2025-2026学年上学期南宁小学数学四年级期末典型卷1

这是一份2025-2026学年上学期南宁小学数学四年级期末典型卷1，共51页。
2．（3分）根据算式7.9×3.6＝28.44直接写出下面的得数。
28.44÷3.6＝
0.79×36＝
79×36＝
3．（1分）小红家的电话号码是一个七位数，最高位上是2，个位上是1，十万位上的数字是最大的一位数，千位上的数字与个位相同，百位上是3，其它数位上的数字都是0，小红家的电话号码是 。
4．（1分）为推进义务教育优质均衡发展，我县积极化解大校额，在建的有城南学校和城西学校，其中城南学校建筑面积达42000平方米，合 公顷。
5．（4分）376÷28的商是 位数，最高位在 位；要使789÷□8的商是一位数，□里可以填 ，也可以填 。
6．（2分）2025年中国电影《哪吒之魔童闹海》深受观众的喜爱，截止到5月1日，全球票房约达到15776000000元，位列全球影史票房榜第五。横线上的数是 万，省略“亿”后面的尾数约是 亿。
7．（1分）远古时代，当人们打猎回来要记录猎物的数量时，就用石子、刻痕等方式来计数。有一次外出打了132只猎物，是这样记录的：。另一次外出打的猎物是这样记录的：，这次他们打了 只猎物。
8．（1分）各类伸缩门的制作和机械式升降台等都利用了平行四边形 的特性。（填“对边平行”、“对边相等”或“容易变形”）
9．（1分）用画 的方法，可以判断同一平面内两条直线是否平行。
10．（1分）320连续减40，减 次得0。
11．（2分）把一副三角尺按图方式摆放，则∠1＝ °，∠2＝ °。
12．（1分）根据前三个题得数规律，直接填写第四题的得数。
11×19＝209
21×29＝609
31×39＝1209
41×49＝ 。
13．（1分）观察如图竖式，箭头所指的乘数是 。
二．选择题（共10小题，满分10分，每小题1分）
14．（1分）在459700900，4503000，4560900，40059000中，只读一个零的数有（ ）个。
A．1B．2C．3D．4
15．（1分）用小棒摆三角形，如果用剩余，不可能会剩余（ ）根小棒。
A．1B．2C．3
16．（1分）下面不是平行关系的是（ ）
A．B．C．D．
17．（1分）图中，一共有（ ）个钝角。
A．2B．4C．6D．8
18．（1分）一个油桶装有5升油，现在想把它们装进小油瓶中，每个小油瓶可以装400毫升，可以倒满多少瓶？还剩多少毫升？小红列出如图所示竖式，下列说法正确的是（ ）
A．可以倒满1200瓶，还剩200毫升
B．可以倒满12瓶，还剩200毫升
C．可以倒满12瓶，还剩2毫升
19．（1分）体育馆共有28个看台，每个看台可坐102人，这个体育馆能容纳多少人？列竖式计算如图，竖式中箭头所指的数表示（ ）
A．2个看台可坐的人数B．8个看台可坐的人数
C．20个看台可坐的人数D．28个看台可坐的人数
20．（1分）王大爷绕小区扇形花坛散步一圈，图中能表示王大爷散步与起点距离变化的是（ ）
A．B．
C．D．
21．（1分）小明把两条长6厘米的长方形纸条粘贴在一起，粘贴后总长为10厘米，小明的粘法（注：涂色部分是两张纸条重叠的部分）是下面（ ）的粘法。
A．B．
C．
22．（1分）在下面验算292÷34＝8……20的算式中，错误的算式是（ ）
A．（292+20）÷8B．34×8+20
C．292﹣34×8
23．（1分）图中至少再添上（ ）个这样的□，就可以拼成一个大正方形。
A．2B．5C．8
三．计算题（共2小题，满分22分）
24．（8分）直接写得数。
25．（14分）用竖式计算。
四．操作题（共3小题，满分15分）
26．（3分）用三角板画120°的角，用量角器画65°的角。
27．（5分）（1）画出梯形的高。
（2）画出平行四边形底边上的高。
28．（7分）下面是某校四年级同学喜欢的球类项目统计表。（每人只选一个球类项目）
四年级同学喜欢的球类项目统计表
（1）根据统计表中的数据将复式统计图补充完整。
四年级同学喜欢的球类项目统计图
（2）纵轴上每个单位长度表示 人。
（3）四年级男生喜欢 项目的人数最多，喜欢该项目的男生人数是女生人数的 倍。
（4）喜欢球类项目的女生共有 人。
五．应用题（共5小题，满分31分）
29．（5分）超市搞元旦促销活动：书包每个69元，两个99元。李老师带了680元钱，最多可以买多少个书包？还剩多少元？
30．（6分）公园要扩大一块长方形绿地的面积，使长不变，宽增加到36米，扩大后的绿地面积是多少？
31．（6分）新华食品厂某面包机2小时共生产面包280个，照这样计算，该面包机上午8：30～下午5：30期间共生产面包多少个？
32．（7分）一块边长是80米的正方形草坪，它的面积和周长各是多少？
33．（7分）声音在空气中的传播速度是0.34千米/秒，明明对着远处的乐乐喊话，2.5秒后乐乐听见了明明的声音，明明和乐乐相距多少千米？
2025-2026学年上学期南宁小学数学四年级期末典型卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．填空题（共13小题，满分22分）
1．（3分）一个数由7个亿、4个千万、2个十万、6个千组成，这个数写作 740206000 ，改写成用万作单位的数是 74020.6 万，省略亿位后面的尾数约是 7 亿。
【考点】亿以上数的读写；亿以上数的改写与近似．
【专题】数感．
【答案】740206000，74020.6，7。
【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。
【解答】解：一个数由7个亿、4个千万、2个十万、6个千组成，这个数写作740206000，改写成用万作单位的数是74020.6万，省略亿位后面的尾数约是7亿。
