寒假作业03 勾股定理的应用（巩固培优）八年级数学新教材北师大版+答案

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作业03 勾股定理的应用
一、利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题
1.在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线路的性质：两点之间，线段最短．在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，将其展开成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线．
2.立体图形表面的最短路线问题的一般解题步骤：
二、利用三角形三边关系判断垂直
现实生活中需要判断两条直线是否垂直，解决问题的一般方法是将实际问题转化为数学问题，再利用三角形三边关系判断是否垂直．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 利用勾股定理判断汽车是否超速
1.已知某高速路段限速90km/h（即25m/s）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的C处∠C=90°，过了2s后到B处，测得AB=50m．请通过计算判断汽车是否超速．
题型二 利用勾股定理判断是否受台风影响
2.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：
(1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？
题型三 选址到两地距离相等
3．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
题型四 利用勾股定理解决航海问题
4．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．

(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
题型五 利用勾股定理求河宽
5．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米，则河的宽度AB是（ ）
A．6米B．9米C．12米D．15米
题型六 利用勾股定理求台阶上地毯长度
6．如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面AB长为（ ）
A．4米B．5米C．6米D．7米
题型七 利用勾股定理求旗杆高度
7．为测量学校旗杆AB的高度，某中学数学兴趣小组的同学经过讨论，设计了以下两种方案：
请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆AB的高度．
题型八 利用勾股定理求小鸟飞行距离
8．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=8米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC=10米．
(1)求出BC的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
题型九 利用勾股定理求大树折断前高度
9．如图，一棵垂直于地面且高度为12m的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC=4.5m，树尖B恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD=6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．
题型十 利用勾股定理求杯子中物体长度
10．如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是8cm和12cm，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4cm和2cm，则铅笔的长为（ ）
A．19cm B．21cmC．23cmD．25cm
题型十一 利用勾股定理求梯子滑落高度
11．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（ ）．

A．0.9米B．1.3米C．1.5米D．2米
题型十二 利用勾股定理求最短路径
12．如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A．15B．25C．35D．45
1．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
2．如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高20m，两杆相距50m．现两杆上各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼于是以同样的速度同时飞下来夺鱼结果两只鱼鹰同时到达，叼住小鱼．问，两杆底部距鱼的距离各是多少？
3．已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α．
（1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小；
（2）当α＝90°，AB＝AC＝8时，
①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长；
②若AD=52，求CF的长．
4．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
5．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的▇填上适当的数字．
6．某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB＝13m，梯子底端离墙角的距离BO＝5m．
（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；
（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离
BD＝4m吗？为什么？
（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？
7．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．
8．如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为60cm）堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？
9．如图，是斜坡AC上一根电线杆拦腰断成AB和BC两段的平面图，现测得AC＝4m，AB⊥AD于点A，∠BAC＝60°，∠BCA＝75°，试求电线杆未折断时的高度．（结果保留根号）
10．小红家最近新盖了房子，室内装修时，木工师傅让小红爸爸去建材市场买一块长3m，宽2.2m的薄木板用来做家居面，到了市场爸爸看到满足这个尺寸的木板有点大，买还是不买爸爸犹豫了，因为他知道他家门框高只有2m，宽只有1m，他不知道这块木板买回家后能不能完整的通过自家门框．请你替小红爸爸解决一下难题，帮他算一算要买的木板能否通过自家门框进入室内．（备用图可供做题参考，薄木板厚度可以忽略不计）
11．蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬到了D点，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）
1．八年一班的小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师，同学兴冲冲来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长，宽，高不得超过1米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模型不能折断，拆卸，托运又来不及了，怎么办呢？正当老师与同学门发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识，将飞机模型完整的带上了飞机，同样聪明的你，想到了什么办法吗？并请你将出其中的道理．
2．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，
∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
S梯形ABCD＝ ，
S△EBC＝ ，
S四边形AECD＝ ，
则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式x2+9+(16−x)2+81的最小值（0＜x＜16）
方案一
方案二
测量工具
含45°角的教学用直角三角板、足够长的皮尺．
升旗用的绳子、足够长的皮尺．
测量方案示意图
实施方案及测量数据
一同学站在C点，双手水平托好直角三角板，恰好看到旗杆顶A点，测得旗杆底部B处与C点的距离BC=10.8m，人的眼睛与地面的距离CD=1.2m．
升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得BC=5m．
备注
①图上所有点均在同一平面内；
②旗杆半径忽略不计．
①实施过程中，旗杆顶端绳子保持不动．