寒假作业15 二元一次方程组的解法（巩固培优）八年级数学新教材北师大版+答案

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作业15 二元一次方程组的解法
一、 代入消元法
1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．
2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤
二、加减消元法
1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法．
2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
三、换元法解二元一次方程组
把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫作换元法．
例如解方程组3(12x−5y)+2(13x+5y)=8，3(12x−5y)−2(13x+5y)=−20时，
令12x−5y=a，13x+5y=b，
原方程组可化为3a+2b=8，3a−2b=−20，解得a=−2，b=7，则12x−5y=−2，13x+5y=7，解得x=6，y=1．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 用代数式表示某个字母
1.如已知x=3+ty=3−2t，则用含x的代数式表示y为（ ）
A．y=−2x+9B．y=2x−9C．y=x+6D．y=x+9
【答案】A
【分析】消去t，确定出x与y的关系式即可．
【解析】解：x=3+t①y=3−2t②，
①×2+②得：2x+y=9，即y=-2x+9，
故选：A．
题型二 代入消元法解二元一次方程组的步骤判断
2.下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（ ）
A．步骤一B．步骤二C．步骤三D．步骤四
【答案】C
【解析】解： 步骤三中去分母应为：24−9y−10y=10，
原解法中，去分母，等号右边漏乘2，
故选：C．
题型三 代入消元法解二元一次方程组
3．解方程组x3+y2=24(x−y)=3x−4
【答案】x=3611y=2011
【解析】解：x3+y2=24(x−y)=3x−4
整理可得出：2x+3y=12①x−4y=−4②
由②式得：x=4y−4，
把x=4y−4代入①式可得出：8y−8+3y=12，
解得：y=2011，
把y=2011代入x=4y−4，
可得出：x=4×2011−4=3611，
∴原方程组的解为：x=3611y=2011
题型四 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断
4．用加减消元法解方程组9x−5y=16①2x−y=3②时，第一步②×5，得10x-5y=15③；第二步：③-①，得x=1；第三步：把x=1代入②，得y=-1，则上述步骤中开始出现错误的是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．无法确定
【答案】B
【解析】解：9x−5y=16①2x−y=3②
②×5，得10x−5y=15③，
③-①，得x=−1，
把x=−1代入②得，y=−5，
∴方程组的解为：x=−1y=−5，
则上述步骤中开始出现错误的是第二步，
故选：B．
题型五 某个未知数的系数互为相反数，用加法消元
5．解方程（组）：3x−2y=4①x+2y=4②．
【答案】x=2y=1
【解析】解：3x−2y=4①x+2y=4②，
①+②得，4x=8，
解得x=2，
把x=2代入①得3×2−2y=4，
解得y=1，
∴原方程组的解为x=2y=1．
题型六 某个未知数的系数相同，用减法消元
6．解方程组3(x−1)=y+55(y−1)=3(x+5)
【答案】x=5y=7
【解析】解：3(x−1)=y+55(y−1)=3(x+5)，
整理得：3x−y=8①3x−5y=−20②，
①−②得：4y=28，
解得：y=7，
把y=7代入①得：3x−7=8，
解得：x=5，
∴方程组的解为：x=5y=7．
题型七 某个未知数的系数成a倍关系，变形用加减法消元
7．解方程组：
(1)4x−5y=−12x+y=3；(2)x−16−2−y3=12x−1=13−y+2
【答案】(1)x=1y=1；(2)x=5y=3
【解析】（1）解：4x−5y=−1①2x+y=3②，
①+②×5得：14x=14，
解得：x=1．
把x=1代入②得：2+y=3
∴y=1，
则方程组的解为x=1y=1．
（2）解：x−16−2−y3=12(x−1)=13−(y+2)整理得：x+2y=11①2x+y=13②
②×2−①得：3x=15，
解得：x=5，
把x=5代入②得：10+y=13，
解得：y=3，
∴方程组的解为x=5y=3．
题型八 换元法解二元一次方程组
8．如已知方程组2a+3b=73a−5b=1的解是a=2b=1，则方程组2x−1+3y+2=73x−1−5y+2=1的解是（ ）
A．x=2y=1B．x=3y=1C．x=3y=−1D．x=1y=−1
【答案】C
【解析】解：对于方程组2x−1+3y+2=73x−1−5y+2=1，可设a=x−1，b=y+2，
可得2a+3b=73a−5b=1，
结合题意可知x−1=2y+2=1，
解得x=3y=−1．
故选：C．
题型九 整体代入法解二元一次方程组
9．已知关于x,y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=8的解为x=1y=3，若m,n满足二元一次方程组am+bm−n=6−anbm+am−n=8−bn则m−n的值为 ．
【答案】3
【解析】解：∵关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=8的解为x=1y=3，
am+bm−n=6−anbm+am−n=8−bn
am+n+bm−n=6bm+n+am−n=8
∴把关于m，n满足二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=8看作关于m+n和m−n的二元一次方程组，
∴m+n=1m−n=3，
解得m=2n=−1，
∴m−n=2−−1=3．
故答案为：3．
题型十 解含参的二元一次方程组