故答案为：740206000，74020.6，7。
【点评】本题主要考查整数的写法、改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位。
2．（3分）根据算式7.9×3.6＝28.44直接写出下面的得数。
28.44÷3.6＝ 7.9
0.79×36＝ 28.44
79×36＝ 2844
【考点】积的变化规律；乘与除的互逆关系．
【专题】运算能力．
【答案】7.9，28.44，2844。
【分析】根据积÷一个因数＝另一个因数，如果一个因数除以几（0除外），另一个因数乘相同的数，那么，它们的积不变；一个因数乘几，另一个因数也乘几，原来的积就乘它们的乘积；据此解答。
【解答】解：根据算式7.9×3.6＝28.44，可得：
28.44÷3.6＝7.9
0.79×36＝28.44
79×36＝2844
故答案为：7.9，28.44，2844。
【点评】此题主要考查的是乘与除的互逆关系，积的变化规律的灵活应用。
3．（1分）小红家的电话号码是一个七位数，最高位上是2，个位上是1，十万位上的数字是最大的一位数，千位上的数字与个位相同，百位上是3，其它数位上的数字都是0，小红家的电话号码是 2901301 。
【考点】亿以内的数位和组成．
【专题】数感．
【答案】2901301。
【分析】一个七位数，百万位写2，十万位写9，千位写1，百位写3，个位写1，其它数位写0，据此写出这个数。
【解答】解：小红家的电话号码是一个七位数，最高位上是2，个位上是1，十万位上的数字是最大的一位数，千位上的数字与个位相同，百位上是3，其它数位上的数字都是0，小红家的电话号码是2901301。
故答案为：2901301。
【点评】本题考查整数的写法，可以借助数位顺序表写数。
4．（1分）为推进义务教育优质均衡发展，我县积极化解大校额，在建的有城南学校和城西学校，其中城南学校建筑面积达42000平方米，合 4.2 公顷。
【考点】大面积单位间的进率及单位换算．
【专题】常见的量．
【答案】4.2。
【分析】42000平方米转化为公顷，是小单位变为大单位，要除以进率10000。
【解答】解：42000平方米＝4.2公顷
故答案为：4.2。
【点评】熟练掌握面积单位的换算，是解答此题的关键。
5．（4分）376÷28的商是 两 位数，最高位在 十 位；要使789÷□8的商是一位数，□里可以填 8 ，也可以填 9 。
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】两，十，8，9。
【分析】三位数除以两位数，如果被除数的前两位小于除数，商是一位数，如果被除数的前两位等于或大于除数时，商是两位数。
【解答】解：376÷28的商是两位数，最高位在十位；要使789÷□8的商是一位数，□里可以填8，也可以填9。
故答案为：两，十，8，9。
【点评】解答本题关键是熟练掌握三位数除以两位数的计算法则。
6．（2分）2025年中国电影《哪吒之魔童闹海》深受观众的喜爱，截止到5月1日，全球票房约达到15776000000元，位列全球影史票房榜第五。横线上的数是 1577600 万，省略“亿”后面的尾数约是 158 亿。
【考点】亿以上数的改写与近似．
【专题】数感．
【答案】1577600，158。
【分析】改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”位后面的尾数求近似数，根据千万位上数字的大小来确定用“四舍”法、还是用“五入”法，再在数的后面写上“亿”字”。据此进行解答。
【解答】解：15776000000＝1577600万
15776000000≈158亿
故答案为：1577600，158。
【点评】本题主要考查整数的写法和求近似数，注意求近似数时要带计数单位。
7．（1分）远古时代，当人们打猎回来要记录猎物的数量时，就用石子、刻痕等方式来计数。有一次外出打了132只猎物，是这样记录的：。另一次外出打的猎物是这样记录的：，这次他们打了 246 只猎物。
【考点】古代表示数的方法．
【专题】数感．
【答案】246。
【分析】根据题意，一个表示100，一个表示10，一个表示1；据此解答。
【解答】解：＝200+40+6＝246
答：这次他们打了246只猎物。
故答案为：246。
【点评】解答此题的关键是明确每种图案表示多少只猎物，再进一步解答。
8．（1分）各类伸缩门的制作和机械式升降台等都利用了平行四边形 容易变形 的特性。（填“对边平行”、“对边相等”或“容易变形”）
【考点】平行四边形的不稳定性；平行四边形的特征及性质．
【专题】应用意识．
【答案】容易变形。
【分析】根据四边形不具有稳定性，解答此题即可。
【解答】解：各类伸缩门的制作和机械式升降台等都利用了平行四边形容易变形的特性。
故答案为：容易变形。
【点评】熟练掌握平行四边形的性质，是解答此题的关键。
9．（1分）用画 垂线 的方法，可以判断同一平面内两条直线是否平行。
【考点】垂直与平行的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】垂线。
【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都与另一条直线互相垂直，那么这两条直线互相平行。
【解答】解：用画垂线的方法，可以判断同一平面内两条直线是否平行。
故答案为：垂线。
【点评】此题考查了平行的特征和性质，要熟练掌握。
10．（1分）320连续减40，减 8 次得0。
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】用320除以40，即可解答。
