2025-2026学年上学期合肥小学数学四年级期末典型卷1

这是一份2025-2026学年上学期合肥小学数学四年级期末典型卷1，共49页。试卷主要包含了架小飞机，在横线里填“＞”“＜”或“＝”等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）玩具厂5天加工了210架小飞机，照这样做下去，15天能加工（ ）架小飞机。
A．600B．630C．660
2．（2分）一个立体图形从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是，这个立体图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）乌鸦把许多小石子放入有水的玻璃瓶中，水面上升，其主要原因是（ ）
A．小石子有一定的硬度。
B．小石子占有一定的空间。
C．小石子有一定的质量。
D．小石子里有矿物质。
4．（2分）如图，如果小林家到小亮家的第②条路长1200米，那么第①条和第③条路的长度一定（ ）
A．等于1200米B．大于1200米
C．小于1200米
5．（2分）奇思设计一个2人玩的摸球游戏，每次任意摸一个，然后放回摇匀。每人摸10次，摸到白球甲得1分，摸到黄球乙得1分，摸到其他颜色的球都不得分。用下面哪些口袋玩游戏才能保证公平。（ ）
A．①②B．②④C．①④D．③④
二．填空题（共10小题，满分19分）
6．（2分）一瓶洗发水750毫升，8瓶这样的洗发水正好 升；一瓶牛奶200毫米， 瓶这样的牛奶正好是1升。
7．（4分）在横线里填“＞”“＜”或“＝”。
8．（1分）用一张长1米、宽8分米的硬纸板（如图所示）剪半径为4厘米的小圆，一共能剪出 个这样的圆形。
9．（2分）箱子里装有10个红球、3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他都相同。任意摸出一个球， 摸到红球（填“一定”“不可能”或“可能”），摸出 球的可能性最小。
10．（1分）如图所示，三角形中∠1＝ °。
11．（2分）如果□55÷45的商是一位数，□里最大填 ；如果商是两位数，□里最小填 。
12．（2分）照这样穿下去，第28个小球是 色，第36个小球是 色。
13．（2分）0.5千克新鲜茶叶大约可以制作0.125千克干茶叶。照这样计算，10千克新鲜茶叶可以制作 千克干茶叶， 千克新鲜茶叶可以制作10千克干茶叶。
14．（2分）135°比直角大 度，比平角小 度。
15．（1分）淘气跳远训练，前三次的平均成绩是330厘米，第四次的跳远成绩为350厘米，那么他四次跳远的平均成绩是 厘米。
三．计算题（共3小题，满分32分）
16．（10分）直接写得数。
17．（10分）用竖式计算并验算。
678÷12＝
18．（12分）计算下列各题。
四．操作题（共2小题，满分10分）
19．（6分）把立体图形从正面、上面和右面看到的形状画在对应的方格图中。
20．（4分）如图是某街区局部示意图。
（1）∠1是青云路与君竹路的夹角，∠1＝ 度。
（2）图中，与长青街互相平行的是 路，与长青街互相垂直的是 路。
（3）市政公司要从幸福小区到玉林路埋设一条排水管道，怎样埋设所用的排水管最短？请在图上画一画。
五．应用题（共6小题，满分29分）
21．（4分）手工课上，同学们制作纸花，每组做32朵，一共有11组。把这些纸花平均分给4个教室装饰，每个教室能分到多少朵纸花？
22．（4分）疫情期间北仑小学303班采购一批消毒湿巾分给班内45名同学，每人一包，共需要多少钱？小明有59元，他可以买几包消毒湿巾？
23．（4分）一筐大枣重58千克，一筐苹果的重量比一筐大枣的3倍少19千克，一筐苹果重多少千克？（先画线段图，再列式计算。）
24．（4分）小明看一本童话书，已经看了6天，平均每天看38页，还剩47页没有看。这本书一共有多少页？
25．（5分）一辆汽车从甲地到乙地，每时行驶75千米，12时到达乙地。返回时上坡，每时少行15千米，要几时能到达甲地？
26．（8分）光明理发店一周理发人数情况统计如表。（单位：名）
（1）根据统计表将如图所示统计图补充完整。
（2）这一周，星期 女顾客最多，星期 男顾客最多。
（3）这一周平均每天有多少名男顾客？
2025-2026学年上学期合肥小学数学四年级期末典型卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）玩具厂5天加工了210架小飞机，照这样做下去，15天能加工（ ）架小飞机。
A．600B．630C．660
【考点】简单的归一应用题．
【专题】归一、归总应用题；应用意识．
【答案】B
【分析】用5天加工飞机的数量除以5求出一天加工飞机的数量，再乘加工的天数即可解答。
【解答】解：210÷5×15
＝42×15
＝630（架）
答：15天能加工630架小飞机。
故选：B。
【点评】解答此题根据乘除法的意义进行列式计算。
2．（2分）一个立体图形从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是，这个立体图形是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】空间观念；几何直观．
【答案】B
【分析】根据观察，可知的正面图为；左面图为；上面图为。
【解答】解：一个立体图形从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，从上面看到的形状是，这个立体图形是。
故选：B。
【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。
3．（2分）乌鸦把许多小石子放入有水的玻璃瓶中，水面上升，其主要原因是（ ）
A．小石子有一定的硬度。
B．小石子占有一定的空间。
C．小石子有一定的质量。
D．小石子里有矿物质。
【考点】体积、容积及其单位．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】乌鸦把许多石子放入有水的玻璃容器中，由于石子占据空间，石子比比水的密度大会下沉，水被挤到上面，水面就会上升。
【解答】解：乌鸦把许多小石子放入有水的玻璃瓶中，水面上升，其主要原因是小石子占有一定的空间。
故选：B。
【点评】由于石子占据空间，石子比比水的密度大会下沉，在有限的空间内，水被挤到上面。
4．（2分）如图，如果小林家到小亮家的第②条路长1200米，那么第①条和第③条路的长度一定（ ）
A．等于1200米B．大于1200米
C．小于1200米
【考点】两点间线段最短与两点间的距离．
【专题】空间与图形；空间观念．
【答案】B
【分析】两点之间，线段最短。在两点之间连接出若干条折线、曲线和线段，其中线段的长度最小。
【解答】解：两点之间，线段最短，在两点之间连接出若干条折线、曲线和线段，其中线段的长度最小。
