3.4 乘法公式（第一课时） 课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学七年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：3.4 乘法公式（第一课时）—— 平方差公式副标题：浙教版七年级下册数学・整式运算的特殊形式配图：长方形割补法验证平方差公式示意图（大长方形面积 = 小长方形面积 + 正方形面积）、平方差公式结构对比图（(a+b)(a-b) 与 a²-b²）底部信息：核心素养目标：模型思想（几何验证）、运算能力（公式应用）、逻辑推理（公式推导）、辨析能力（适用场景判断）第 2 页：情境导入 —— 从 “一般运算” 到 “特殊公式”旧知衔接（多项式乘法回顾）多项式 × 多项式法则：逐项相乘，再合并同类项（如 (x+3)(x+2)=x²+5x+6）计算观察（学生独立完成，寻找规律）：(x+1)(x-1) = ____（答案：x² - 1）(2a+3)(2a-3) = ____（答案：4a² - 9）(m+n)(m-n) = ____（答案：m² - n²）提问：观察结果，这些式子的运算有什么共同特点？结果与原式有什么关联？情境案例（面积割补问题）问题：一个边长为 a 的大正方形，在其中一边截去一个边长为 b 的小正方形（b1.5），求操场的面积与长比宽多多少米？解答：面积 = 长 × 宽 = (2x+3)(2x-3) = 4x² - 9（平方米）长 - 宽 = (2x+3) - (2x-3) = 6（米）答：操场面积为 (4x² - 9) 平方米，长比宽多 6 米第 6 页：公式对比与综合练习平方差公式与一般多项式乘法对比（表格梳理）运算类型结构特征计算步骤适用场景示例平方差公式(a+b)(a-b)（前同后反）直接套公式：a² - b²（1 步）二项式 × 二项式，且满足前同后反(x+2)(x-2)=x²-4一般多项式乘法任意二项式 × 二项式（无规律）逐项相乘→合并同类项（2-3 步）不满足前同后反的二项式乘法(x+2)(x+3)=x²+5x+6综合练习（强化应用）计算：(1) (5x-1)(5x+1) - (2x-3)²（提示：先算平方差，再算完全平方，最后相减）解答：(25x² - 1) - (4x² - 12x + 9) = 25x² - 1 - 4x² + 12x - 9 = 21x² + 12x - 10已知 x² - y² = 24，x + y = 6，求 x - y 的值（逆向应用公式：x² - y²=(x+y)(x-y)）解答：24 = 6×(x - y) → x - y = 4第 7 页：课堂练习 —— 分层巩固基础题（必做，强化公式应用）计算：(1) (m-7)(m+7) = ____；(2) (4a+3b)(4a-3b) = ____；(3) (-x+2y)(-x-2y) = ____下列计算正确的是（ ）A. (x+3)(x-3)=x² - 6 B. (2a-1)(2a+1)=4a² - 1 C. (m-n)(m+n)=m² - n² D. (3x+2)(3x-2)=9x² - 2提升题（选做，拓展思维）计算：(x-2)(x+2)(x² + 4)(x⁴ + 16)（连续套用平方差公式）一个正方形的边长减少 2cm 后，得到的新正方形面积比原正方形面积小 36cm²，求原正方形的边长（设原边长为 x，列方程：x² - (x-2)²=36，用平方差公式求解）第 8 页：课堂小结与作业布置知识梳理（思维导图核心节点）平方差公式├─ 公式推导：代数（多项式乘法）+ 几何（面积割补）├─ 公式内容：(a+b)(a-b)=a² - b²├─ 结构特征：前同后反，平方相减├─ 适用场景：二项式×二项式，且满足前同后反├─ 易错点：符号错误、系数漏平方、非适用场景误用└─ 应用：直接计算、连续套用、实际问题（面积等）作业布置教材习题 3.4 第 1（1）（3）、2、4 题（基础题，规范书写公式应用步骤）拓展题（选做）：已知 (a+b)²=17，(a-b)²=13，求 a² - b² 的值（提示：a² - b²=(a+b)(a-b)，先求 (a+b)(a-b) 的平方）实践任务：用硬纸板制作边长为 a、b 的正方形（a>b），通过割补验证平方差公式，拍照记录过程并附文字说明第 9 页：结束页标语：“平方差公式不难记，前同后反是前提；结果就是平方差，相同项方减相反方”学习提示：下节课将学习 “完全平方公式”，是多项式乘法的另一种特殊形式，可提前预习 (x+2)²、(x-3)² 的展开结果，寻找规律配图：平方差公式知识图谱（含推导、结构、示例、易错点、应用场景）2024浙教版数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.思考： 观察下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)(x+1)(x-1)=(2)(m+2)(m-2)=(3)(2x+1)(2x+1)=x·x-x+x-1=x2-12 m·m-2m+2m-4=m2-4=m2-222x·2x-2x+2x-1=(2x)2-1=(2x)2-12 你发现了什么？平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a-b)=a2-b2 .a2-ab+ab-b2=公式变形:1.（a-b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a )=a2-b21.平方差公式的推导：（1）用多项式乘法推导平方差公式    2.平方差公式：教材延伸平方差公式的变化及应用典例1 计算：        典例2 计算：    1. 下列各式能用平方差公式计算的是(　B　)B2. 乘积等于 a2－ b2的式子是(　C　)C3. 计算 a2－( a ＋1)( a －1)的结果是(　A　)4. [新考法 整体代入法]已知( x ＋2)( x －2)－2 x ＝1，则2 x2－4 x ＋3的值为(　A　)AA5. 已知 M ＝2 0242， N ＝2 023× 2 025，则 M 与 N 的大小关系是(　A　)【点拨】∵ M ＝2 0242， N ＝2 023×2 025＝(2 024－1)(2 024＋ 1)＝2 0242－1，∴ M － N ＝2 0242－(2 0242－1)＝1＞0， ∴ M ＞ N . A  －2，－3　  8. [整体思想 2024·北京房山区二模]已知 x2－ x －1＝0，求式子( x ＋3)( x －3)＋ x ( x －2)的值.【解】( x ＋3)( x －3)＋ x ( x －2)＝ x2－9＋ x2－2 x ＝2 x2－2 x －9＝2( x2－ x )－9.∵ x2－ x －1＝0，∴ x2－ x ＝1，∴原式＝2×1－9＝2－9＝－7.9. 若(4＋ m2)( m ＋2)(　　)＝16－ m4，则括号内应填入的代数式为(　B　)B10. 如果(2 a ＋2 b ＋1)(2 a ＋2 b －1)＝15，那么 a ＋ b 的值为(　D　)D11. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是(　A　)A必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！