【解答】解：320÷40＝8（次）
答：减8次得0。
故答案为：8。
【点评】本题考查两位数除三位数的计算。注意计算的准确性。
11．（2分）把一副三角尺按图方式摆放，则∠1＝ 120 °，∠2＝ 45 °。
【考点】线段与角的综合．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】120，45。
【分析】根据三角板各个角的特殊性，平角是180°，直角是90°，即可解答。
【解答】解：∠1＝180°﹣60°
＝120°
∠2＝180°﹣90°﹣45°
＝90°﹣45°
＝45°
答：∠1＝120°，∠2＝45°。
故答案为：120，45。
【点评】本题考查的是线段与角的综合，掌握三角板各个角的特殊性，平角是180°，直角是90°，是解答关键。
12．（1分）根据前三个题得数规律，直接填写第四题的得数。
11×19＝209
21×29＝609
31×39＝1209
41×49＝ 2009 。
【考点】“式”的规律．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】2009。
【分析】11×19中第一个因数十位上的数是1，第二个因数十位上的数是1，1+1＝2，1×2＝2，积的中间是0，1×9＝9，积的末尾是9，11×19＝209；21×29中，由于2+2＝4，不等于6，所以是积的第一位是十位数乘比十位数大一的数字，同时十位上的数字都是0，个位上的数字都是9，2×（2+1）＝2×3＝6，21×29＝609；31×39中，3×（3+1）＝3×4＝12，12是积的前两位，即31×39＝1209，所以第四个式子积的前两位是4×（4+1），十位是0，个位是0，据此填空即可。
【解答】解：4×（4+1）
＝4×5
＝20
41×49＝2009
故答案为：2009。
【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。
13．（1分）观察如图竖式，箭头所指的乘数是 8 。
【考点】两位数乘两位数．
【专题】运算能力．
【答案】8。
【分析】先用480除以30，求出竖式中上面的乘数；再用128除以竖式中上面的乘数，即可求出箭头所指的乘数。
【解答】解：480÷30＝16
128÷16＝8
答：箭头所指的乘数是8。
故答案为：8。
【点评】解答本题需熟练掌握两位数乘两位数法则，明确竖式中的数表示的意义。
二．选择题（共10小题，满分10分，每小题1分）
14．（1分）在459700900，4503000，4560900，40059000中，只读一个零的数有（ ）个。
A．1B．2C．3D．4
【考点】亿以上数的读写．
【专题】数感．
【答案】C
【分析】读数时，把数先分级，从高位读起，亿级或万级的数按照万以内的数的读法去读，再在每级的末尾加一个“亿”或“万”字，每级末尾的0都不读，每一级的开头或中间无论有几个0，都读一个0。
【解答】解：459700900读作：四亿五千九百七十万零九百，4503000读作：四百五十万三千，4560900读作：四百五十六万零九百，40059000读作：四千零五万九千。
答：只读一个零的数有3个。
故选：C。
【点评】本题考查了整数的读法，要熟练掌握。
15．（1分）用小棒摆三角形，如果用剩余，不可能会剩余（ ）根小棒。
A．1B．2C．3
【考点】有余数的除法．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】摆成小三角形，每个小三角形需要3根小棒；用小棒的根数除以3求出的商就是可以摆多少个三角形，如果有余数，余数就是剩下的小棒的根数，根据余数要比除数小，这里除数是3，所以余数要小于3，所以剩下的根数要小于3，据此解答即可。
【解答】解：用小棒摆三角形，如果用剩余，不可能会剩余3根小棒。
故选：C。
【点评】此题考查了有余数的除法中，余数总比除数小。
16．（1分）下面不是平行关系的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】垂直与平行的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】B
【分析】根据平行的定义，在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。
【解答】解：根据分析：不是平行关系的是。
故选：B。
【点评】本题考查了平行的性质。
17．（1分）图中，一共有（ ）个钝角。
A．2B．4C．6D．8
【考点】角的分类（锐角直角钝角）．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】A
【分析】角是由一个顶点和两条直边组成的图形，钝角大于90度小于180度，利用三角板的直角判断。
【解答】解：一共有上面左右的2个钝角。
故选：A。
【点评】本题考查了钝角的特征。
18．（1分）一个油桶装有5升油，现在想把它们装进小油瓶中，每个小油瓶可以装400毫升，可以倒满多少瓶？还剩多少毫升？小红列出如图所示竖式，下列说法正确的是（ ）
A．可以倒满1200瓶，还剩200毫升
B．可以倒满12瓶，还剩200毫升
C．可以倒满12瓶，还剩2毫升
【考点】有余数的除法应用题．
【专题】文字题；应用意识．
【答案】B
【分析】5升＝5000毫升，本题中的商是12，表示可以倒满12罐，余数2在百位上，表示还剩200毫升，据此解答即可。
【解答】解：可以倒满12罐，还剩200毫升。
故选：B。
【点评】此题主要考查了有余数除法的竖式各部分的意义，要熟练掌握。
