寒假作业01 探索勾股定理（巩固培优）八年级数学新教材北师大版+答案

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作业01 探索勾股定理
一、勾股定理
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 勾股定理的运用
1.如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝ ．
【答案】5．
【解析】先作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到AE的值，AD平分∠EAC，从而可以得到DE＝DF，再根据等面积法即可求得CD的长．
题型二 直角三角形中的分类讨论思想
2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（ ）
A．42B．32C．42或32D．42或37
【答案】C．
【解析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
题型三 勾股定理解勾股树问题
3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（ ）
A．184B．86C．119D．81
【答案】B．
【解析】由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，
因此S2＝135﹣49＝86，故选：B．
题型四 勾股定理解动点问题
4．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（ ）
A．62596或252B．252或24或12
C．62596或24或12D．62596或252或24
【答案】D．
【解析】∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm．
①当BP＝BA＝25时，∴t=252．
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24．
③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t=62596．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t=252或24或62596，故选：D．
题型五 勾股定理的验证
5.如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）24；（3）403．
【解析】（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×12ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，
12×（3+1）×3×4=12×4×3×4＝24．故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y=403，∴S2＝x+4y=403．
故答案为：403．
题型六 直角三角形的判定
6.若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C．
【解析】①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°，不是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴是直角三角形；
④∵∠A＝∠B=12∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，是直角三角形；
⑤∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，a2+c2＝b2，是直角三角形；
⑥∵a：b：c＝5：12：13，∴52+122＝132，∴a2+b2＝c2，是直角三角形；
故选：C．
题型七 勾股数问题
7.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
【答案】m2+1．
【解析】∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2+1，
综上所述，其弦是m2+1，故答案为：m2+1．
题型八 格点图中求角的度数
8.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 ．
【答案】45°．
【解析】连接EF，如右图所示，设每个小正方形的边长为1，
则AE=12+22=5，EF=12+22=5，AF=12+32=10，
∴AE2+EF2＝（5）2+（5）2＝5+5＝10＝（10）2＝AF2，
∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°，
又∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，故答案为：45°．
题型九 勾股定理及其逆定理的运用
9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝102．
（1）求四边形ABCD的面积．
（2）求对角线BD的长．
【答案】（1）四边形ABCD的面积是74；（2）265．
【解析】（1）连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB2+BC2=62+82=10，
∵CD＝10，AD＝102，∴CD2+AC2＝102+102＝200，AD2＝（102）2＝200，
∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积是：AB⋅BC2+AC⋅CD2=6×82+10×102=24+50＝74，
即四边形ABCD的面积是74；
（2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DEC＝90°，
∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠CAB，
在△ABC和△CED中，∠ABC=∠CED∠CAB=∠DCEAC=CD，∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE，BC＝ED，
∵AB＝6，BC＝8，∴CE＝6，ED＝8，∴BE＝BC+CE＝8+6＝14，
∴BD=BE2+ED2=142+82=265．
1．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 261 ．
【答案】261
【解答】解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．
∵CK∥AB，∴∠KCE＝∠A，∵CK＝CA，CE＝AD，∴△CKE≌△CAD，∴CD＝KE，
∵CD+BE＝EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值为BK的长，
在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8，∴CG=12BC＝4，BG＝43，
在Rt△KBG中，BK=GK2+BG2=142+(43)2=261．故答案为261．
2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝22EF，则正方形ABCD的面积为 36 ．
【答案】36
【解答】解：设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝22EF，∴2a＝22b，∴a=2b，
∵正方形EFGH的面积为4，∴b2＝4，∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝9b2＝36，故答案为：36
3．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
（1）△ABC的面积为： 3.5 ．
（2）若△DEF三边的长分别为5、8、17，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为 3 ．
（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是 110 m2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×3−12×2×1−12×3×1−12×2×3，＝9﹣1﹣1.5﹣3，
＝9﹣5.5，＝3.5；
△DEF如图2所示；
面积＝2×4−12×1×2−12×2×2−12×1×4，＝8﹣1﹣2﹣2，＝8﹣5，＝3；
（3）∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠PAE+∠BAG＝180°﹣90°＝90°，又∵∠AEP+∠PAE＝90°，∴∠BAG＝∠AEP，
在△ABG和△EAP中，∠BAG=∠AEP∠AGB=∠EPA=90°AB=AE，∴△ABG≌△EAP（AAS），
同理可证，△ACG≌△FAQ，∴EP＝AG＝FQ；
（4）如图4，过R作RH⊥PQ于H，设RH＝h，
在Rt△PRH中，PH=PR2−RH2=25−ℎ2，
在Rt△RQH中，QH=RQ2−RH2=13−ℎ2，
∴PQ=25−ℎ2+13−ℎ2=6，25−ℎ2=6−13−ℎ2，
两边平方得，25﹣h2＝36﹣1213−ℎ2+13﹣h2，整理得，13−ℎ2=2，
两边平方得，13﹣h2＝4，解得h＝3，
∴S△PQR=12×6×3＝9，∴六边形花坛ABCDEF的面积＝25+13+36+4×9＝74+36＝110m2．
故答案为：（1）3.5；（2）3；（4）110．
4．（1）如图1，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5．D为AB边上一点，且△ACD与△BCD的周长相等，则AD＝ 2 ．
（2）如图2，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB2＝BC2+AC2．E为BC边上一点，且△ABE与△ACE的周长相等；F为AC边上一点，且△ABF与△BCF的周长相等，求CE•CF（用含a，b的式子表示）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ACD与△BCD的周长相等，∴AC+AD＝BC+BD，即4+AD＝3+BD，
又AD+DB＝5，BD−AD=1AD+BD=5 解得：AD＝2．
（2）设AB＝c，则c2＝a2+b2，
∵△ABE与△ACE的周长相等，∴CE+AC＝BE+AB=12（AB+BC+AC），
设CE＝x，∴x+b=12（a+b+c），∴x=12（a﹣b+c），
设CF＝y，同理可得y+a=12（a+b+c），
∴CE•CF=12（a﹣b+c）•12（b+c﹣a）=14[c2﹣（a﹣b）2]，
∵c2＝a2+b2，∴CE•CF=12ab．
5．如图，沿折痕AE叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝8，且△ABF的面积为24，求EC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵S△ABF＝24，AB＝8，∴BF＝6．∴AF＝10＝AD．∴FC＝4．
设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x．
根据勾股定理，得CF2+CE2＝EF2即16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3．
即EC＝3．
6．连接正方形四边中点所构成的正方形，我们称其原正方形的中点正方形，如图，已知正方形ABCD的中点正方形是A1B1C1D1，再作正方形A1B1C1D1的中点正方形A2B2C2D2，…这样不断地作下去，第n次所做的中点正方形AnBn∁nDn，若正方形ABCD的边长为1，则第10次所作的中点正方形边长为 132 ，若设中点正方形AnBn∁nDn的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S10＝ 10231024 ．
