寒假作业17 二元一次方程与一次函数（巩固培优）八年级数学新教材北师大版+答案

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作业17 二元一次方程与一次函数
一、一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可化简为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
（1）一元一次方程kx+b=0(k≠0)是一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值为0时的特殊情形．
（2）直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解，即x=−bk．
二、一次函数与二元一次方程（组）的关系
1. 一次函数与二元一次方程的关系
一般地，一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx−y+b=0的解；以二元一次方程kx−y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上．
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）．
二元一次方程组y=a1x+b1y=a2x+b2的解为两直线y=a1x+b1；和y=a2x+b2的交点坐标；反过来,两直线y=a1x+b1，和y=a2x+b2的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解．
（1）两直线平行（无交点），方程组无解(a1=a2，b1≠b2)；
（2）两直线交于一点，方程组有唯一解；
（3）两直线重合，方程组有无数组解(a1=a2，b1=b2)．
三、二元一次方程组的图象解法
1. 二元一次方程组的图象解法的含义
用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法．
2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
（1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y1=k1x+b1,和y2=k2x+b2．
（2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象．
（3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解
1.若直线y=ax+ba≠0与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程ax=3a−2b的解为（ ）
A．x=5B．x=−5C．x=−2D．x=−3
【答案】A
【解析】解：∵直线y=ax+ba≠0与x轴交点的横坐标为1，
∴0=a+b，
∴b=−a，
将b=−a代入ax=3a−2b中，得：ax=3a−2−a，
∴ax=5a，
∵a≠0，
∴x=5，
故选：A．
题型二 由一元一次方程的解判断直线经过的点
2.若x=2是关于x的方程mx+n=0m≠0,n>0的解，则一次函数y=−mx−1−n的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．2,0B．3,0C．0,2D．0,3
【答案】B
【解析】解：∵方程的解为x=2，
∴当x=2时mx+n=0；
∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，
∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
故选：B．
题型三 利用图象法求一元一次方程的解
3．如图，直线l1:y=k1x与直线l2:y=k2x+5相交于点P，则方程k1x−k2x=5的解为 ．
【答案】x=1
【解析】解：直线l1:y=k1x与直线l2:y=k2x+5相交于点P，
∴P1,2，
∵k1x−k2x=5变形得k1x=k2x+5，即y1=y2，
∴方程k1x−k2x=5的解为x=1
故答案为：x=1 ．
题型四 两直线的交点与二元一次方程组的解
4．通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于x,y的二元一次方程ax+by=c的图象和关于x,y的二元一次方程mx−ny=t的图象的交点坐标为(−2,3)，则关于x,y的方程组ax−4by=4cmx+4ny=4t的解为（ ）
A．x=8y=3B．x=−8y=−3C．x=−4y=3D．x=−4y=−2
【答案】B
【解析】解：由题意，方程组ax+by=cmx−ny=t的解为：x=−2y=3，
∵ax−4by=4cmx+4ny=4t，
∴a⋅x4+b⋅−y=cm⋅x4−n⋅−y=t，
∴ax−4by=4cmx+4ny=4t的解为：14x=−2−y=3，
∴x=−8y=−3；
故选B．
题型五 利用图象法求二元一次方程组的解
5．如图，一次函数y=kx+b与y=−x+5的图象相交于点Pm,1，则关于x、y的二元一次方程组{y=−x+5y=kx+b的解是 ．

【答案】x=4y=1
【解析】解：∵点Pm,1在y=−x+5的图象上，
∴当y=1时，1=−x+5，
解得x=4，
∴点P4,1，
∵一次函数y=kx+b与y=−x+5的图象相交于点P4,1，
∴关于x、y的二元一次方程组{y=−x+5y=kx+b的解是{x=4y=1，
故答案为：{x=4y=1.