19．（1分）体育馆共有28个看台，每个看台可坐102人，这个体育馆能容纳多少人？列竖式计算如图，竖式中箭头所指的数表示（ ）
A．2个看台可坐的人数B．8个看台可坐的人数
C．20个看台可坐的人数D．28个看台可坐的人数
【考点】两位数乘三位数．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】乘数的十位数字代表的是几十个，因此竖式箭头所指的数是20乘102的结果，据此解答。
【解答】解：102×20＝2040（人）
竖式中箭头所指的数表示20个看台可坐的人数。
故选：C。
【点评】本题解题的关键是熟练掌握两位数乘三位数的算理。
20．（1分）王大爷绕小区扇形花坛散步一圈，图中能表示王大爷散步与起点距离变化的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】路程、时间与速度（速度＝路程÷时间）．
【专题】文字题；推理能力．
【答案】B
【分析】王大爷从起点出发，走扇形半径时，时间越来越多，距离越来越远，走到扇形弧形边时，时间越来越多多，距离起点的距离不变，走到扇形的另一条半径时，时间越来越多，距离起点的距离越来越近。
【解答】解：根据分析可知，选项B的图能表示王大爷散步与起点距离的变化。
故选：B。
【点评】此题考查了扇形的认识以及时间和路程的关系。
21．（1分）小明把两条长6厘米的长方形纸条粘贴在一起，粘贴后总长为10厘米，小明的粘法（注：涂色部分是两张纸条重叠的部分）是下面（ ）的粘法。
A．B．
C．
【考点】重叠问题．
【专题】综合判断题；推理能力．
【答案】B
【分析】计算出重叠部分的长度即可判断。
【解答】解：2×6﹣10＝2（厘米），即重叠部分为2厘米，只有B选项符合题意。
故选：B。
【点评】本题考查了简单的重叠问题的应用。
22．（1分）在下面验算292÷34＝8……20的算式中，错误的算式是（ ）
A．（292+20）÷8B．34×8+20
C．292﹣34×8
【考点】有余数的除法．
【专题】应用意识．
【答案】A
【分析】除法验算，可以根据被除数＝除数×商+余数，来验算，即先求34与8的积，再加20；还可以用被除数减34与8的积，看余数是否等于20，这是有余数除法的两种验算方法，据此解答即可。
【解答】解：A.（292+20）÷8＝39，验算方法错误
B．34×8+20＝292，验算方法正确
C．292﹣34×8＝20，验算方法正确
故选：A。
【点评】此题考查了有余数除法的验算方法。
23．（1分）图中至少再添上（ ）个这样的□，就可以拼成一个大正方形。
A．2B．5C．8
【考点】图形的拼组．
【专题】应用题；几何直观．
【答案】B
【分析】图中一行有3个小正方形，要拼成大的正方形至少要3行，也就是9个小正方形，现在有4个小正方形，至少还要9﹣4＝5（个），据此得出结论即可。
【解答】解：拼成的正方形如下：
9﹣4＝5（个）
答：至少再添上5个这样的□，就可以拼成一个大正方形。
故选：B。
【点评】本题考查了图形的拼组。
三．计算题（共2小题，满分22分）
24．（8分）直接写得数。
【考点】两位数除两、三位数；数的估算；两位数乘两位数；两位数乘三位数．
【专题】运算能力．
【答案】7；500；6060；6；5600；10；80500；10。
【分析】根据整数乘除法的计算方法和估算方法进行计算。
【解答】解：
【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
25．（14分）用竖式计算。
【考点】两位数除两、三位数；两位数乘三位数．
【专题】运算能力．
【答案】13440；6210；6240；7……33；19……4；11……27。
【分析】计算三位数乘两位数时：先用一个乘数的个位与另一个乘数的每一位依次相乘，再用这个乘数的十位与另一个乘数的每一位依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，哪一位满几十就向前一位进“几”，再把两次相乘的积加起来；
除数是两位数的除法计算：从被除数最高位看起，先用除数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，再试除前三位数。除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；求出每一位的商，余下的数必须比除数小。
【解答】解：240×56＝13440
345×18＝6210
208×30＝6240
390÷51＝7……33
365÷19＝19……4
500÷43＝11……27
【点评】考查了整数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算。
四．操作题（共3小题，满分15分）
26．（3分）用三角板画120°的角，用量角器画65°的角。
【考点】画指定度数的角．
【专题】几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°；90°+30°＝120°，依此画图。
用量角器画角的步骤是：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器65°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图并标上对应的度数即可。
【解答】解：画图如下：
【点评】本题考查了角的画法，熟练掌握用量角器和三角板画角的方法，是解答此题的关键。
27．（5分）（1）画出梯形的高。
（2）画出平行四边形底边上的高。
【考点】作梯形的高；作平行四边形的高．
【专题】几何直观．
【答案】（1）。
（2）。
