z4x−5y=−2z，
解得x=13zy=23z，
代入3x2+2xy+z2x2+y2=3×(13z)2+2×13z×23z+z2(13z)2+(23z)2=169z259z2=165．
2．已知关于x，y的方程组的解为3x+2y=a+22x+3y=2a满足x+y＝4，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：由3x+2y=a+2⋯①2x+3y=2a⋯②，
①+②得，5x+5y＝3a+2，
把x+y＝4代入，
得，3a+2＝20，
∴a＝6．
3．已知|x﹣8y|+2（4y﹣1）2+3|8z﹣3x|＝0，求x+y+z的值．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：由题意得x−8y=04y−1=08z−3x=0，
解得x=2y=14z=34，
故x+y+z＝2+14+34=3．
4．已知关于x，y的方程组4x+9y=15x+3y=2−2k的解满足3x+15y＝16+2k，求k．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：①﹣②×3得x＝9+6k，
代入①得y=−8k+73，
代入方程3x+15y＝16+2k，
得3（9+6k）﹣15×8k+73=16+2k，
解得k＝﹣1．
5．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小红家准备将一块良田分成A、B、C三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小红主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小红将A区20%的面积划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的40%分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3，那么爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为 110 ．
【答案】110．
【解析】解：设爸爸计划A、B、C三个区域的面积分别为x、y、z．
则由小红将A区20%的面积划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%，
可列方程：y+20%x﹣50%y＝40%（x+y），
解得：y＝2x，
则此时，A区：x﹣20%x+50%y＝1.8x，
B区：y+20%x﹣50%y＝1.2x，
C区：z，
由爸爸只好将C区面积的40%分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3，
可列方程：1.8x+1.2x+40%z＝z﹣40%z，
解得：z＝15x，
设将C区面积的40%分成两部分划分给现在的A区为m，则B区为6x﹣m．由三个区域的面积比变为2：1：3可列方程：
1.8x+m＝2[1.2x+（6x﹣m）]解得：m＝4.2x，
∴爸爸从C区划分给B区的面积为：6x﹣m＝1.8x，
则爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为：1.8xx+2x+15x=110，
故答案为：110．
6．“驴友”小明分三次从M地出发沿着不同的线路（A线，B线，C线）去N地．在每条线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种．他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等．B线、C线路程相等，都比A线路程多32%，A线总时间等于C线总时间的12，他用了3小时穿越丛林、2小时涉水行走和2小时攀登走完A线，在B线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比A线上升了20%，50%，50%，若他用了x小时穿越丛林、y小时涉水行走和z小时攀登走完C线，且x，y，z都为正整数，则yx+z= 16 ．
【答案】16
【解析】解：∵他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等，
∴可以假设涉水行走的速度为3nkm/h与攀登的速度为2nkm/h，穿越丛林的速度为mkm/h．
由题意：(3m+6n+4n)×1.32=3.6m+9n+6n3.6m+9n+6n=mx+3ny+2nz，
可得m＝5n，5x+3y+2z＝33 ①
∵x+y+z＝14 ②，
由①②消去z得到：3x+y＝5，
∵x，y是正整数，
∴x＝1，y＝2，z＝11，
∴yx+z=212=16，
故答案为16．
7．有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
【答案】见试题解答内容
【解析】解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．
（1）由题意得：a+6b=24×6c ①a+8b=21×8c ②a+bx=16cx ③
由②﹣①得 b＝12c ④
由③﹣②得 （x﹣8）b＝（16x﹣168）c ⑤
将④代入⑤得 （x﹣8）×12c＝（16x﹣168）c，解得 x＝18
（2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y≤bc=12．
答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛．
8．某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：设前3位数是x，第4位数是y，后4位数是z，则
10x+y+z=14405x+10000y+z=16970，
∴1111y﹣x＝285，
∵100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，
∴y＝1，x＝826，z＝6144，
∴电话号码是100000x+10000y+z＝82616144．
9．有A、B、C、D、E5位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗16、8、12、4、15面，现要使每人手中的小旗数相等．要求相邻的同学之间相互调整（不相邻的不作相互调整），设A给B有x1面（x1＞0时即为A给B有x1面；x1＜0时即为B给A有x1面．以下同），B给C有x2面：C给D有x3面，D给E有x4面，E给A有x5面，问x1、x2、x3、x4、x5分别为多少时才能使调动的小旗总数|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|最小？
【答案】见试题解答内容
【解析】解：由于共有小旗面数为16+8+12+4+15＝55面，要使每人手中的小旗面数相等，每人均为11面．
由题意：8+x1−x2=1112+x2−x3=114+x3−x4=1115+x4−x5=11，
变形得：x1=x2+3x3=x2+1x4=x2−6x5=x2−2，
∴|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|＝|x2+3|+|x2|+|x2+1|+|x2﹣6|+|x2﹣2|＝|x2+3|+|x2+1|+|x2|+|x2﹣2|+|x2﹣6|，
设实数x2在数轴上的对应点为P，
实数﹣3，﹣1，0，2，6在数轴上的对应点分别为P1，P2，P3，P4，P5，
∴|x1|+|x2|+|x3|+x4|+|x5|＝|PP1|+|PP2|+|PP3|+|PP4|+|PP5|，
当且仅当P在线段P1P5上时|PP1|+|PP5|有最小值9，
当且仅当P在线段P2P4上时|PP2|+|PP4|有最小值3，
当且仅当P与点P3重合时|PP3|有最小值0，
即当且仅当P与点P3重合（x2＝0）时，
x1+x2+x3+x4+x5＝|PP1|+|PP2|+|PP3|+|PP4|+|PP5|有最小值12．
当x1＝3，x2＝0，x3＝1，x4＝﹣6，x5＝﹣2时|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|有最小值12．
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1．某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道，若这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生．
则2(x+2y)=5604(x+y)=800，
解得x=120y=80．
答：平均每分钟一道正门可通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生；
（2）设该栋大楼正门有m道，侧门有n道，则
m+n=54(120m+80n)=1920，
解得m=2n=3．
故该栋大楼正门有2道，侧门有3道．
2．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
【答案】见试题解答内容
【解析】解：设去时上坡路是x千米，下坡路是z千米，平路是y千米．依题意得：
x+y+z=3.3x3+y4+z5=1z3+y4+x5=4460，
解得x=2.25y=0.8z=0.25．
答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米
3．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上客车，问再过几分钟，货车追上了客车？
【答案】见试题解答内容
【解析】解：设货车，客车，小轿车速度为x、y，z，间距为s，则：10（z﹣x）＝s，15（z﹣y）＝2s，
则z﹣x=s10，z﹣y=2s15
所以，x﹣y=2s15−s10，
得：sx−y=30，30﹣15＝15．
故答案为：15．
食物类型
A
B
C
每名志愿者准备量（份）
6
8
9