题型六 直线围成的图象面积
6．如图，已知直线l1∶y=32x与直线l2∶y=kx+1(k≠0)在第一象限交于点Pm,3，直线l2与x轴交于点A，则△AOP的面积为（ ）
A．2B．32C．1D．12
【答案】B
【解析】解：∵Pm,3在直线l1∶y=32x上，∴3=32m，∴m=2，∴P2,3，
将P2,3代入l2∶y=kx+1，
得3=2k+1，解得k=1，故l2∶y=x+1，
∵直线l2与x轴交于点A，∴0=x+1，
∴x=−1，
∴A−1,0，∴OA=1，∴S△AOP=12×1×3=32．
故选：B．
1．若方程组y=kx+3y=(3k+1)x+2无解，则y＝kx+3图象不经过第 三 象限．
【答案】三
【解析】解：∵方程组y=kx+3y=(3k+1)x+2无解，
∴直线y＝kx+3与y＝（3k+1）x+2平行，
∴k＝3k+1，
解得k=−12，
在直线y=−12x+3中，∵−12＜0，3＞0，
∴直线y=−12x+3经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为三．
2．一般地，二元一次方程的解可以转化为点的坐标，其中x的值对应为点的横坐标，y的值对应为点的纵坐标，如二元一次方程x﹣2y＝0的解x=0y=0和x=2y=1可以转化为点的坐标A（0，0）和B（2，1）．以方程x﹣2y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣2y＝0的图象．
（1）写出二元一次方程x﹣2y＝0的任意一组解 x=−2y=−1 ，并把它转化为点C的坐标 （﹣2，﹣1） ；
（2）在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如方程x﹣2y＝0的图象是由该方程所有的解转化成的点组成，在图中描出点A、点B和点C，观察它们是否在同一直线上；
（3）取满足二元一次方程x+y＝3的两个解，并把它们转化成点的坐标，画出二元一次方程x+y＝3的图象；
（4）根据图象，写出二元一次方程x﹣2y＝0的图象和二元一次方程x+y＝3的图象的交点坐标 （2，1） ，由此可得二元一次方程组x−2y=0x+y=3的解是 x=2y=1 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）二元一次方程x﹣2y＝0的解可为x=−2y=−1，把它转化为点C的坐标为（﹣2，﹣1），
（2）如图，点A、点B和点C同一直线上；
（3）二元一次方程x+y＝3的两个解为x=3y=0或x=0y=3，把它们转化成点的坐标为（3，0），（0，3），
如图，
（4）根据图象，二元一次方程x﹣2y＝0的图象和二元一次方程x+y＝3的图象的交点坐标为（2，1），由此可得二元一次方程组x−2y=0x+y=3的解是x=2y=1
故答案为x=−2y=−1；（﹣1，﹣1）；（2，1），x=2y=1．
3．（1）请在如图的直角坐标系中作出y＝2x+1，y＝3x的图象；
（2）利用你所画的图象，直接写出方程组y=2x+1y=3x的解．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）函数y＝2x+1经过点（0，1）、（−12，0）；
函数y＝3x经过点（0，0），（1，3）．
作图如下：
（2）根据图象可得：方程组y=2x+1y=3x的解为x=1y=3．
4．在直角坐标系中，直线L1的解析式为y＝2x﹣1，直线L2过原点且L2与直线L1交于点P（﹣2，a）．
（1）试求a的值；
（2）试问（﹣2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解；
（3）设直线L1与x轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看；
（4）在直线L1上是否存在点M，使点M到x轴和y轴的距离相等？若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）把（﹣2，a）代入y＝2x﹣1，得：﹣4﹣1＝a，
解得a＝﹣5．
（2）由（1）知：点P（﹣2，﹣5）；
则直线L2的解析式是y=52x；
因此（﹣2，a）可以看作二元一次方程组y=2x−1y=52x的解．
（3）直线L1与x轴交于点A（12，0），
所以S△APO=12×12×5=54．
（4）存在点M，使得点M到x轴和y轴的距离相等．
设点M的坐标为（a，b）；
①当a＝b时，点M的坐标为（a，a）；代入y＝2x﹣1得：2a﹣1＝a，a＝1；即点M的坐标为（1，1）；
②当a＝﹣b时，点M的坐标为（a，﹣a）；代入y＝2x﹣1得：2a﹣1＝﹣a，a=13；即点M的坐标为（13，−13）．
综上所述，存在符合条件的点M坐标为（1，1）或（13，−13）．
5．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象过点B（﹣1，52），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，与直线y＝kx交于点P，且PO＝PA，
（1）求a+b的值．
（2）求k的值．
（3）D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若DE＝2EF，求D点坐标．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）根据题意得：52=−a+b0=4a+b，
解方程组得：a=−12b=2，
∴a+b=−12+2=32，即a+b=32；
（2）设P（x，y），则点P即在一次函数y＝ax+b上，又在直线y＝kx上，