故选：B。
【点评】本题考查了两点之间，线段最短。
5．（2分）奇思设计一个2人玩的摸球游戏，每次任意摸一个，然后放回摇匀。每人摸10次，摸到白球甲得1分，摸到黄球乙得1分，摸到其他颜色的球都不得分。用下面哪些口袋玩游戏才能保证公平。（ ）
A．①②B．②④C．①④D．③④
【考点】游戏规则的公平性．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】不论盒子里有几种颜色的球，必须有白球、黄球。要想游戏规则公平，白球、黄球的个数必须相同，据此解答。
【解答】解：①这个袋子里黄球有5个，白球有3个，黄球和白球个数不相等，不符合题意；
②这个袋子里黄球有5个，白球有5个，黄球和白球个数相等，符合题意；
③这个袋子里黄球有5个，白球有3个，黄球和白球个数不相等，不符合题意；
④这个袋子里黄球有2个，白球有2个，黄球和白球个数相等，符合题意；
所以用②④口袋玩游戏才能保证公平。
故选：B。
【点评】本题考查了可能性大小问题的应用。
二．填空题（共10小题，满分19分）
6．（2分）一瓶洗发水750毫升，8瓶这样的洗发水正好 6 升；一瓶牛奶200毫米， 5 瓶这样的牛奶正好是1升。
【考点】体积、容积进率及单位换算．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】6；5。
【分析】根据1升＝1000毫升进行计算。
【解答】解：8×750＝6000（毫升）
6000毫升＝6升
200×5＝1000（毫升）
1000毫升＝1升
答：8瓶这样的洗发水正好6升；一瓶牛奶200毫米，5瓶这样的牛奶正好是1升。
故答案为：6；5。
【点评】本题考查的主要内容是体积单位的换算问题。
7．（4分）在横线里填“＞”“＜”或“＝”。
【考点】体积、容积进率及单位换算；一位数除多位数；两位数除两、三位数；运算定律与简便运算；时、分、秒及其关系、单位换算与计算．
【专题】运算能力．
【答案】（1）＝；
（2）＞；
（3）＜；
（4）＝。
【分析】（1）根据商不变的性质，656÷16的被除数、除数都除以2就是328÷8。
（2）把3时乘进率30化成180分，再比较。
（3）把600毫升除以进率1000化成6升，再比较。
（4）一个大于0的数连续除以两个数，就等于这个数除以这两个连续除数之积。
【解答】解：（1）656÷16＝328÷8
（2）200分＞3时
（3）6000毫升＜60升
（4）850÷（5×10）＝850÷10÷5
故答案为：＝；＞；＜；＝。
【点评】不同单位的名数的大小比较通常是先化成相同的单位名数，再根据数值的大小进行比较。算式的大小比较通常是口算或估算出结果再根据结果进行比较，或先找规律或性质，然后再根据规律或性质进行比较。
8．（1分）用一张长1米、宽8分米的硬纸板（如图所示）剪半径为4厘米的小圆，一共能剪出 120 个这样的圆形。
【考点】图形的拼组．
【专题】几何直观．
【答案】120。
【分析】1米＝100厘米，8分米＝80厘米，圆的直径是4×2＝8（厘米），可把剪的圆看作边长是8厘米的正方形来进行剪，沿着长能剪100÷8≈12（列），沿着宽能剪80÷8＝10（行），然后用10乘12即可得出剪的个数。
【解答】解：1米＝100厘米，8分米＝80厘米。
4×2＝8（厘米）
100÷8≈12（列）
80÷8＝10（行）
10×12＝120（个）
答：一共能剪出120个这样的圆形。
故答案为：120。
【点评】本题关键是求出能剪几行和几列，然后用列数乘行数就是总个数；注意要引导学生走出用长方形的面积除以圆的面积就是剪的个数的误区。
9．（2分）箱子里装有10个红球、3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他都相同。任意摸出一个球， 可能 摸到红球（填“一定”“不可能”或“可能”），摸出 白 球的可能性最小。
【考点】可能性的大小．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】可能，白。
【分析】箱子有3种颜色的球，任意摸一个，有3种可能，数量少的摸出的可能性就小。
【解答】解：10＞4＞3，即箱子里装有10个红球、3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他都相同。任意摸出一个球，可能摸到红球，摸出白球的可能性最小。
故答案为：可能，白。
【点评】本题考查了可能性大小的应用。
10．（1分）如图所示，三角形中∠1＝ 70 °。
【考点】角的度量．
【专题】几何直观．
【答案】70。
【分析】根据角的度量方法，结合量角器的认识，用外圈的130°减去外圈的60°，解答即可。
【解答】解：130°﹣60°＝70°
答：角形中∠1＝70°。
故答案为：70。
【点评】本题考查了角的度量知识，结合量角器的知识解答即可。
11．（2分）如果□55÷45的商是一位数，□里最大填 3 ；如果商是两位数，□里最小填 4 。
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】三位数除以两位数，被除数百位和十位组成的数和除数比较大小，组成的数字比除数大或相等，商就是两位数，比除数小，商就是一位数，由此求解。
【解答】解：使□55÷45的商是两位数，要是商是一位数，那么□5＜45，□里面可以填：1，2，3，最大是3；使□55÷45的商是两位数，那么□5≥45，则□里面可以填4，5，6，7，8，9，最小是4。
故答案为：3，4。
【点评】本题考查的是除法的计算方法，需要从高位开始除，所以只要从最高位开始判断与除数的大小关系就可以求出商的最高位在哪一位上。
12．（2分）照这样穿下去，第28个小球是 白 色，第36个小球是 黑 色。
【考点】简单周期现象中的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】白，黑。
【分析】每组3个小球，按白色、黑色、黑色的顺序排列，据此计算第28个、第36个小球是第几组循环零几个，即可判断其颜色。
【解答】解：28÷3＝9（组）……1（个）
36÷3＝12（组）
答：第28个小球是白色，第36个小球是黑色。
故答案为：白，黑。
【点评】先找到规律，再根据规律求解。
13．（2分）0.5千克新鲜茶叶大约可以制作0.125千克干茶叶。照这样计算，10千克新鲜茶叶可以制作 2.5 千克干茶叶， 40 千克新鲜茶叶可以制作10千克干茶叶。
【考点】简单的归一应用题．
【专题】应用意识．
【答案】2.5；40。
【分析】用0.125除以0.5求出1千克新茶可制作多少千克干茶叶，再乘10即可求出10千克新鲜茶叶可制作干茶叶多少千克；用10除以1千克新茶可制作干茶叶的质量即可求出多少千克新鲜茶叶可以制作10千克干茶叶。
