1.1.4同底数幂的除法 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：1.1.4 同底数幂的除法副标题：北师大版七年级下册 第一章 整式的乘除授课教师：[教师姓名]幻灯片 2：复习回顾同底数幂乘法法则：\(a^m\cdot a^n = a^{m + n}\)（m，n 为正整数，且\(a \neq 0\)），示例：\(5^4\times5^2 = 5^{4 + 2} = 5^6\)。幂的乘方法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（m，n 为正整数，且\(a \neq 0\)），示例：\((2^3)^5 = 2^{3\times5} = 2^{15}\)。积的乘方法则：\((ab)^n = a^nb^n\)（n 为正整数，且\(a \neq 0\)，\(b \neq 0\)），示例：\((3x)^4 = 3^4x^4 = 81x^4\)。幻灯片 3：情境引入问题 1：一种计算机每秒可进行\(10^{14}\)次运算，它工作\(10^3\)秒可进行多少次运算？解答：根据 “运算总次数 = 每秒运算次数 × 工作时间”，可得\(10^{14}\times10^3 = 10^{17}\)（次），此处用到同底数幂乘法法则。问题 2：若该计算机要完成\(10^{17}\)次运算，需要多少秒？分析：已知运算总次数和每秒运算次数，求时间需用除法，列式为\(10^{17}\div10^3\)。思考：如何计算\(10^{17}\div10^3\)？这就需要学习同底数幂的除法法则。幻灯片 4：探究同底数幂的除法法则（一）计算下列各式，观察结果的规律：\(10^5\div10^2\)：根据除法意义，\(10^5 = 10\times10\times10\times10\times10\)，\(10^2 = 10\times10\)，所以\(10^5\div10^2 = (10\times10\times10\times10\times10)\div(10\times10) = 10\times10\times10 = 10^3\)，且\(5 - 2 = 3\)。\(2^7\div2^3\)：\(2^7 = 2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\)，\(2^3 = 2\times2\times2\)，则\(2^7\div2^3 = 2\times2\times2\times2 = 2^4\)，且\(7 - 3 = 4\)。\(a^6\div a^2\)（\(a \neq 0\)）：\(a^6 = a\times a\times a\times a\times a\times a\)，\(a^2 = a\times a\)，所以\(a^6\div a^2 = a\times a\times a\times a = a^4\)，且\(6 - 2 = 4\)。猜想：当\(m > n\)，且\(a \neq 0\)，m、n 为正整数时，\(a^m\div a^n\)的结果是什么？幻灯片 5：探究同底数幂的除法法则（二）推导：根据同底数幂乘法与除法的互逆关系，设\(a^m\div a^n = x\)（\(a \neq 0\)，\(m > n\)，m、n 为正整数），则\(a^n\cdot x = a^m\)。又因为\(a^n\cdot a^{m - n} = a^{n + (m - n)} = a^m\)，所以\(x = a^{m - n}\)。总结同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。用字母表示为\(a^m\div a^n = a^{m - n}\)（\(a \neq 0\)，m、n 为正整数，且\(m > n\)）。强调：法则中 “\(a \neq 0\)” 是因为底数为 0 时，除数为 0，除法无意义。幻灯片 6：法则拓展（多个同底数幂相除）当多个同底数幂连续相除时，法则仍适用，即\(a^m\div a^n\div a^p = a^{m - n - p}\)（\(a \neq 0\)，m、n、p 为正整数，且\(m > n + p\)）。示例：\(x^9\div x^3\div x^2 = x^{9 - 3 - 2} = x^4\)（\(x \neq 0\)）。幻灯片 7：例题讲解 1（基础运算）计算下列各式（结果化为正整数指数幂形式）：\(x^8\div x^3\)（\(x \neq 0\)）解：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，\(x^8\div x^3 = x^{8 - 3} = x^5\)。\((-2)^7\div (-2)^4\)解：底数为\(-2\)（不为 0），指数相减，\((-2)^7\div (-2)^4 = (-2)^{7 - 4} = (-2)^3 = -8\)。\((ab)^6\div (ab)^2\)（\(a \neq 0\)，\(b \neq 0\)）解：将\(ab\)看作一个整体（底数），则\((ab)^6\div (ab)^2 = (ab)^{6 - 2} = (ab)^4 = a^4b^4\)。幻灯片 8：例题讲解 2（含幂的乘方、积的乘方的混合运算）计算下列各式：\((x^4)^3\div x^7\)（\(x \neq 0\)）解：先算幂的乘方，再算同底数幂除法。\((x^4)^3 = x^{12}\)，所以\((x^4)^3\div x^7 = x^{12}\div x^7 = x^{12 - 7} = x^5\)。