【分析】（1）梯形作高的方法：从底边上的一点向对边顶点作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是梯形的高；
（2）平行四边形作高的方法：从底边对边的一个顶点向底边作一条垂线，这点和垂足之间的距离就是平行四边形的高。
【解答】解：根据题意与分析可得：
（1）
（2）
【点评】本题主要考查了学生的动手能力，以及对平行四边形、梯形的高的画法的掌握。
28．（7分）下面是某校四年级同学喜欢的球类项目统计表。（每人只选一个球类项目）
四年级同学喜欢的球类项目统计表
（1）根据统计表中的数据将复式统计图补充完整。
四年级同学喜欢的球类项目统计图
（2）纵轴上每个单位长度表示 5 人。
（3）四年级男生喜欢 篮球 项目的人数最多，喜欢该项目的男生人数是女生人数的 3 倍。
（4）喜欢球类项目的女生共有 40 人。
【考点】统计图表的填补；从统计图表中获取信息．
【专题】统计图表的制作与应用；应用意识．
【答案】（1）。
（2）5。
（3）篮球，3倍。
（4）40。
【分析】（1）根据统计表中的数据完成复式统计图。
（2）根据统计图可知，纵轴上每个单位长度表示5人。
（3）根据统计图可知，四年级男生喜欢篮球项目的人数最多，用喜欢该项目的男生人数除以女生人数即可。
（4）把喜欢球类项目的女生合起来即可。
【解答】解：（1）复式统计图如下：
（2）纵轴上每个单位长度表示5人。
（3）30÷10＝3
答：四年级男生喜欢篮球项目的人数最多，喜欢该项目的男生人数是女生人数的3倍。
（4）15+10+10+5＝40（人）
答：喜欢球类项目的女生共有40人。
故答案为：5；篮球，3；40。
【点评】此题考查统计图表的填补，并且能够根据统计图表提供的信息，解决有关的实际问题。
五．应用题（共5小题，满分31分）
29．（5分）超市搞元旦促销活动：书包每个69元，两个99元。李老师带了680元钱，最多可以买多少个书包？还剩多少元？
【考点】有余数的除法应用题．
【专题】简单应用题和一般复合应用题；应用意识．
【答案】13个，17元。
【分析】用680除以99，求出680里面有几个99，就买（几个2）个书包，据此解答。
【解答】解：680÷99＝6（个）……86（元）
86÷69＝1（个）……17（元）
2×6+1
＝12+1
＝13（个）
答：最多可以买13个书包，还剩17元。
【点评】本题考查的是有余数的除法应用题，根据实际情况用“去尾法”取值是解答关键。
30．（6分）公园要扩大一块长方形绿地的面积，使长不变，宽增加到36米，扩大后的绿地面积是多少？
【考点】长方形、正方形的面积．
【专题】应用题；运算能力；应用意识．
【答案】2340平方米。
【分析】依据题意结合图示可知，利用长方形的面积公式计算出原来长方形的长，然后利用长方形的面积公式计算扩大后的绿地的面积。
【解答】解：260÷4×36
＝65×36
＝2340（平方米）
答：扩大后的绿地面积是2340平方米。
【点评】本题考查的是长方形的面积公式的应用。
31．（6分）新华食品厂某面包机2小时共生产面包280个，照这样计算，该面包机上午8：30～下午5：30期间共生产面包多少个？
【考点】简单的归一应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】1260个。
【分析】根据题意，把普通计时法转化成24时计时法时，上午时刻不变，只要去掉“早晨、上午”等词语即可；下午时数加12时，同时去掉“下午、晚上”等词语即可。上午8：30转化成24时计时法是8：30，12+5＝17，下午5：30转化成24时计时法是17：30，经过时间＝结束时刻﹣开始时刻，用17：30减去8：30，求出生产的时间；已知面包机2小时共生产面包280个，用280除以2，求出1小时生产的面包个数；再乘生产的时间，就是该面包机上午8：30一下午5：30期间共生产面包的个数；列式计算即可。
【解答】解：上午8：30＝8：30
12+5＝17
下午5：30＝17：30
17：30﹣8：30＝9（小时）
280÷2＝140（个）
140×9＝1260（个）
答：该面包机上午8：30—下午5：30期间共生产面包1260个。
【点评】此题考查的是简单的归一应用题的知识。
32．（7分）一块边长是80米的正方形草坪，它的面积和周长各是多少？
【考点】长方形、正方形的面积；正方形的周长．
【专题】应用题；运算能力．
【答案】6400平方米；320米。
【分析】正方形的面积等于边长乘边长，周长＝4乘边长，据此计算。
【解答】解：80×80＝6400（平方米）
80×4＝320（米）
答：面积是6400平方米，周长是320米。
【点评】本题考查了正方形的面积和周长计算方法。
33．（7分）声音在空气中的传播速度是0.34千米/秒，明明对着远处的乐乐喊话，2.5秒后乐乐听见了明明的声音，明明和乐乐相距多少千米？
【考点】简单的行程问题．
【专题】运算能力．
【答案】0.85千米。
【分析】用声音在空气中的传播速度乘乐乐听见了明明声音的时间，即可得明明和乐乐相距多少千米。
【解答】解：0.34×2.5＝0.85（千米）
答：明明和乐乐相距0.85千米。
【点评】本题主要考查了简单的行程问题，用到路程＝速度×时间。
考点卡片
1．亿以内的数位和组成
【知识点归纳】
1、亿以内数的认识：
10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。
2、一（个）、十、百、千、万亿都是计数单位。
3、在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
4、位数：一个数含有几个数位，就是几位数，如652100是个六位数。