【解答】解：0.125÷0.5×10
＝0.25×10
＝2.5（千克）
10÷（0.125÷0.5）
＝10÷0.25
＝40（千克）
答：照这样计算，10千克新鲜茶叶可制作2.5千克干茶叶，40千克新鲜茶叶可以制作10千克干茶叶。
故答案为：2.5；40。
【点评】解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量。
14．（2分）135°比直角大 45 度，比平角小 45 度。
【考点】角的概念和表示．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】45，45。
【分析】首先要明确直角的度数是90度，平角的度数是180度，从而可以求解。
【解答】解：135°﹣90°＝45°，
180°﹣135°＝45°。
因此135°比直角大45度，比平角小45度。
故答案为：45，45。
【点评】此题主要考查直角和平角的概念，即90度的角是直角，180度的角是平角。
15．（1分）淘气跳远训练，前三次的平均成绩是330厘米，第四次的跳远成绩为350厘米，那么他四次跳远的平均成绩是 335 厘米。
【考点】平均数的含义及求平均数的方法．
【专题】应用意识．
【答案】335。
【分析】用前三次的平均成绩乘3，求出前三次跳远的总成绩，再加上第四次的跳远成绩，计算出四次跳远的总成绩，最后用四次总成绩除以4，即可解答。
【解答】解：（330×3+350）÷4
＝（990+350）÷4
＝1340÷4
＝335（厘米）
答：他四次跳远的平均成绩是335厘米。
故答案为：335。
【点评】解答本题的关键是先计算出四次跳远的总成绩，再根据平均数的计算公式代入数值解答即可。
三．计算题（共3小题，满分32分）
16．（10分）直接写得数。
【考点】两位数除两、三位数；表内除加、除减；表外乘除混合；千以内加减法；一位数乘两位数；两位数乘两位数；一位数除多位数．
【专题】运算能力．
【答案】4；150；36；4；958；15；7；81；690；120；20；24。
【分析】根据整数乘除法以及四则混合运算的顺序，直接进行口算即可。
【解答】解：
【点评】本题考查了基本的运算，注意运算数据和运算符号，细心计算即可。
17．（10分）用竖式计算并验算。
678÷12＝
【考点】列竖式计算除法；两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】56……6。
【分析】根据两位数除三位数的计算法则进行计算即可。
【解答】解：678÷12＝56……6
【点评】本题考查两位数除三位数的计算。注意计算的准确性。
18．（12分）计算下列各题。
【考点】带括号的四则混合运算；无括号四则混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】852；2400；4750；6840。
【分析】312+945÷63×36，先算除法、乘法、再算加法；
（684÷38+78）×25，先算括号里面的除法，再算括号里面的加法，最后算乘法；
125×[912÷（210﹣186）]，先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算乘法；
468÷13×（368﹣178），先算除法及括号里面的减法，再算乘法。
【解答】解：312+945÷63×36
＝312+15×36
＝312+540
＝852
（684÷38+78）×25
＝（18+78）×25
＝96×25
＝2400
125×[912÷（210﹣186）]
＝125×[912÷24]
＝125×38
＝4750
468÷13×（368﹣178）
＝36×190
＝6840
【点评】此题考查的目的是理解掌握整数四则混合运算的顺序以及它们的计算法则，并且能够正确熟练地进行计算。
四．操作题（共2小题，满分10分）
19．（6分）把立体图形从正面、上面和右面看到的形状画在对应的方格图中。
【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念．
【答案】
【分析】根据观察物体的方法，把立体图形从正面、上面和右面看到的形状画在对应的方格图中即可。
【解答】解：如图：
【点评】本题考查了观察物体的方法，结合题意分析解答即可。
20．（4分）如图是某街区局部示意图。
（1）∠1是青云路与君竹路的夹角，∠1＝ 60 度。
（2）图中，与长青街互相平行的是 君竹 路，与长青街互相垂直的是 玉林 路。
（3）市政公司要从幸福小区到玉林路埋设一条排水管道，怎样埋设所用的排水管最短？请在图上画一画。
【考点】作最短线路图；垂直与平行的特征及性质；角的度量．
【专题】空间与图形；几何直观．
【答案】（1）60；（2）君竹，玉林；
（3）。
【分析】（1）根据角的度量方法解答；
（2）根据垂直与平行的特征解答；
（3）过幸福小区那点向玉林路作垂线，垂线段就是最短距离。
【解答】解：（1）∠1是青云路与君竹路的夹角，∠1＝60度。
（2）图中，与长青街互相平行的是君竹路，与长青街互相垂直的是玉林路。
（3）如图所示：
。
故答案为：60；君竹，玉林。
【点评】掌握垂直与平行的特征、角的度量方法和作最短路线图的方法是解题的关键。
五．应用题（共6小题，满分29分）
21．（4分）手工课上，同学们制作纸花，每组做32朵，一共有11组。把这些纸花平均分给4个教室装饰，每个教室能分到多少朵纸花？
【考点】表外乘除混合．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】88朵。
【分析】用32乘11求出一共做了多少朵纸花，再除以4即可解答此题。
【解答】解：32×11÷4
＝352÷4
＝88（朵）
答：每个教室能分到88朵纸花。
【点评】此题考查了运用乘除混合运算解决实际问题。
22．（4分）疫情期间北仑小学303班采购一批消毒湿巾分给班内45名同学，每人一包，共需要多少钱？小明有59元，他可以买几包消毒湿巾？
【考点】带括号的四则混合运算．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】315，8。
【分析】根据题意，9包湿巾63元，用63除以9求出每包湿巾的价钱，然后再乘学生的人数即可求出每人一包需要多少钱；小明有59元，求他可以买几包消毒湿巾，用59除以每包湿巾的价钱即可。
【解答】解：63÷9×45
＝7×45
＝315（元）
59÷（63÷9）
＝59÷7
＝8（包）……3（元）
答：每人一包，共需要315元钱，小明有59元，他可以买8包消毒湿巾。
【点评】本题主要考查了整数乘除法的意义和实际应用，理清数量之间的关系是解答本题的关键。
23．（4分）一筐大枣重58千克，一筐苹果的重量比一筐大枣的3倍少19千克，一筐苹果重多少千克？（先画线段图，再列式计算。）