【答案】132；10231024
【解答】解：观察，发现规律：AB＝1，A1B1=22AB=22，A2B2=22A1B1=12，A3B3=22A2B2=24，…，
∴AnBn=(22)n．
当n＝10时，A10B10=(22)10=132．
设S1+S2+S3+…+S10=12+14+18+⋯+11024=S，则12S=14+18+⋯+11024+12048，
∴S−12S=12−12048=10232048，∴S=10231024．
故答案为：132；10231024．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t．
（1）AB＝ 50 cm，AB边上的高为 24 cm；
（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，
∴AB=BC2+AC2=302+402=50（cm）；
作AB边上的高CE，如图1所示：
∵Rt△ABC的面积=12AB•CE=12AC•BC，∴CE=AC⋅BCAB=40×3050=24（cm）；
故答案为：50，24；
（2）分三种情况：
①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30，∴t＝15（s）；
②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：
则BE＝DE=12BD＝t，
由（1）得：CE＝24，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=BC2−CE2=302−242=18（cm），∴t＝18s；
③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，
∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠A，∴DA＝DC，∴AD＝DB=12AB＝25（cm），
∴2t＝25，∴t＝12.5（s）；
综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．
8．仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题：
OA22=（1）2+1＝2，S1=12
OA32=（2）2+1＝3，S2=22
OA42=（3）2+1＝4，S3=32
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的值；
（3）求出S12+S22+S32+⋯+S102的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）(n)2+1＝n+1
Sn=n2（n是正整数）；
（2）∵OA12=1，OA22=（1）2+1＝2，OA32=（2）2+1＝3，OA42=（3）2+1＝4，
∴OA12=1，OA2=2，OA3=3，…∴OA10=10；
（3）S12+S22+S32+⋯+S102＝（12）2+（22）2+（32）2+…+（102）2=14（1+2+3+…+10）=554．即：S12+S22+S32+⋯+S102=554．
9．已知：如图，直角三角形BCA中，∠BCA＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c，请你用两种方法证明：a2+b2＝c2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方法1：如图所示：
4S△ABC＝S大正方形﹣S小正方形，即4×12ab＝（a+b）2﹣c2，
所以a2+b﹣c2＝0，即a2+b2＝c2．
方法2：连接AD，过点A作DE边上的高AF，则AF＝a﹣b．
∵S五边形BCAED＝S△ACB+S△ABE+S△BDE=12ab+12a2+12ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△ADE=12ab+12c2+12b（a﹣b），
∴12ab+12a2+12ab=12ab+12c2+12b（a﹣b），∴a2+b2＝c2．
1．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，△ABC中，AD为BC边上高，边BC的“边高差”等于BC﹣AD，记为h（BC）．
（1）如图2，若△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝5，BD＝3，则h（BC）＝ 1 ；
（2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则h（AC）＝ 10913 ；
（3）若△ABC中，AB＝25，AC＝17，BC边上的高为15，求h（BC）的值．
【答案】（1）1；（2）10913；（3）h（BC）的值为13或﹣3．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，∴BD＝DC＝3，
∴h（BC）＝BC﹣AD＝6﹣5＝1，故答案为：1；
（2）如图4中，作BH⊥AC于H，
∵∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，∴AC=AB2+BC2=13，
∵12•AC•BH=12•AB•BC，∴13BH＝5×12，∴BH=6013，
∴h（AC）＝AC﹣BH＝13−6013=10913，故答案为：10913；
（3）如图3中，分两种情况讨论：
当△ABC是锐角三角形时：
∵AD⊥BC，AB＝25，AC＝17，AD＝15，∴BD2＝AB2﹣AD2＝252﹣152＝400，CD2＝AC2﹣AD2＝172﹣152＝64，∴BD＝20，CD＝8，∴BC＝BD+CD＝28，∴h（BC）＝BC﹣AD＝28﹣15＝13；
当△ABC是钝角三角形时：
同理可得BD＝20，C'D＝8，