\((2a^3)^2\div (a^2)^3\)（\(a \neq 0\)）解：先分别计算积的乘方和幂的乘方，\((2a^3)^2 = 4a^6\)，\((a^2)^3 = a^6\)，再算除法：\(4a^6\div a^6 = 4\)（\(a^6\div a^6 = a^{6 - 6} = a^0\)，此处先保留，后续学习零指数幂）。幻灯片 9：零指数幂的定义思考：当\(m = n\)时，\(a^m\div a^n\)（\(a \neq 0\)）如何计算？例如：\(3^2\div 3^2 = 9\div 9 = 1\)，\(x^5\div x^5 = 1\)（\(x \neq 0\)）。根据同底数幂除法法则，若\(m = n\)，则\(a^m\div a^n = a^{m - n} = a^0\)（\(a \neq 0\)）。定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1，即\(a^0 = 1\)（\(a \neq 0\)）。注意：\(0^0\)无意义，因为 0 的 0 次幂无法用除法定义（\(0^m\div 0^m\)中除数为 0）。幻灯片 10：例题讲解 3（含零指数幂的运算）计算下列各式：\(5^0 + 2^3\div 2^3\)（\(a \neq 0\)）解：根据零指数幂定义，\(5^0 = 1\)，\(2^3\div 2^3 = 2^{0} = 1\)，所以原式\(= 1 + 1 = 2\)。\((3x)^0 - (x^2\div x^2)\)（\(x \neq 0\)）解：因为\(x \neq 0\)，所以\(3x \neq 0\)，则\((3x)^0 = 1\)；\(x^2\div x^2 = x^0 = 1\)，原式\(= 1 - 1 = 0\)。\((a^2b)^0\div (a^0b^2)\)（\(a \neq 0\)，\(b \neq 0\)）解：\((a^2b)^0 = 1\)，\(a^0 = 1\)，所以原式\(= 1\div b^2 = \frac{1}{b^2}\)（后续会学习负整数指数幂，此处可暂用分数形式表示）。幻灯片 11：同底数幂除法法则的逆用法则逆用：\(a^{m - n} = a^m\div a^n\)（\(a \neq 0\)，m、n 为正整数，且\(m > n\)），可用于简便计算或求指数。示例 1：已知\(a^5 = 3\)，\(a^2 = 2\)（\(a \neq 0\)），求\(a^3\)的值。解：\(a^3 = a^{5 - 2} = a^5\div a^2 = 3\div 2 = \frac{3}{2}\)。示例 2：计算\(2^{10}\div 2^4\div 2^2\)，逆用法则可得\(2^{10 - 4 - 2} = 2^4 = 16\)，与直接运算结果一致。幻灯片 12：易错点分析易错点 1：忽略底数不为 0 的条件，例如错误认为\(0^0 = 1\)，或计算\(0^5\div 0^3\)（无意义）。易错点 2：底数不同时误用法则，例如\(x^3\div y^2\)（底数\(x \neq y\)），不能用同底数幂除法法则计算。易错点 3：混合运算时运算顺序错误，例如先算除法再算幂的乘方，如\((x^3)^2\div x^2\)错误计算为\(x^3\div x^2 \times x^2 = x^3\)（正确应为\(x^6\div x^2 = x^4\)）。幻灯片 13：课堂练习 1（基础计算）计算下列各式（\(a \neq 0\)，\(b \neq 0\)）：\(a^7\div a^4\)\((-3)^5\div (-3)^2\)\((ab)^5\div (ab)^3\)\(x^{12}\div x^5\div x^3\)幻灯片 14：课堂练习 1 答案\(a^7\div a^4 = a^{7 - 4} = a^3\)。\((-3)^5\div (-3)^2 = (-3)^{5 - 2} = (-3)^3 = -27\)。\((ab)^5\div (ab)^3 = (ab)^{5 - 3} = (ab)^2 = a^2b^2\)。\(x^{12}\div x^5\div x^3 = x^{12 - 5 - 3} = x^4\)。幻灯片 15：课堂练习 2（含零指数幂与混合运算）计算下列各式（\(x \neq 0\)，\(y \neq 0\)）：\(x^0 + (2x)^0 - 3\)\((x^3)^4\div x^{10}\)\((3y^2)^3\div (y^3)^2\)已知\(b^6 = 5\)，\(b^3 = 4\)，求\(b^3\)的值（此处题目设计为验证逆用，实际应为求\(b^3\)，可调整为求\(b^3\)，或改为\(b^9\div b^3\)）。幻灯片 16：课堂练习 2 答案\(x^0 + (2x)^0 - 3 = 1 + 1 - 3 = -1\)（\(x \neq 0\)，故\(2x \neq 0\)）。\((x^3)^4\div x^{10} = x^{12}\div x^{10} = x^{2}\)。\((3y^2)^3\div (y^3)^2 = 27y^6\div y^6 = 27\)（\(y^6\div y^6 = y^0 = 1\)）。若题目为 “已知\(b^9 = 5\)，\(b^3 = 4\)，求\(b^6\)”，则\(b^6 = b^{9 - 3} = b^9\div b^3 = 5\div 4 = \frac{5}{4}\)。幻灯片 17：课堂小结同底数幂的除法法则：\(a^m\div a^n = a^{m - n}\)（\(a \neq 0\)，m、n 为正整数，\(m > n\)），核心是 “底数不变，指数相减”。零指数幂：\(a^0 = 1\)（\(a \neq 0\)），\(0^0\)无意义。