寒假作业16 二元一次方程组的应用（巩固培优）八年级数学新教材北师大版+答案

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作业16 二元一次方程组的应用
一、列二元一次方程组解应用题的基本步骤
（1）弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量；
（2）设未知数；
（3）根据找出的两个等量关系列出方程组；
（4）解方程组；
（5）检验所得的解是否符合题意；
（6）写出答案（包括单位)．
二、利润问题
单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；利润率=利润进价×100%；打折后的价格=原价×折数×110．
例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件．
三、增长率问题
增长率=增长后的量−增长前的量增长前的量×100%；增长后的量=增长前的量×(1+增长率)；减少后的量=减少前的量×(1−减少率) ．
四、数的表示问题
1. 用字母表示一个两位数
用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b．
2. 变换数位后多位数的表示
（1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x．
（2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m．
五、行程问题
1. 关系式
速度×时间＝路程．
2. 常见问题类型
（1）相遇问题：二者路程之和等于两点间距离．
（2）追及问题
①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离；
②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等．
（3）环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长．
（4）列车问题：需考虑车自身长度．
（5）顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度．
六、工程问题
1. 工作总量＝工作时间×工作效率．
2. 当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 利润问题
1.如习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校为提高学生的数学学习兴趣，现决定购买中国传统数学著作《九章算术》和《孙子算经》两种书．已知购买1本《九章算术》和2本《孙子算经》需105元，购买2本《九章算术》与购买3本《孙子算经》的价格相同，求这两种书的单价．
题型二 工程问题
2.某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？
题型三 行程问题
3．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过P点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．
请根据图文信息解决下列问题：
(1)求甲的赛跑速度；
(2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？
题型四 分配问题
4．如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
题型五 年龄问题
5．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
题型六 数字问题
6．算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数．
题型七 古代问题
7．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”，“方”指数据左右并排，其行方正，“成”指考查相关数据构成的比率关系．具体何谓“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？
(1)列二元一次方程组解决以上问题；
(2)依“方程术”解，将“牛5头，羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头，羊，5头共值金8两”，列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”），将所得左方新数连续减去右方对应数的适当倍数，直到左方头位数为零为止（“直除”），如图1所示．左方未尽之数，用上面的数做除数，下面的数做被除数，所得商即为每头羊值金数，（羊1头，值金2021两）
①上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的 思想；
②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”如图2所示，在图中填写数据，直接写出牛值金 两．
题型八 方案问题
8．某商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如表所示：
(1)已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20立方米，质量一共是10.5吨，求A、B两种型号商品各有几件？
(2)物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6立方米，其收费方式有以下两种：
①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费611元；
②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费211元．
现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？
题型九 几何问题
9．某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为1cm的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少cm？
题型十 和差倍分问题
10．在数学游艺会上，小勇负责一个游戏项目“猜猜哪个数最大”，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取3张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这3张卡片分别记为A，B，C，小勇依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．
(1)下表是小勇抽取的三张卡片A，B，C中相邻两张卡片上的数的和．
确定哪张卡片上的数最大，并说明理由；
(2)若小勇改变游戏规则，随机抽出4张卡片，分别记为D，E，F，G，他将卡片上的数之间存在关系的部分信息告诉参与者，让参与者说出这4张卡片中最大的数．已知提供的信息：卡片F上的数是卡片D上的数的3倍，卡片G上的数是卡片E的2倍，且这四张卡片上的数总和为20．求这四张卡片中最大的数是多少？
题型十一 图表信息问题
11．下表是某校七至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．（活动次数为自然数），求m、n的值．
1．为了打造区域中心城市，实现跨越式发展，我市新区建设正按投资计划有序推进．新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
2．某牛奶加工厂现有鲜奶9t，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3t，制成奶片，每天可加工1t，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温限制，这批牛奶需在4天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余鲜奶直接销售；
方案二：一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
3．学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售．
（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？
（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）90%出售．现要购买A型毛笔a支（a＞40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少并说明理由．
4．阅读材料：
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
解决问题：
（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 cm；
（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．
5．在一次有12个队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场多两场，结果积18分，问该队战平几场？
6．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
7．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子．
①请完成下列表格：
②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
（2）若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是 ，此时能制作横式箱子 只．
8．用煤燃烧发电时，所说的标准煤是指含热量为7 000大卡/千克的煤．生产实际中，一般根据含热量相等，把所需标准煤的用煤量折合成含相同热量的实际用煤量来计算．（“大卡/千克”为一种热值单位）
光明电厂生产中每发一度电需用标准煤0.36千克，现有煤矸石和大同煤两种可选为生产实际用煤，这两种煤的基本情况见下表：
（1）求生产中只用大同煤每发一度电的用煤量；（即表中m的值）
（2）根据环保要求，光明电厂在大同煤中掺混煤矸石形成含热量为5 000大卡/千克的混合煤来燃烧发电，若使用这种混合煤比全部使用大同煤每发1 000度电的生产成本增加了5.04元，求表中a的值．（生产成本＝购煤费用+其它费用）
1.《国家学生体质健康标准》中明确要求关注身体形态和肥胖状况．体重指数（BMI=体重身高2）是用来衡量人体胖瘦程度的常用参考指标，根据BMI数值将人体胖瘦状况分为体重过低、体重正常、超重、肥胖四种类型．
（一）从某校七年级学生中随机抽取男生、女生各20名，测得他们的身高和体重数据，计算出相应的BMI数值，并将数据整理如下：
20名男生胖瘦状况频数分布表 20名女生胖瘦状况条形图
（二）由资料知，饮食平衡与适当运动可以有效控制BMI．为保障在食堂就餐学生的营养均衡，学校加强对食堂供餐的管理．已知学校食堂某天午餐的供餐方案：每份午餐含米饭150g、一份荤菜、两份半荤菜及一份蔬菜．其中每份午餐中蔬菜类食物合计280g，肉蛋类食物合计140g，各类菜品配料等具体信息如表一．
【备注：学校食堂采用少油少盐的营养供餐，因此食用油、食盐等配料等的热量和蛋白质忽略不计】
表一
（三）该校七年级学生均为13岁—14岁的青少年，我国该年龄段学生的午餐营养标准如表二．
表二
根据材料解决下列问题：
(1)a= ；
(2)已知该校七年级男生260人，女生240人．根据以上统计数据，估计该校七年级学生体重正常的人数比例．针对该校七年级学生的胖瘦状况，请你提出一条合理化建议；
(3)通过计算，判断该份午餐是否符合七年级男生或女生的午餐营养标准．
2.某数学兴趣小组进行跨学科探究学习，在盛水的烧杯中，放入A，B两种规格的玻璃球，研究放入两种球的数量与水面上升高度的关系．具体实验操作如下（以下实验中所用烧杯都相同，所有球均浸没于水面以下，且烧杯中的水均未溢出）：步骤一：分别向三个水平放置的空烧杯甲，乙，丙内注入适量的水，使烧杯内水面高度均为20cm；步骤二：向甲烧杯内放入4个A球和1个B球，此时烧杯内水面高度为36cm；步骤三：向乙烧杯内放入2个A球和3个B球，此时烧杯内水面高度为38cm；步骤四：向丙烧杯内放入A，B两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为65cm．则向丙烧杯内放入的A种玻璃球的个数为 ．
3【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：m0+m⋅l=M⋅a+y．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定m0=10,M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l,a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l,a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
4.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s．接水的过程中，为了接到较适合饮用的温开水，先接温水x秒，再接开水y秒，整个过程不计热量损失．
【物理知识】
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：
开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．
结合以上信息解决下列问题：
(1)甲同学要接满一杯500ml的水，如果他先接温水16秒，则再接开水的时间为 秒，所接的这杯水的温度是 ℃；
(2)乙同学要接一杯700ml且水温为50℃的温开水，求x，y的值；
(3)丙同学有一个容量为1000ml的水壶，接满水后的水温为T℃，求T与x之间的关系．体积（立方米/件）
质量（吨/件）
A型商品
0.8
0.5
B型商品
2
1
卡片编号
A，B
B，C
C，A
两数的和
64
50
32