【考点】表外乘加、乘减．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】，155千克。
【分析】根据题目中的条件画出线段图，求比大枣的3倍少19的数是多少，先用大枣的质量乘3，再减去19千克；据此解答。
【解答】解：如图：
58×3﹣19
＝174﹣19
＝155（千克）
答：一筐苹果重155千克。
【点评】掌握求比一个数的几倍少几的数是多少的方法，是解答本题的关键。
24．（4分）小明看一本童话书，已经看了6天，平均每天看38页，还剩47页没有看。这本书一共有多少页？
【考点】表外乘加、乘减．
【专题】应用意识．
【答案】275页。
【分析】先用乘法计算出已看的页数，再加上未看的页数，即可计算出这本书一共有多少页。
【解答】解：38×6+47
＝228+47
＝275（页）
答：这本书一共有275页。
【点评】本题解答的依据是整数乘法的意义：求几个相同加数的和用乘法计算。
25．（5分）一辆汽车从甲地到乙地，每时行驶75千米，12时到达乙地。返回时上坡，每时少行15千米，要几时能到达甲地？
【考点】简单的行程问题．
【专题】应用意识．
【答案】15时。
【分析】根据路程＝速度×时间，求出总路程，再根据时间＝路程÷速度，即可求出要几时能到达甲地。
【解答】解：75×12÷（75﹣15）
＝900÷60
＝15（时）
答：要15时能到达甲地。
【点评】本题考查行程问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
26．（8分）光明理发店一周理发人数情况统计如表。（单位：名）
（1）根据统计表将如图所示统计图补充完整。
（2）这一周，星期 日 女顾客最多，星期 六 男顾客最多。
（3）这一周平均每天有多少名男顾客？
【考点】统计图表的填补；从统计图表中获取信息；平均数的含义及求平均数的方法．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）从统计表中读取星期三、星期五、星期六男顾客人数，星期四、星期五、星期六女顾客人数，在统计图中画出相应长度的条形；
（2）条形统计图中，表示女顾客人数的条形哪条最长，说明这一天女顾客最多，表示男顾客人数的条形哪条最长，说明这一天男顾客最多；
（3）将这一周每天的男顾客人数相加，再除以一周的天数7，即可求出这一周平均每天的男顾客人数。
【解答】解：（1）
（2）从图中可以看出，这一周，星期日女顾客最多，星期六男顾客最多。
（3）（25+11+12+15+15+12+29）÷7
＝119÷7
＝17（名）
答：这一周平均每天有17名男顾客。
故答案为：日，六。
【点评】此题主要考查从统计表中读取信息制作复式条形统计图的能力，以及根据统计表、统计图进行分析的能力。
考点卡片
1．千以内加减法
【知识点归纳】
1、（1）计算时先把相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进一。
（2）加法验算方法：把两个加数的位置调换后再加一遍，两次得到的结果相等就说明计算结果正确，不相等，则说明计算结果不正确，需要重新计算。
2、千以内减法笔算方法：
（1）先把相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，要从前一位退1，在本位上加10再减；
（2）当个位不够减需要退位时，如果十位上是0，无1可退，就要从百位上退1当成10个十先传递到十位，再从十位退1到个位，当成10个一再计算。
【方法总结】
1、相同数位要对齐，从个位加起，如果有进位，不要忘记加进位数。
2、在计算加减混合运算时，遇到能简便计算的，可以简便计算。
【常考题型】
口算题。
答案：437；202；650
2、书城进货了928本图书，第一周卖出去了123本，第二周进货了181本，现在书城有多少本图书？
答案：928﹣123+181＝986（本）
2．一位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘一位数（不进位）：
计算两位数乘一位数我们可以把两位数分成几十和几，先分别乘以一位数，再把两次乘得的数合起来就是所求的积。
2、两位数乘一位数（进一位）：
①归纳：用一位数乘被乘数个位上的数，积满几十，就向十位进几；用一位数乘被乘数十位上的数，积满几百，就向百位进几。
②注意：为了防止忘记，进位数可写小一些记在横线上。
3、两位数乘一位数（连续进位）：
①用一位数乘两位数上个位上的数，积满几十向十位进几；
②用一位数乘两位数上十位上的数，积满几百向百位进几；
③不要漏加进位数字。
【方法总结】
1、两位数乘一位数的口算方法：把两位数分成整十数和一位数，用整十数和一位数分别与一位数相乘，最后把两次乘得的积相加。
2、整百整十数乘一位数的口算方法：
（1）先用整百数乘一位数，再用整十数乘一位数，最后把两次乘得的积相加。
（2）先用整百整十数的前两位与一位数相乘，再在乘积的末尾添上一个0。
3、一个数与10相乘的口算方法：
一位数与10相乘，就是把这个数的末尾添上一个0。
4、两位数乘整十数的口算方法：
先用这个两位数与整十数十位上的数相乘，然后在积的末尾添上一个0。
小技巧：口算乘法：整十、整百的数相乘，只需把0前面的数字相乘，再看两个因数一共有几个0，就在结果后面添上几个0。
如：30×500＝15000 可以这样想，3×5＝15，两个因数一共有3个0，在所得结果15后面添上3个0就得到30×500＝15000。
【常考题型】
计算38×4时，用第一个因数十位上的3乘第二个因数4，得（ ）。
答案：120
口算题。
26×6＝19×7＝53×2＝
答案：156；133；106
3．两位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘两位数的笔算方法：
（1）先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数个位对齐；
（2）再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；
（3）然后把两次乘得的积加起来。
【方法总结】
两位数乘两位数在笔算：
1、首先要相同数位对齐，
2、用下面因数的个位数和十位数依次去乘上面因数的个位数和十位数，将所得的积相加。
注意：
验算：交换两个因数的位置。
【常考题型】
1、笔算题。
32×13 27×56 43×58
答案：416；1512；2494
2、84×23的积是（ ）位数，最高位是（ ）位。
答案：四；千
3、32×30的积是32×（ ）的积的10倍。
答案：3
4、两位数乘两位数，积可能是（ ）位数，也可能是（ ）位数。
答案：三；四
4．一位数除多位数
【知识点归纳】
一位数除多位数
