寒假作业19 数据的分析（巩固培优）八年级数学新教材北师大版+答案

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作业19 数据的分析
一、算术平均数
1. 一般地，对于n个数x1，x2，⋯，xn，我们把1nx1+x2+⋯+xn叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为x，即x=1nx1+x2+⋯+xn．
2. 算术平均数的意义
反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准．
3. 算术平均数的特征
（1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关；
（2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响．
4. 若x1，x2，⋯，xn的平均数为x，则有如下结论：
（1）nx1，nx2，⋯，nxn的平均数为nx；
（2）x1+b，x2+b，⋯，xn+b的平均数为x+b；
（3）nx1+b，nx2+b，⋯，nxn+b的平均数为nx+b．
二、加权平均数
1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度．
2. 若n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，⋯，xk出现fk次（其中f1+f2+⋯+fk=n），则由平均数的定义可得其平均数为x=x1f1+x2f2+⋯+xkfkn，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中x1的权为f1n，x2的权为f2n，⋯，xk的权为fkn．
3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系
三、中位数
1. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数．
2. 一组数据的中位数有且只有一个，代表这组数据的“中等水平”．其单位与数据的单位相同．
3. 中位数的求法
（1）把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列；
（2）确定这组数据的个数；
（3）当数据的个数是奇数时，取最中间的一个数作为中位数；当数据的个数是偶数时，取最中间两个数的平均数作为中位数．
四、众数
1. 一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数．
2. 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数．
（1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数；
（2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数．
五、合理选用平均数、中位数和众数分析问题
1. 平均数、中位数和众数各自的特征
（1）平均数：计算时所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实中较为常用，但它易受极端值的影响．
（2）中位数：计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息，而且当数据个数为偶数时，中位数不一定是数据中的数．
（3）众数：是一组数据中多次重复出现的那个数，往往是人们尤为关心的一个量，当各个数据的重复次数大致相等时，众数就没有特别的意义，但众数一定是数据中的数．
2. 数据分析时的选用依据
平均数
众数
中位数
当要解决的问题需要一组数据中的每个数据都参加运算时，应当选用平均数
当一组数据中
出现极端值时，
应选用中位数
当一组数据中有的数据重
复出现，以至于其他数据
的作用显得相对较小时，应选用众数
六、从统计图分析数据的集中趋势
七、方差与标准差
1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用s2表示，即s2=1nx1−x2+x2−x2+⋯+xn−x2．其中x是数据x1，x2，⋯，xn的平均数．
2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即s=s2=1nx1−x2+x2−x2+⋯+xn−x2．
3. 方差和标准差的计算
（1）计算这组数据的平均数；
（2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据；
（3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差；
（4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差．
4. 方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定．
5. 适当变形后新数据的平均数和方差
6.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即S=x1−x2+x2−x2+⋯+xn−x2．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”，多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．
八、四分位数与箱线图
在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。
箱线图
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 算术平均数
1.x是x1, x2, ⋯, x100的平均数，a是x1, x2, ⋯, x30的平均数，b是x31, x32, ⋯, x100平均数，则下列各式一定正确的是（ ）
A．x=70a+30b100B．x=30a+70b100C．x=a+b2D．x=a+b
题型二 加权平均数
2.△某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100分，所占比例如表：
若某班这四项得分（单位：分）依次为95，85，90，80，则该班四项综合得分为 分．
题型三 中位数
3．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图4所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，不可以选择（ ）
A．甲、丁B．甲、戊C．乙、丁D．丙、丁
题型四 众数
4．五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是（ ）
A．16B．17C．24D．25
题型五 统计量的选择
5.在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有13名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这13名同学成绩的（ ）
A．众数B．中位数C．方差D．平均数
题型六 方差
6.已知a，b，c，d，e五个数的平均数为m，方差为g，求3a+n,3b+n,3c+n,3d+n,3e+n的平均数和方差．
题型七 四分位数与箱线图
7．已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示．
(1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________．
(2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？
(3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？
题型八 标准差
8．若样本x1,x2,x3,…xn，的平均数为12，方差为4，则对于样本2x1+3,2x2+3，2x3+3,⋯2xn+3下列结论正确的是（ ）．
A．平均数为12，标准差为2B．平均数为12，标准差为4
C．平均数为27，标准差为2D．平均数为27，标准差为4
题型九 数据的分析
9．某校七、八年级进行了数学期末检测，并从七、八年级中分别随机抽取了10名学生的检测成绩，整理如下：
七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，92；
八年级10名学生的成绩：94，90，93，88，98，91，89，100，87，100；
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中a=____________；b=____________；c=____________；
(2)这次检测中，____________年级的成绩更稳定；
(3)我校八年级共有800人参加了此次数学检测，估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（x≥90）的有多少人？
1．定义新运算：[a，b，c]＝a（c＜a＜b），即[a，b，c]的取值为a，b，c的中位数，例如：[1，2，3]＝2，[3，4，8]＝4，已知函数y＝[x+2，x2+1，﹣x+2]与直线y=12x+b有3个交点时，则b的值为 ．
2．某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对他所教的初三（1）班（2）班进行了检测．如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况：
（1）利用图中提供的信息，补全下表：
（2）观察图中数据分布情况，请通过计算说明哪个班的学生纠错的得分情况更稳定？