5、按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一级。
【常考题型】
1、392008009是一个（ ）位数，其中“3”在（ ）位上，表示（ ），“2”在（ ）位上，表示（ ），“8”在（ ）位上，表示（ ）。
答案：九；亿；3个亿；百万；2个百万；千，8个一千。
2、在数位顺序表中，从右边起第六位是（ ）位，百万位在第（ ）位，相邻的两个计数单位的进率是（ ）。
答案：十万；七；10
2．亿以上数的读写
【知识点归纳】
1、亿以上数的读法：
①先分级，从高位开始读起。先读亿级，再读万级，最后读个级。
②亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字。万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
③每级末尾不管有几个0，都不读。其他数位有一个“0”或连续几个“0”，都只读一个“0”。
2、亿以上数的写法：
①从最高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级。
②哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
【常考题型】
1、填空题。
亿以上数的读法，先从（ ）级读起，再读（ ）级，最后读（ ）级上的数。每级末尾的0都（ ），其它数位有一个或连续几个0都只读（ ）个0。
答案：亿 万 个 不读 一
2、读出下列各数。
2375550000000 12005000050
50600000000 3020056000
答案：二万三千七百五十五亿五千万；一百二十亿零五百万零五十；五百零六亿；三十亿二千零五万六千
3、从个位起，第八位是什么位？第几位是亿位？
答案：千万；九
3．亿以上数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以上数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、改写。（4个0换一个“万”字，将整万的数改写成以“万”作单位的数；8个0换一个“亿”字，将整亿的数改写成以“亿”作单位的数。）
3000000＝（ ）万
8230000＝（ ）万
1200000000＝（ ）亿
50700000000＝（ ）亿
答案：300；823；12；507
4．古代表示数的方法
【知识点归纳】
1、结绳记事
原始社会创始的以绳结形式反映客观经济活动及其数量关系的记录方式。结绳记事是被原始先民广泛使用的记录方式之一。
《易•系辞下》文献记载：“上古结绳而治，后世圣人易以书契，百官以治，万民以察”。意思是上古时期，人们使用绳结来记数，后来圣人们则以书契记数。百官利用此来治理政务，百姓通过此来知晓世情。
结绳计数直到20世纪中期一直在云南的少数民族地区延续着。而且不止是中国，世界各地的不同民族都有类似的计数方法。据说，古秘鲁印加族人（印第安人的一支）用来打结的绳子名为“魁普”（quipus），表示的数目清楚、完备，用来登录账目、人口数及税收数。
2、书契记数
古代记数结绳方法之后出现的记数方法。当时主要用于剩余粮食数量的记数。“书契”指的就是文字。
因为这些刻有文字的竹木简经常被用作订立契约关系的凭证，因此“契”和“书契”也有“契约”的意思，我们今天常用的“地契”“房契”等词的意思正源于此。至于“契”字在“默契”等词语中表示情义相投的意义，则是后来发展出来的。
《管子•揆度篇》记述：“上古结绳，后易之以书契。”即是用刻刀将数刻在兽骨、竹木、龟甲、土石崖上，以便长久保存，不易损坏。
3、算筹计数
根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是用竹子、木头、兽骨等材料制成一些长短、粗细差不多的小棍子用来计算数目，不用时则把它们放在小袋子里面保存或携带。
算筹是我国古代广泛应用的一种计算工具，它的出现年代现在难以考证，但据史料推测，至迟在春秋晚期战国初年时已经出现。算筹制作规范、体积小、便于携带，更利于精确计算，作为一种计数方式，显然要比结绳计数和刻痕计数成熟得多。
事实也的确如此，一直到算盘发明推广之前，算筹都是我国古代最重要的计算工具。算筹计数法遵循十进位制，在世界数学史上是一个伟大的创造，跟世界上其他古老民族的计数法相比，具有显而易见的优越性。
4、罗马人计数
大约在两千五百年前，罗马人还处在文化发展的初期，当时他们用手指作为计算工具。为了表示一、二、三、四个物体，就分别伸出一、二、三、四个手指；表示五个物体就伸出一只手；表示十个物体就伸出两只手。
当时，罗马人为了记录这些数字，便在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的数；表示一只手时，就写成“Ⅴ”形，表示大指与食指张开的形状；表示两只手时，就画成“ⅤⅤ”形，后来又写成一只手向上，一只手向下的“Ⅹ”，这就是罗马数字的雏形。
之后为了表示较大的数，罗马人用符号C表示一百，用符号M表示一千，用符号L表示五十，用字母D表示五百。若在数的上面画一横线，这个数就扩大一千倍。
5．两位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘两位数的笔算方法：
（1）先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数个位对齐；
（2）再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；
（3）然后把两次乘得的积加起来。