课外小组活动总时间/h
文艺小组活动次数/次
科技小组活动次数/次
七年级
12.5
4
3
八年级
11
4
2
九年级
7
m
n
租金（单位：元/台•时）
挖掘土石方量（单位：m3/台•时）
甲型挖掘机
100
60
乙型挖掘机
120
80
x只竖式箱子
y只横式箱子
A型板材张数（张）
x

B型板材张数（张）

3y
煤的品种
含热量
（大卡/千克）
只用本种煤每发
一度电的用煤量
（千克/度）
平均每燃烧一吨煤发电的生产成本
购煤费用
（元/吨）
其他费用
（元/吨）
煤矸石
1000
2.52
150
a（a＞0）
大同煤
6000
m
600
a2
混合煤
5000
0.504
510
0.8a2+0.2a
组别
频数

体重过低
3
体重正常
a
超重
4
肥胖
3
类别
菜名
原材料质量配比
每100克含热量（千焦）
每100克含蛋白质（克）
荤菜
卤鸡腿
鸡腿60g
840
18
半荤
番茄炒蛋
番茄：鸡蛋=3:2
300
6
半荤
花菜炒肉片
花菜：肉片=4:1
350
7
蔬菜
清炒空心菜
空心菜100g
25
2.2
主食
米饭
大米150g
1400
4
能量需要量（千焦）
蛋白质摄入量（克）
男
3586~4100
28~36
女
3222~3680
23~30