（1）相同数位对齐，从最高位除起，除到哪一位就把商写在那一位的上面。如果被除数最高位比除数小就要看被除数的前两位，除到哪一位就把商写在那一位的上面。每次除得的余数必须比除数小。
（2）0除以任何不是0的数都得零。
（3）除到哪一位不够除就添0占位。
（4）看清运算顺序，算式里只有乘除法，按从左到右的顺序进行计算，要是有括号要先算括号里的。
【方法总结】
笔算除法顺序：确定商的位数，试商，检查，验算。
（1）一位数除两位数（商是两位数）的笔算方法：先用一位数除十位上的数，如果有余数，要把余数和个位上的数合起来，再用除数去除。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。
（2）一位数除三位数的笔算方法：先从被除数的最高位除起，如果最高位不够商1，就看前两位，而除到被除数的哪一位，就要把商写在那一位上，假如不够商1，就在这一位商0；每次除得的余数都要比除数小，再把被除数上的数落下来和余数合起来，再继续除。
（3）除法的验算方法：
没有余数的除法的验算方法：商×除数：被除数；
有余数的除法的验算方法：商×除数+余数＝被除数。
【常考题型】
1、用竖式计算。
答案：284；94；37；87……1
2、要使□36÷5的商是三位数，□内可以填的数是（ ）；要使□36÷5的商是两位数，□内可以填的数是（ ）。
答案：5、6、7、8、9；1、2、3、4。
5．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
6．列竖式计算除法
1.除法用竖式计算时，从被除数最高位开始除起，如若除不了，那么就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。
2.列竖式的过程中要把位数对齐。
3.除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商。
4.每次除后余下的数必须比除数小。
7．表外乘加、乘减
【知识点归纳】
1、乘法的含义
乘法是求几个相同加数连加的和的简便算法。如：计算：2+2+2＝6，用乘法算就是：2×3＝6或3×2＝6。
2、乘法算式的写法和读法
⑴连加算式改写为乘法算式的方法。求几个相同加数的和，可以用乘法计算。写乘法算式时，可以用乘法计算。写乘法算式时，可以先写相同的加数，然后写乘号，再写相同加数的个数，最后写等号与连加的和；也可以先写相同加数的个数，然后写乘号，再写相同加数，最后写等号与连加的和。
如：4+4+4＝12改写成乘法算式是4×3＝12或3×4＝12
⑵乘法算式的读法。读乘法算式时，要按照算式顺序来读。如：6×3＝18读作：“6乘3等于18”。
3、乘法算式中各部分的名称及实际表示的意义
在乘法算式里，乘号前面的数和乘号后面的数都叫做“乘数”；等号后面的得数叫做“积”。
4、乘法算式所表示的意义
求几个相同加数的和，用乘法计算比较简单。一道乘法算式表示的就是几个相同加数连加的和。如：4×5表示5个4相加或4个5相加。
5、加法写成乘法时，加法的和与乘法的积相同。
【方法总结】
“几和几相加”与“几个几相加”有区别
求几和几相加，用几加几；如：求4和3相加是多少？用加法（4+3＝7）
求几个几相加，用几乘几。
如：求4个3相加是多少？（3+3+3+3＝12或3×4＝12或4×3＝12）
补充：几和几相乘，求积？用几×几。如：2和4相乘用2×4＝8
2个乘数都是几，求积？用几×几。如：2个8相乘用8×8＝64
【常考题型】
1、算一算。
答案：2；8；11；7
填一填。
（1）5个3相加的和是（ ），再加上4的结果是（ ）。
答案：15；19
（2）4乘4的积是（ ），再减去8的结果是（ ）。
答案：16；8
8．表内除加、除减
【知识点归纳】
1、表内除法的知识点：
（1）理解平均分的意义。会根据表内乘法，计算简单的除法。
（2）会用乘法口诀求商。
（3）根据乘除法的意义解决一些简单的乘除法应用题。
（4）被除数÷除数＝商；
被除数÷商＝除数；
除数×商＝被除数
2、除法：是四则运算之一，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
【方法总结】
1、平均分里有两种情况：
（1）把一些东西平均分成几份，求每份是多少；用除法计算，总数÷份数＝每份数
例：24本练习本，平均分给6人，每人分多少本？
（2）包含除（求一个数里面有几个几）把一个数量按每份是多少分成一份，求能平均分成几份；用除法计算，总数÷每份数＝份数
例：24本练习本，每人4本，能分给多少人？
【常考题型】
口算题。
答案：2；13；14
填一填。
21÷7+3，要先算（ ）法，再算（ ）法，最后结果是（ ）。
答案：除；加；6
9．表外乘除混合
【知识点归纳】
1、混合运算，先乘除，后加减，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。只有加、减法或只有乘、除法，都要从左到右按顺序计算。
2、加减乘除混合运算规则：
（1）同级运算时，从左到右依次计算。
（2）两级运算时，先乘除后加减。
（3）有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
解决两步计算的实际问题
1、想好先解决什么问题，再解决什么问题。
2、可以画图帮助分析。
3、可以分布计算，也可以列综合算式。
【常考题型】
口算题。
答案：45；27；21；48
李大爷有高血压需长期吃药，医生嘱咐他每天吃6片。李大爷有事要外出8天，药瓶已有24片药，应再放多少片药就够了？
答案：6×8﹣24＝24（片）
体育老师买了4桶羽毛球共花了240元，每桶12个，求每个羽毛球平均多少钱？
答案：240÷4÷12＝5（元）
10．无括号四则混合运算
【知识点归纳】
1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。
4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。
【常考题型】
1、解决问题。
（1）学校合唱团有男生37人，女生人数比男生的3倍多5人。学校合唱团一共有多少人？
（2）学校合唱团有男生37人，比女生的3倍少5人。学校合唱团一共有多少人？
答案：（1）37×3+5+37＝153（人）
答：学校合唱团一共有153人。
（2）37+5＝42（人）
42÷3＝14（人）
14+37＝51（人）
答：学校合唱团一共有51人。
11．带括号的四则混合运算
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1.含有小括号的混合运算的运算顺序：
要先算小括号里面的，再算小括号外面的；小括号里面的，要先算乘、除法，再算加、减法。
2.含有中括号的三步混合运算的运算顺序：
在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