【方法总结】
两位数乘两位数在笔算：
1、首先要相同数位对齐，
2、用下面因数的个位数和十位数依次去乘上面因数的个位数和十位数，将所得的积相加。
注意：
验算：交换两个因数的位置。
【常考题型】
1、笔算题。
32×13 27×56 43×58
答案：416；1512；2494
2、84×23的积是（ ）位数，最高位是（ ）位。
答案：四；千
3、32×30的积是32×（ ）的积的10倍。
答案：3
4、两位数乘两位数，积可能是（ ）位数，也可能是（ ）位数。
答案：三；四
6．两位数乘三位数
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的方法：先用一个因数的个位与另一个因数的每一位依次相乘，再用这个因数的十位与另一个因数的每一位依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，哪一位满十就向前一位进“1”，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。中间有0时，这个0要参加运算。
【方法总结】
因数是两、三位数的乘法的估算方法：先把两个因数的最高位后面的尾数省略，求出近似数，再把这两个近似数相乘。
2、三位数乘两位数的笔算
①先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐，最后把两次乘得的积相加。
②计算因数中间有0的三位数乘两位数，中间的0也要参与计算，计算方法同三位数乘两位数的笔算方法。
③末尾有0的两个因数相乘时，我们可以先把0前面的数相乘，然后再数两个因数的末尾一共有几个0就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
谷子每袋23元，要买114袋谷子，需要花多少钱？
答案：114×23＝2622（元）
从北京到济南每张火车票195元，一个旅游团有28人，准备6000元买火车票够吗？
答案：195×28＝5460（元）
5460元＜6000元
答：准备6000元买火车票够。
7．乘与除的互逆关系
【知识点归纳】
乘法中的积相当于除法中的被除数，乘法中的一个因数相当于除法中的除数（或商），另一个因数相当于除法中的商（或除数）．
乘与除的互逆运算：
被除数÷除数＝商；被除数÷除数＝商+余数
除数＝被除数÷商；除数＝（被除数﹣余数）÷商
被除数＝商×除数；被除数＝商×除数+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：被除数+除数×商＝258，则被除数是（ ）
A、129 B、200 C、250
分析：根据被除数+除数×商＝258，因除数×商＝被除数，可知：被除数＝258×12，计算出得数即可选择．
解：因为被除数+除数×商＝258，除数×商＝被除数，
所以被除数是：258×12=129；
故选：A．
点评：此题考查除法各部分之间的关系：除数×商＝被除数．
例2：如果△是〇的32倍，下面算式对的是（ ）
A、△+32＝〇； B、〇+32＝△； C、〇×32＝△
分析：依据题意△是〇的32倍，把△看作被除数，〇看作除数，32看作商，依据被除数、除数、商之间关系解答．
解：因为△是〇的32倍，
所以△÷〇＝32，
△＝32×〇，
〇＝△÷32，
故选：C．
点评：解决本题时只要把△看作被除数，〇看作除数，32看作商，依据被除数、除数、商之间关系解答即可．
8．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
9．路程、时间与速度（速度＝路程÷时间）
【知识点归纳】
1.、速度：指单位时间内所行的路程。
因为速度＝路程÷时间，所以速度的单位名称是路程单位/时间单位，即千米/时，米/分，米/秒，千米/分……
2、路程、时间与速度的关系：
（1）已知路程和时间，求速度：速度＝路程÷时间；
（2）已知路程和速度，求时间：时间＝路程÷速度；
（3）已知速度和时间，求路程：路程＝速度×时间。
在路程、时间和速度三个量中，知道其中的任何两个量，都能求出第三个量。
【方法总结】
1、路程、时间和速度之间的关系：
路程＝速度×时间
时间＝路程÷速度
速度＝路程÷时间
2、讲出意义并能比较速度的快慢：
如：4千米/时
12千米/分
340米/秒
30万千米/秒
【常考题型】
汽车3小时行驶270千米，照这样计算，行驶450千米，需要多少小时？
答案：450÷（270÷3）＝5（小时）
2、小红家距离车站800米，她10分钟走到车站，每分钟她走多少米？
答案：800÷10＝80（米/分）
10．有余数的除法
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：在除法算式m÷n＝a…b中，（n≠0），下面式子正确的是（ ）
A、a＞nB、n＞aC、n＞b
分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数；由此解答即可．
解：根据有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数，
所以：n＞b；
故选：C．
点评：解答此题的关键：应明确在有余数的除法中，余数总比除数小．
例2：31÷7＝4…3，如果被除数、除数都扩大10倍，那么它的结果是（ ）
A、商4余3 B、商40余3 C、商40余30 D、商4余30
分析：根据商不变的性质，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，但是在有余数的除数算式中，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，余数也会扩大或缩小相同的倍数．