10．关于x，y的方程组2x+3y=19ax+by=1与3x−2y=9bx+ay=7有相同的解，则a+4b−3的值为 ．
【答案】4
【解析】解：∵关于x，y的方程组2x+3y=19ax+by=1与3x−2y=9bx+ay=7有相同的解，
∴2x+3y=193x−2y=9与bx+ay=7ax+by=1有相同的解，
由2x+3y=193x−2y=9，解得：x=5y=3，
把x=5y=3代入bx+ay=7ax+by=1得5b+3a=75a+3b=1，
解得：a=−1b=2，
∴a+4b−3=−1+4×2−3=4，
故答案为：4．
1．已知方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=4，老师让同学们解方程组3a1x+4b1y=5c13a2x+4b2y=5c2，小聪先觉得这道题好像条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得a1⋅35x+b1⋅45y=c1a2⋅35x+b2⋅45y=c2，运用换元思想，得35x=345y=4，所以方程组3a1x+4b1y=5c13a2x+4b2y=5c2的解为x=5y=5．现给出方程组a1x−b1y=ma2x−b2y=n的解是x=8y=10，请你写出方程组a1(x−2)−b1(y+1)=ma2(x−2)−b2(y+1)=n的解 x=10y=9 ．
【答案】x=10y=9
【解析】解：∵a1x−b1y=ma2x−b2y=n，
a1(x−2)−b1(y+1)=ma2(x−2)−b2(y+1)=n，
又∵a1x−b1y=ma2x−b2y=n的解是x=8y=10，
∴x−2=8y+1=10，
即x=10y=9．
2．解方程组|x+y|+|x|=42|x+y|+3|x|=9．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：设|x+y|＝a，|x|＝b，
则方程组可化为a+b=4①2a+3b=9②，
∵①×2﹣②得：﹣b＝﹣1，
∴b＝1，
∵把b＝1代入①得：a+1＝4，
∴a＝3，
即|x+y|＝3，|x|＝1，
∵由|x|＝1得：x＝±1，
∴分为两种情况：
第一种情况：当x＝1时，|1+y|＝3，
1+y＝±3，
y1＝2，y2＝﹣4；
第二种情况：当x＝﹣1时，|﹣1+y|＝3，
﹣1+y＝±3，
y3＝4，y4＝﹣2，
综合上述，原方程组的解是x1=1y1=2，x2=1y2=−4，x3=−1y3=4，x4=−1y4=−2．
3．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且a、b、c的值满足等式|b+c﹣2a|+（b+c﹣5）2＝0．
（1）写出a的值：a＝ 2.5 ；
（2）用含b的代数式表示c：c＝ 5﹣b ；
（3）求b的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）由题意得：b+c﹣2a＝0，b+c﹣5＝0，
解得：b+c＝5，
把b+c＝5代入b+c﹣2a＝0中得：5﹣2a＝0，
解得：a＝2.5；
（2）∵b+c＝5，
∴c＝5﹣b；
（3）根据三角形的三边关系：|5﹣b﹣2.5|＜b且b＜5﹣b+2.5，
即2.5﹣b＜b＜2.5+5﹣b，
解得：54＜b＜154．
故b的取值范围是54＜b＜154．
故答案为：2.5；c＝5﹣b．
4．k为何值时，方程组kx−y=−133y=1−6x有唯一一组解；无解；无穷多解？
【答案】见试题解答内容
【解析】解：原方程组可化为kx−y=−136x+3y=1，
①当k6≠−13，即k≠﹣2时，原方程组有唯一一组解；
②当k6=−13≠−131，即k无论取什么值，都不能使原方程组无解；
③当k6=−13=−131，即k＝﹣2时，原方程组有无穷多解．
5．已知关于x、y的方程组：2x+9y=aax−y=a+1，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：解原方程组得，x=10a+99a+2y=a2−2a−29a+2，
假设x＝1时，可求得a＝﹣7，y＝﹣1；
同样设x为其他整数，a、y的值都不能为整数，
∴原方程组的整数解为x=1y=−1a=−7．
6．已知a、b满足a−2b+|a+b﹣3|＝0，求a2+b2的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：∵a−2b+|a+b﹣3|＝0，
∴a−2b=0a+b−3=0，
解得a=2b=1，
∴a2+b2＝4+1＝5，
∴a2+b2的平方根是±5．
7．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③，把①代入③得2×3+y＝5．
解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以原方程组的解为x=4y=−1
请你运用以上方法解决下列问题：
（1）模仿小红的方法解方程组x+3y=2①2x+7y=6②
（2）已知x，y满足方程组6x2−2xy+3y2=25①4x2+xy+2y2=10②，求2x2+y2+xy的值．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）把②变形得：2x+6y+y＝6，
2（x+3y）+y＝6 ③，
把①代入③得：4+y＝6，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：x+6＝2，
解得：x＝﹣4，
所以原方程组的解x=−4y=2；
（2）由①得：2x2+y2=25+2xy3，
由②得：2（2x2+y2）＝10﹣xy，
把③代入④得：2×25+2xy3=10﹣xy，
解得：xy=−207，
把xy=−207代入2x2+y2+xy得：
2x2+y2+xy=25+2×(−207)3+（−207）=257．
8．阅读探索
（1）知识累计
解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可变为x+2y=62x+y=6
解方程组得：x=2y=2 即a−1=2b+2=2
所以a=3b=0
此种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：(a3−1)+2(b5+2)=42(a3−1)+(b5+2)=5