【常考题型】
填一填。
计算（230+48）÷（200﹣61）时，应先算（ ）法和（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
计算888÷[200﹣（40+50）]时，应先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
先说一说下面各题的运算顺序，再计算。
360÷（70﹣4×16）158﹣[（27+54）÷9]
答案：乘法﹣减法﹣除法，60；
加法﹣除法﹣减法，149
12．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（ ）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．
例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
13．时、分、秒及其关系、单位换算与计算
【知识点归纳】
两个日期或时刻之间的间隔叫时间．
时、分、秒相邻两个单位进率是60，
1小时＝60分＝3600秒，
1分＝60秒．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．
【命题方向】
常考题型：
例1：3.3小时是（ ）
A、3小时30分 B、3小时18分 C、3小时3分
分析：1小时＝60分，据此即可求解．
解：3.3小时＝3+0.3小时，
0.3×60＝18（分），
所以3.3小时＝3小时18分；
故选：B．
点评：此题主要考查时间单位间的换算．
例2：三个人在同一段路上赛跑，甲用0.2分，乙用730分，丙用13秒．（ ）的速度最快．
A、甲 B、乙 C、丙
分析：先把时间都换算成秒数，再比较谁最快，因为路程相等，谁用的时间最少谁就最快．
解：甲的时间是：0.2分＝12秒，
乙的时间是：730分＝14秒，
丙的时间是：13秒，
在12秒、14秒、13秒三个时间中，12秒最少，即甲的速度最快．
故选：A．
点评：此题关键是把时间统一单位，明确同样的路程，用的时间最少的是速度最快的．
14．简单周期现象中的规律
【命题方向】
常考题型：
例：体育课上同学们站成一排，老师让他们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个报的数是2，这一排同学有（ ）人．
A、26 B、27 C、28
分析：把这5个数看成一组，最后一个报的数是2，这一排的人数就是除以5，余数是2的数．
解：26÷5＝5…1；
27÷5＝5…2；
28÷5＝5…3；
这一排可能的人数是27．
故选：B．
点评：先找到规律，再根据规律求解．
15．简单的归一应用题
【知识点归纳】
已知相互关联的两个量，其中一个量在改变，另一个量也随之改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题．
归一问题可以分为一次归一问题、两次归一问题．
一次归一问题：用一步运算就能求出单一量的归一问题，又称单归一
两次归一问题：用两步运算才能求出单一量的归一问题，又称双归一
归一问题还可以分为正归一问题、反归一问题．
正归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用乘法计算结果的归一问题
反归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用除法计算结果的归一问题
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后，以它为标准，根据题目的要求算出结果．
数量关系式：单一量×份数＝总数量（正归一）
总数量÷单一量＝分数（反归一）
【命题方向】
常考题型：
例1：计划5小时做40个零件，3小时做这批零件的（ ）
A、35 B、45 C、34
分析：先算出平均每小时做多少个零件，再算出3小时做多少个零件，把40件零件看做单位“1”，进一步求出3小时做的占40件得几分之几．
解：平均每小时做的零件数：40÷5＝8（个），
3小时做的零件数：8×3＝24（个），
3小时做的占40件的：24÷40=35．
答：3小时做这批零件的35．
故选：A．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量，进一步得出答案．
例2：3台织布机4小时织布336米，照这样计算，1台织布机8小时织布多少米？
分析：照这样计算，说明每台织布机，每小时织布量不变，先用336除以3台，求出每台4小时的织布量，再除以4小时，求出每台每小时的织布量，然后乘上8小时即可求解．
解：336÷3÷4×8，
＝112÷4×8，
＝28×8，
＝224（米）；
答：1台织布机8小时织布224米．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．
16．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
17．两点间线段最短与两点间的距离
【知识点归纳】
1．两点之间，线段最短：在两点之间连接出若干条折线、曲线和线段，其中线段的长度最小．
2．应用：当两点在直线两侧时，直接连接两点即可，而不必找对称点；当两点在直线同侧时，需要作出其中一个点关于直线的对称点．
【命题方向】
常考题型：
例1：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段 最短 ，它的长度叫做这点到直线的 距离 ．
分析：根据垂直的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短；进行解答即可．
解：由垂直的性质得：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离．
故答案为：最短，距离．
点评：此题考查了垂直的性质，是基础题型．
例2：如图中过A点最短的一条线段是（ ）
A、AB B、AC C、AD D、AE
分析：根据“点到直线的距离，垂线段最短”进行解答即可．
解：图中过A点到直线BE的所有线段中，最短的一条是AD；
故选：C．
点评：解答此题应明确：点到直线的距离，垂线段最短．
18．角的概念和表示
【知识点归纳】
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
注意：由角的定义可知：
（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2）顶点是这两条边的交点；
（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.