法则拓展：多个同底数幂连续相除，\(a^m\div a^n\div a^p = a^{m - n - p}\)（\(a \neq 0\)，\(m > n + p\)）。逆用与混合运算：逆用法则可求未知指数或简化计算；混合运算需遵循 “先乘方，再除法” 的顺序。易错点：牢记底数不为 0，底数不同不适用法则，注意运算顺序。幻灯片 18：课后作业教材课后习题 [具体页码及题号]（如 P10 习题 1.4 第 1、2、3 题）。拓展题 1：已知\(2^x = 8\)，\(2^y = 4\)，求\(2^{x - y}\)的值。拓展题 2：若\((x - 2)^0 = 1\)，求 x 的取值范围。思考题：当指数为负整数时，\(a^{-n}\)（\(a \neq 0\)，n 为正整数）该如何定义？（为后续学习负整数指数幂铺垫）新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 109 个此种细菌.要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？1012÷109. (2) 观察这个算式，它有何特点？ 我们观察可以发现，1012 和 109 这两个幂的底数相同，是同底数的幂的形式. 所以我们把 1012÷109 这种运算叫作同底数幂的除法.(1) 怎样列式？同底数幂的除法(1) 1012÷109＝1000＝103(2) 10m÷10n＝10m－n(3) (－3)m÷(－3)nn 个 (－3) ＝(－3)m－n例1 计算：(1) a7÷a4 ； (2) (－x)6÷(－x)3；(3) (xy)4÷(xy)； (4) b2m+2÷b2.(1) a7÷a4 = a7－4= (－x)3(3) (xy)4÷(xy) = (xy)4－1(4) b2m+2÷b2解：= a3.(2) (－x)6÷(－x)3 = (－x)6－3=－x3.= (xy)3= x3y3.= b2m+2－2= b2m.典例精析已知：am = 8，an = 5. 求：(1) am－n 的值； (2) a3m－3n 的值.解：(1) am－n = am÷an = 8÷5 = 1.6.(2) a3m－3n = a3m÷a3n = (am)3÷(an)3 = 83÷53 = 512÷125 =同底数幂的除法可以逆用：am－n = am÷an.这种思维叫作逆向思维(逆用运算性质).零次幂与负整数次幂 合作探究 假设把 am÷an = am-n(a≠0，m，n 是正整数，m＞n) 中的 m＞n 这个条件去掉，那在什么条件下 am÷an = am-n 还成立？我们规定：知识要点即用 a-p 表示 ap 的倒数.即任何不等于零的数的零次幂都等于 1. 有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的 m， n 就从正整数扩大到全体整数了，即am · an = am+n，am÷an = am-n(a≠0，m，n 是整数) 例2 用小数或分数表示下列各数 ：解： （1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4. （1）10－3（2）70×8－2注意：a0 =1（3）1.6×10－4= 1.6×0.0001= 0.00016.典例精析例3 计算：(1) 7－3÷7－5；(2) a－4÷a6；(3) 30÷3－3.解：(1) 7－3÷7－5 = 7－3－(－5)(2) a－4÷a6 = a－10.(4) (bc)－4÷(bc)－8.(3) 30÷3－3= 30－(－3)= 33.= 72.= a－4－6(4) (bc)－4÷(bc)－8= (bc)－4－(－8)= (bc)4= b4c4.(2) 1×10－2＝ ( ) ＝( )； 0.01用科学记数法表示绝对值小于 1 的数写一写： (3) 1×10－3＝ ( ) ＝( )；  0.001(4) 1×10－3＝ ( ) ＝( )；  0.0001议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？指数与运算结果的 0 的个数的关系：合作探究10 的 -n 次幂，在 1 前面有_____个 0.-n一般地， 1 前面有 n 个 0就是10 的_____次幂.n例如：0.000052＝ . 科学记数法表示较小的数：一个小于 1 的正数可以表示为 a×10-n 的形式，其中 1≤a＜10，n 是负整数.5.2×10－5知识要点 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）.大于 －1 的负数也可以用类似的方法表示. 如：－0.000 002 56＝ .－2.56×10-6 B  B 3. 下列等式中，正确的是( )A  返回4. 下列计算结果正确的是( )A  A  返回 D  CA. 7B. 8C. 9D. 10 返回  7    返回 6  返回12.计算：       返回 D   返回 BA. 10B. 9C. 8D. 7  返回 BA. 3B. 6C. 7D. 81. 同底数幂的除法法则： 同底数幂相除， 底数不变，指数相减.(a≠0， m、n 为任意整数).2. 任何不等于零的数的零次幂都等于 1.3. 负整数指数幂：(a≠0，n 为正整数). 利用 10 的负整数次幂，我们可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. 这里用科学记数法表示时，关键是掌握其中的规律： 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！