（3）能力运用
已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2的解为x=5y=3，直接写出关于m、n的方程组5a1(m+3)+3b1(n−2)=c15a2(m+3)+3b2(n−2)=c2的解为m=n= ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（2）拓展提高
设a3−1＝x，b5+2＝y，
方程组变形得：x+2y=42x+y=5，
解得：x=2y=1，即a3−1=2b5+2=1，
解得：a=9b=−5；
（3）能力运用
设5(m+3)=x3(n−2)=y，
可得5(m+3)=53(n−2)=3，
解得：m=−2n=3，
故答案为： 3−2
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1．对于有理数x，y，定义新运算：x•y＝ax+by，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．例如，3•4＝3a+4b，则若3•4＝8，即可知3a+4b＝8．
已知1•2＝1，（﹣3）•3＝6，求2•（﹣5）的值．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：根据题意可得：a+2b=1①−a+b=2②，
则①+②得：b＝1，
则a＝﹣1，
故方程组的解为：a=−1b=1，
则原式＝2a﹣5b＝﹣2﹣5＝﹣7．
2．阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=34x+11y=5时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1
把y＝﹣1代入方程①得：X＝4，所以，方程组的解为x=4y=−1
请你解决以下问题：
（可直接写出答案）
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3x−2y=59x−4y=19
（2）已知x，y满足方程组3x2−2xy+12y2=472x2+xy+8y2=36模仿小军的“整体代换”法
（i）求x2+4y2的值．
（ii）求3xy的值．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19③，
把①代入③得：15+2y＝19，即y＝2，
把y＝2代入①得：x＝3，
则方程组的解为x=3y=2；
（2）（i）由①得：3（x2+4y2）＝47+2xy，即x2+4y2=47+2xy3③，
把③代入②得：2×47+2xy3=36﹣xy，
解得：xy＝2，
将xy＝2代入2x2+xy+8y2＝36得：2x2+2+8y2＝36，
解得：x2+4y2＝17；
（ii）由（i）知xy＝2，则3xy＝6．
3．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，n+22）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组x+y=3p+qx−y=3p−3q解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．
【答案】（1）点A，理由见解答；（2）﹣6；（3）p＝0，q=−23．
【解析】解：（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，理由如下：
∵m−1=5n+22=3，
∴m=6n=4，
∵2×6＝8+4，
∴点A是爱心点；
∵m−1=4n+22=6，
∴m=5n=10，
∵2×5≠8+10，
∴点B不是爱心点；
（2）∵点C为爱心点，
∴m−1=an+22=−8，
∴n＝﹣18，
又∵2m＝8+n，
∴2m＝8+（﹣18），
解得m＝﹣5，
∴﹣5﹣1＝a，即a＝﹣6；
（3）解方程组得 x=3p−qy=2q，
又∵点B是爱心点满足：m−1=3p−qn+22=2q，
∴m=3p−q+1n=4q−2，
∵2m＝8+n，
∴2 3p﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得：2 3p﹣6q＝4，
∵p，q是有理数，
∴p＝0，﹣6q＝4，
∴p＝0，q=−23．
名称
具体做法
目的
注意事项
（1）变形
用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程
变形为y=ax+b(或x=ay+b)的形式
选系数简单的方程变形
（2）代入
把y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个没有变形的方程中
消去一个未知数，转化为一元一次方程
代入时要“只代不算”
（3）求解
解代入后的一元一次方程
求出一个未知数的值
去括号时不漏乘，移项时要变号
（4）回代
把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中
求出另一个未知数的值
一般代入变形后的方程
（5）写出解
把两个未知数的值用大括号联立起来
表示为x=⋯y=⋯的形式
要用大括号将x，y的值联立起来
名称
具体做法
目的
（1）变形
根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边
使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数
（2）加减
加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数
转化为一元一次方程
（3）求解
解消元后得到的一元一次方程
求出一个未知数的值
（4）回代
把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中
求出另一个未知数的值
（5）写出解
把两个未知数的值用大括号联立起来
表示为x=⋯y=⋯的形式
解：2x+3y=8①3x−5y=5②
由①得x=8−3y2③；步骤一
把③代入②得3×8−3y2−5y=5；步骤二
去分母得24−9y−10y=5；步骤三
解得y=1，再由③得x=2.5.步骤四