由（1）得：一次函数y＝ax+b的解析式是y=−12x+2，
又∵PO＝PA，
∴x2+y2=(4−x)2+y2y=kxy=−12x+2，
解方程组得：x=2y=1k=12，
∴k的值是12；
（3）设点D（x，−12x+2），则E（x，12x），F（x，0），
∵DE＝2EF，
∴−12x+2−12x=2×12x，
解得：x＝1，
则−12x+2=−12×1+2=32，
∴D（1，32）．
6．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是什么？
【答案】见试题解答内容
【解析】解：设过点（1，1）和（0，﹣1）的直线解析式为y＝kx+b，
则k+b=1b=−1，解得k=2b=−1，
所以过点（1，1）和（0，﹣1）的直线解析式为y＝2x﹣1；
设过点（1，1）和（0，2）的直线解析式为y＝mx+n，
则m+n=1n=2，即得m=−1n=2，
所以过点（1，1）和（0，2）的直线解析式为y＝﹣x+2，
所以所解的二元一次方程组为y=2x−1y=−x+2．
7．若方程组2x+y=k2x−y=1的解中，x是正数，y是非正数．
（1）求k的正整数解；
（2）在（1）的条件下求一次函数y=kx−32与坐标轴围成的面积．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）解方程组2x+y=k2x−y=1得：x=k+14y=k−12，
因为x是正数，y是非正数，
可得：k+14＞0k−12≤0，
解得：﹣1＜k≤1，
因为k取正整数，
所以k＝1；
（2）把k＝1代入y=kx−32中，可得y＝x﹣1.5，
所以与坐标轴的面积为12×32×32=98．
8．如图，直线l1过点A（8，0）、B（0，﹣5），直线l2过点C（0，﹣1），l1、l2相交于点D，且△DCB的面积等于8．
（1）求点D的坐标；
（2）点D的坐标是哪个二元一次方程组的解．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）设直线l1的解析式为y＝kx+b，
根据题意得：8k+b=0b=−5，
解得：k=58b=−5，
∴直线l1的解析式为y=58x﹣5，
∵B（0，﹣5），
∴OB＝5，
∵点C（0，﹣1），
∴OC＝1，
∴BC＝5﹣1＝4，
设D（x，y），则△DCB的面积=12×4×|x|＝8，
解得：x＝±4（负值舍去），
∴x＝4，代入y=58x﹣5得：y=−52，
∴D（4，−52）；
（2）设直线l2的解析式为y＝ax+c，
根据题意得：4a+c=−52c=−1，
解得：a=−38c=−1，
∴直线l2的解析式为y=−38x﹣1，
∵l1、l2相交于点D，
∴点D的坐标是方程组y=58x−5y=−38x−1的解．
1．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b）和B（a，b′），若b′=b，a≥2−b，a＜2，则称点B（a，b′）是点A（a，b）的“相伴点”．请你解决下列问题：
（1）点（3，﹣2）的“相伴点”是 （3，﹣2） ，点（2，﹣1）的“相伴点”是 （2，1） ．
（2）已知点C在函数y＝﹣x+2的图象上，
①已知点C在函数y＝﹣x+2（x≤﹣1）的图象上，则点C的“相伴点”C′在函数y＝x﹣2 的图象上；
②已知点C在函数y＝﹣x+2（﹣2≤x≤m，m＞﹣2）的图象上，则点C的“相伴点”C′的纵坐标c′满足﹣4≤c′≤﹣1，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）点（3，﹣2）的“相伴点”是点（3，﹣2），点（2，﹣1）的“相伴点”是（2，1）．
（2）①∵函数y＝﹣x+2（x≤﹣1），
∴点C的“相伴点”C′在函数﹣y＝﹣x+2，即y＝x﹣2上；
②∵点C的“相伴点”C′的纵坐标c′满足﹣4≤c′≤﹣1，
∴当点C的“相伴点”C′的横坐标为3≤m≤6；
当点C的“相伴点”C′的横坐标为﹣2＜m≤1．
故答案为：（3，﹣2），（2，1）；x﹣2．
2．一般地，二元一次方程的解可以转化为点的坐标，其中x的值对应为点的横坐标，y的值对应为点的纵坐标，如二元一次方程x﹣2y＝0的解x=0y=0和x=2y=1可以分别转化为点A（0，0）和B（2，1）．以方程x﹣2y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣2y＝0的图象．
（1）写出二元一次方程x﹣2y＝0的任意一组解： x=−2y=−1 ，并把它转化为点C的坐标： （﹣2，﹣1） ；
（2）在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．根据此结论，在所给平面直角坐标系中分别画出二元一次方程x﹣2y＝0的图象和二元一次方程x+y＝3的图象；
（3）根据图象，得出二元一次方程x﹣2y＝0的图象和二元一次方程x+y＝3的图象的交点坐标为 （2，1） ，由此可得二元一次方程组x−2y=0x+y=3的解是 x=2y=1 ．
【答案】（1）x=−2y=−1；（﹣1，﹣1）；
（2）如图所示；
（3）（2，1），x=2y=1．
【解析】解：（1）二元一次方程x﹣2y＝0的解可为x=−2y=−1，把它转化为点C的坐标为（﹣2，﹣1），
（2）如图，点A、点B和点C同一直线上，二元一次方程x+y＝3的两个解为x=3y=0或x=0y=3，把它们转化成点的坐标为（3，0），（0，3），
（3）根据图象，二元一次方程x﹣2y＝0的图象和二元一次方程x+y＝3的图象的交点坐标为（2，1），
由此可得二元一次方程组x−2y=0x+y=3的解是x=2y=1，
故答案为（﹣1，﹣1）；（2，1），x=2y=1．