（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
角的表示方法：
（1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A
【命题方向】
常考题型：
1.从一点引出两条______所组成的图形叫做角，角的计量单位用_______来表示。
答案：射线，度。
2.组成角的两条边是两条（ ）
A．线段B．射线C．直线
答案：B
19．垂直与平行的特征及性质
【知识点归纳】
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（ ）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线． × ．（）
分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
20．从不同方向观察物体和几何体
【知识点归纳】
视图定义：
当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图象叫做物体的一个视图．
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图．
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图．
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图．
人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所称的角叫做视角．
我们把视线不能到达的区域叫做盲区．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个物体的形状如图所示，则此物体从左面看是（ ）
分析：这个几何体是由四个小正方体组成的，根据观察物体的方法，从正面看，是三个正方形，下行二个，上行一个位于右面；从上面看，是三个正方形，上行二个，下行一个位于右面；从左面看是三个正方形，下行二个，上行一个位于左面．由此判断．
解：从左面看到的是三个正方形，左边一列二个正方形，右边一个正方形与左边一列下边的一个成一行；
故选：B．
点评：本题是考查从不同方向观察物体和几何图形．是培养学生的观察能力．
21．作简单图形的三视图
【知识点归纳】
在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析．当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析．
画哪个方向上的三视图就想象哪个方向上有光照到物体上，画出投影即可．
【命题方向】
常考题型：
例：如图立体图形，从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画．
分析：观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边；从上面看到的图形是一行3个正方形；从侧面看到的图形是一列2个正方形，据此即可解答问题．
解：根据题干分析画图如下：
点评：此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
22．图形的拼组
【知识点归纳】
1．平面镶嵌的概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起，这就是平面镶嵌．
2．规律：
用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形．
用不同的正多边形镶嵌：
（1）用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；
（2）用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌．
【命题方向】
常考题型：
例：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形的周长是（ ）
A、24厘米 B、36厘米 C、38厘米
分析：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形有边长就是（3×2）厘米，根据正方形有周长公式可列式解答．
解：根据题意画图如下，
正方形的周长：
（3×2）×4，
＝6×4，
＝24（厘米）．
答：周长是24厘米．
故选：A．
点评：本题考查了学生对拼组图形周长的计算能力．画图可更好的帮助学生理解．
23．体积、容积及其单位
【知识点归纳】
体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量．
体积的国际单位制是立方米．
常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米．
【命题方向】
常考题型：
例1：要求水桶能装水多少升，就是求水桶的（ ）
A、表面积 B、体积 C、容积
分析：体积和容积是两个不同的概念，意义不同：容积是指容器所能容纳物体的体积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量；物体所占的空间的大小叫做体积．测量方法不同：计算物体的体积要从物体外面去测量，例如求木箱的体积就要从外面量出它的长、宽、高的长度；计算容积或容量，由于容器有一定的厚度，要从容器里面去测量，例如求木箱的容积或容量，要从内部测量出长、宽、高的长度．计算单位不同：计算物体的体积，一定要用体积单位，常用的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米等．计算容积一般用容积单位，如升和毫升，但有时候还与体积单位通用．
解：要求水桶能装水多少升，就是求水桶的容积；
故选：C．
点评：正确区分体积和容积的意义，是解决此题的关键．
例2：盛满沙子的沙坑，（ ）的体积就是沙坑的容积．
A、沙子 B、沙坑
分析：根据容积的定义直接选择，容积是指容器所能容纳物体的多少，沙坑的容积就是指沙坑所能容纳沙子的多少即沙子的体积．
解：沙坑的容积是指沙坑所能容纳沙子的多少，沙坑的容积即是沙子的体积．
故选：A．
点评：此题考查容积的定义，是指容器所能容纳物体的多少．
24．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
25．角的度量
【知识点归纳】
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的1360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（ ）
A、50° B、500° C、100°
分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．
故选：A．
点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．
例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（ ）
A、1：30和2：30 B、3：30和8：30 C、9：00和3：00 D、10：30和1：30
分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．
解：A，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
2：30时针和分针中间相差3.5个大格，夹角是：30×3.5＝105度；符合题意；
B，3：30时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30＝75度，
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30°＝75度；