∴BC′＝BD﹣C'D＝12，∴h（BC）＝BC'﹣AD＝12﹣15＝﹣3，
综上所述：h（BC）的值为13或﹣3．
2．阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
理解：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ 是 （填“是”或“不是”）
②若某三角形的三边长分别为1、7、2，则该三角形 是 （填“是”或“不是”）奇异三角形．
探究：
在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
拓展：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2＝2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，故答案为：是；
②∵12+（7）2＝2×22，∴该三角形是奇异三角形，故答案为：是；
探究：当c为斜边时，b2＝c2﹣a2＝50，Rt△ABC不是奇异三角形；
当b为斜边时，b2＝c2+a2＝150，
∵50+150＝2×100，∴a2+b2＝2c2∴Rt△ABC是奇异三角形；
拓展：Rt△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，
∵c＞b＞a，∴2c2＞b2+a2，2a2＜b2+c2，
∵Rt△ABC是奇异三角形，∴2b2＝a2+c2，∴2b2＝a2+a2+b2，∴b2＝2a2，
∵a2+b2＝c2，∴c2＝3a2，∴a2：b2：c2＝1：2：3．
3．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设APPM=k，若∠BPC＝90°，则称k为勾股比．
（1）如图（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：CD＝BE．
（2）①如图（2），当k＝1，且AB＝AC时，AB2+AC2＝ 2.5 BC2（填一个恰当的数）．
②如图（1），当k＝1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；
③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵M是BC的中点，∴BM＝CM，
∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，∴∠E＝∠CDM＝90°，
在△BME和△CMD中，∠E=∠CDM=90°∠BME=∠DMCBM=CM，∴△BME≌△CMD（AAS），
∴CD＝BE；
（2）①AB2+AC2＝2.5BC2．
理由如下：∵AM是△ABC的中线，
∴PM＝BM＝CM=12BC，
∵k＝1，∴AP＝PM，∴AM＝2PM＝BC，
在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2＝BC2+14BC2=54BC2，
在Rt△ACM中，AC2＝AM2+CM2＝BC2+14BC2=54BC2，
∴AB2+AC2=54BC2+54BC2＝2.5BC2；
即AB2+AC2＝2.5BC2；
②结论仍然成立．
设EM＝DM＝a，则AE＝AM+a，AD＝AM﹣a，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝（AM+a）2+BE2＝AM2+2AM•a+a2+BE2，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝（AM﹣a）2+CD2＝AM2﹣2AM•a+a2+CD2，
∴AB2+AC2＝2AM2+（a2+BE2）+（a2+CD2），
∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，∴∠E＝∠CDM＝90°，
∴a2+BE2＝BM2=14BC2，a2+CD2＝CM2=14BC2，
∴AB2+AC2＝2AM2+12BC2，
∵APPM=1，∴AP＝PM，
∵∠BPC＝90°，AM是△ABC的中线，∴PM=12BC，
若△ABC是锐角三角形，则AM＝AP+PM＝PM+PM＝（1+1）PM＝BC，
∴AB2+AC2＝2×BC2+12BC2=52BC2，即AB2+AC2＝2.5BC2；
③结论：锐角三角形：AB2+AC2=k2+2k+22BC2，
钝角三角形：AB2+AC2=k2−2k+22BC2，
理由如下：设EM＝DM＝a，则AE＝AM+a，AD＝AM﹣a，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝（AM+a）2+BE2＝AM2+2AM•a+a2+BE2，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝（AM﹣a）2+CD2＝AM2﹣2AM•a+a2+CD2，
∴AB2+AC2＝2AM2+（a2+BE2）+（a2+CD2），
∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，∴∠E＝∠CDM＝90°，
∴a2+BE2＝BM2=14BC2，a2+CD2＝CM2=14BC2，
∴AB2+AC2＝2AM2+12BC2，
∵APPM=k，∴AP＝kPM，∵∠BPC＝90°，AM是△ABC的中线，∴PM=12BC，
若△ABC是锐角三角形，则AM＝AP+PM＝kPM+PM＝（k+1）PM=k+12BC，
∴AB2+AC2＝2×（k+12BC）2+12BC2=k2+2k+22BC2，
即AB2+AC2=k2+2k+22BC2；
若△ABC是钝角三角形，则AM＝PM﹣AP＝PM﹣kPM＝（1﹣k）PM=1−k2BC，
AB2+AC2＝2×（1−k2BC）2+12BC2=k2−2k+22BC2，
即AB2+AC2=k2−2k+22BC2．
文字语言
符号语言
图示
变式
应用
直角三角形两直角边的和等于的平方
如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么