3．甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食单价不同），甲每次购买粮食100公斤，乙每次购买粮食用去100元，设甲、乙两人第一次购买粮食的单价x元/公斤，第二次购买粮食的单价y元/公斤．
（1）用含x，y的代数式表示甲两次购买粮食共要付粮款 元，乙两次共购买 公斤粮食，若甲两次购粮的平均单价为每公斤Q1元，乙两次购粮的平均单价为每公斤Q2元，则Q1＝ ，Q2＝ ．
（2）若规定两次购粮的平均单价低者，购粮方式合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些？并说明理由．
4．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图．请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：
（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？
（2）哪段台阶路走起来更舒服，为什么？
（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．
5．将最小的31个自然数分成A、B两组，10在A组中，如果把10从A组移到B组，则A组中各数的算术平均数增加12，B组中各数的算术平均数也增加12．问A组中原有多少个数？
6．在“3●15”消费者权益日活动中，对甲、乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查，如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分为很不满意、不满意、较满意、很满意四个等级，并依次记为1分、2分、3分、4分．
（1）请问：甲商场的用户满意度分数的众数是 ；乙商场的用户满意度分数的众数为 ；
（2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均值（计算结果精确到00.1）；
（3）请你根据所学的统计知识判断哪家商场的用户满意度较高，并简要说明理由．
7．某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校际比赛，在最近的10次选拔赛中，他们的成绩如下（单位：cm）：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）他们的平均成绩分别是多少？
（2）甲、乙这10次选拔赛成绩的方差分别是多少？
（3）这两名运动员的成绩各有什么特点？
（4）历届比赛表明，成绩达到5.96m的就很可能夺冠，那么你认为夺冠应选谁参加这项比赛？历届比赛表明，成绩达到6.10m就能打破纪录，那么你认为打破纪录应选谁参加这项比赛？
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1．已知四个数据：10、x、8、12，若这组数据的众数和平均数的差的绝对值是1.5，求这组数据的中位数．（不能只有结论，要有适当的解题过程）
用法的区别
①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数
影响因素的区别
①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响
联系
算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数
条形统计图
扇形统计图
众数
最高的直条所对的横轴的数
占比例最大的部分所对应的数
中位数
确定中间位置是第n个数，按从左到右的顺序依次计算纵轴对应的个数和，和为n时对应的横轴上的数就是中位数（若处于中间位置的数有两个，则求这两个数的平均数）
按从小到大的顺序计算所占百分比之和，处于最中间位置的数（或最中间位置两个数的平均数）就是中位数
平均数
按平均数的计算公式计算
样本数据
平均数
方差
x1，x2，x3，⋯，xn
x
s2
x1+a，x2+a，x3+a，⋯，xn+a
x+a
s2
kx1，kx2，kx3，⋯，kxn
kx
k2s2
kx1+a，kx2+a，kx3+a，⋯，kxn+a
kx+a
k2s2
项目
学习
卫生
纪律
活动参与
所占比例
40%
30%
20%
10%
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
93
b
c
23.6
八年级
a
92
100
21.4
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
（1）班

24

（2）班
24

21