C，9：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度，
3：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度；
D，10：30时针和分针中间相差4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度；
所以夹角不同的是A．
故选：A．
点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
26．作最短线路图
【知识点归纳】
做一个点关于直线的对称点，然后连接对称点和另外一个点，与直线的交点就是所求的点，所求的点和已知点之间的距离就是最短线路．
【命题方向】
常考题型：
例：如果从A、B两点各修一条小路与公路接通，要使这两条小路最短，应该怎样修？请你在图中画出来．
分析：因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要分别作出A、B两点到公路的垂线段即可．
解：如图所示，只要分别作出A、B两点到公路的垂线段，这两条小路就最短；
答：只要从A、B两点垂直向公路修小路，所修成的小路才最短．
点评：此题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短．
27．平均数的含义及求平均数的方法
【知识点归纳】
1．平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
2．平均数的求解方法：用所有数据相加的总和除以数据的个数，需要计算才得求出．
【命题方向】
常考题型：
例1：参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（ ）
A、82分 B、86分 C、87分 D、88分
分析：根据题意，可找出数量间的相等关系：女生的平均成绩×1+男生的平均成绩×3＝全班平均成绩×4，设女生的平均成绩是x，列并解方程即可．
解：设女生的平均成绩是x，因为总成绩不变，由题意得，
x×1+3×80＝82×（1+3），
x+240＝328，
x＝328﹣240，
x＝88；
或：[82×（1+3）﹣80×3]÷1，
＝（328﹣240）÷1，
＝88（分）；
答：女生的平均成绩是88分．
故选：D．
点评：解答此题关键是先求出全班的总成绩和男生的总成绩，然后求出女生的总成绩，进而求出女生的平均成绩．
28．统计图表的填补
【知识点归纳】
1．读懂统计图或者表．
2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：乐乐记录了爸爸妈妈两个月的电话费支出情况．
【分析】（1）运用爸爸1、2月份的总钱数减去1月份的话费即可得到2月份的话费．把妈妈1、2月份的钱数相加即可得到总钱数．
（2）把爸爸、妈妈1月份的话费相加即可得到合计，把爸爸、妈妈2月份的话费相加即可得到合计，然后再把两次的合计加在一起即可得到总合计．
解：（1）61.0﹣30.2＝30.8（元）
26.7+20.4＝47.1（元）
（2）30.2+26.7＝56.9（元）
30.8+20.4＝51.2（元）
56.9+51.2＝108.1（元）
【点评】此题主要依据加法及减法的意义解决实际问题．
29．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
30．可能性的大小
【知识点归纳】
事件的概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）＝P．必然事件的概率为1．
【命题方向】
常考题型：
例1：从如图所示盒子里摸出一个球，有 两 种结果，摸到 白 球的可能性大，摸到 黑 球的可能性小．
【分析】（1）右边盒子里只有白球和黑球，所以摸球的结果只有两种情况；
（3）白球3个，黑球1个，3＞1，所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．
解：（1）因为盒子里只有白球和黑球，
所以摸球的结果只有两种情况．
（2）因为白球3个，黑球1个，
所以3＞1，
所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．
故答案为：两，白，黑．
【点评】此题考查可能性的大小，数量多的摸到的可能性就大，根据日常生活经验判断．
31．游戏规则的公平性
【知识点归纳】
游戏规则的公平性体现在参与游戏的任何一方的获胜可能性大小一致．
【命题方向】
经典题型：
例1：小华用下面的转盘设计了一个游戏：指到红色、甲胜；指到黄色，乙胜，这个游戏公平吗？为什么？
【分析】看转盘的红色区域和黄色区域占整体的多少，再进行比较即可得出答案．
解：指针指向红色的可能性是46，
指针指向黄色的可能性是26，
所以甲胜的可能性大，
这个游戏不公平．
【点评】此题考查了游戏的公平性，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的可能性=nm，解决本题的关键是得到相应的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平．注意转盘应均等分．

（1）656÷16 328÷8
（2）200分 3时
（3）6000毫升 60升
（4）850÷（5×10） 850÷10÷5
160÷40＝
750÷5＝
12+8×3＝
100÷50×2＝
9÷58＝
450÷30＝
8﹣8÷8＝
8×9÷8×9＝
23×30＝
24×5＝
640÷32＝
88+12﹣88+12＝
312+945÷63×36
（684÷38+78）×25
125×[912÷（210﹣186）]
468÷13×（368﹣178）
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
女顾客
26
10
11
15
12
9
22
男顾客
25
11
12
15
15
12
29
题号
1
2
3
4
5
答案
B
B
B
B
B
（1）656÷16 ＝ 328÷8
（2）200分 ＞ 3时
（3）6000毫升 ＜ 60升
（4）850÷（5×10） ＝ 850÷10÷5
160÷40＝
750÷5＝
12+8×3＝
100÷50×2＝
9÷58＝
450÷30＝
8﹣8÷8＝
8×9÷8×9＝
23×30＝
24×5＝
640÷32＝
88+12﹣88+12＝
160÷40＝4
750÷5＝150
12+8×3＝36
100÷50×2＝4
9÷58=958
450÷30＝15
8﹣8÷8＝7
8×9÷8×9＝81
23×30＝690
24×5＝120
640÷32＝20
88+12﹣88+12＝24
312+945÷63×36
（684÷38+78）×25
125×[912÷（210﹣186）]
468÷13×（368﹣178）
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
女顾客
26
10
11
15
12
9
22
男顾客
25
11
12
15
15
12
29
192+245＝
321﹣119＝
294+356＝
568÷2＝
376÷4＝
185÷5＝
697÷8＝
4×1﹣2＝
2×3+2＝
3×5﹣4＝
2×2+3＝
32÷8﹣2＝
27÷3+4＝
72÷9+6＝
18÷2×5＝
45÷5×3＝
9÷3×7＝
2×3×8＝
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
合计
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
30.8
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
47.1
合计
56.9元
51.2元
108.1元