解：31÷7＝4…3，
310÷70＝4…30，
所以当被除数、除数同时扩大10倍，商不变，余数也会扩大10倍．
故选：D．
点评：此题主要考查的是商不变的性质在有余数的除法算式中的应用．
11．数的估算
【知识点解释】
没有经过准确计算，是对计算结果的一种估计，叫做估算．
估算方法：
①四舍五入法：
例：π（保留两位小数）≈3.14
②进一法：
例：一支笔2.6元，四支需多少钱（保留到整数）
解：2.6×4＝10.4元≈11元
如果四舍五入的话是10元，是不够的，所以是要进上去的
③去尾法：
例：有20元，买3元一支的笔，可卖多少支？
解：20÷3＝6.6666…支≈6支
如果四舍五入是7支，买不到，所以是要去掉的．
【命题方向】
常考题型：
例：估计与288.9×1.756的积最接近的数是（ ）
A、400 B、500 C、600 D、1000
分析：根据小数乘法的估算方法：把相乘的因数看成最接近它的整数来算；288.9≈290，1.756≈1.8，所以与288.9×1.756的积最接近的数是290×1.8≈500，据此选择即可．
解：因为288.9×1.756≈290×1.8≈500，
所以与288.9×1.756的积最接近的数是500．
故选：B．
点评：此题考查了小数乘法的估算方法，注意把相乘的数看成最接近它的整数．
12．“式”的规律
【知识点归纳】
把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索．
【命题方向】
常考题型：
例：观察1+3＝44+5＝99+7＝1616+9＝2525+11＝36这五道算式，找出规律，则下一道算式是 36+13＝49 ．
分析：观察所给出的式子，知道从第二个算式起，第一个加数分别是前一算式的和；从第二个式子起，第二个加数分别是前一算式中的第二个加数加2所得；由此得出要求的算式．
解：因为，要求的算式的前一个算式是：25+11＝36，
所以，要求的算式的第一个加数是：36，
第二个加数是：11+2＝13，
所以要求的算式是：36+13＝49，
故答案为：36+13＝49．
点评：解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．
13．简单的归一应用题
【知识点归纳】
已知相互关联的两个量，其中一个量在改变，另一个量也随之改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题．
归一问题可以分为一次归一问题、两次归一问题．
一次归一问题：用一步运算就能求出单一量的归一问题，又称单归一
两次归一问题：用两步运算才能求出单一量的归一问题，又称双归一
归一问题还可以分为正归一问题、反归一问题．
正归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用乘法计算结果的归一问题
反归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用除法计算结果的归一问题
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后，以它为标准，根据题目的要求算出结果．
数量关系式：单一量×份数＝总数量（正归一）
总数量÷单一量＝分数（反归一）
【命题方向】
常考题型：
例1：计划5小时做40个零件，3小时做这批零件的（ ）
A、35 B、45 C、34
分析：先算出平均每小时做多少个零件，再算出3小时做多少个零件，把40件零件看做单位“1”，进一步求出3小时做的占40件得几分之几．
解：平均每小时做的零件数：40÷5＝8（个），
3小时做的零件数：8×3＝24（个），
3小时做的占40件的：24÷40=35．
答：3小时做这批零件的35．
故选：A．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量，进一步得出答案．
例2：3台织布机4小时织布336米，照这样计算，1台织布机8小时织布多少米？
分析：照这样计算，说明每台织布机，每小时织布量不变，先用336除以3台，求出每台4小时的织布量，再除以4小时，求出每台每小时的织布量，然后乘上8小时即可求解．
解：336÷3÷4×8，
＝112÷4×8，
＝28×8，
＝224（米）；
答：1台织布机8小时织布224米．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．
14．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
15．重叠问题
【知识点归纳】
【命题方向】
常考题型：
例1：甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人，问甲班和丁班共多少人？
分析：根据题干分析可得，甲班+乙班+丙班+丁班＝83+88＝171人，即甲班+丁班+（乙班+丙班）＝171人，所以从171人里面减去乙班与丙班的人数，即可得出甲班与丁班的人数之和，据此即可解答．
解：83+88﹣86
＝171﹣86
＝85（人）
答：甲班与丁班共有85人．
点评：解答此题的关键是明确83+88＝171人是甲班、乙班、丙班、丁班的人数之和，据此再减去乙班与丙班的人数之和，即可得出答案．
例2：如图所示，阴影部分的面积是甲圆面积的19，是乙圆面积的14，乙圆的面积是甲圆的 49 ．
分析：此题把阴影部分的面积看作单位“1”，由“阴影部分面积是甲圆面积的19”，可知甲圆面积是阴影面积的1÷19=9（倍），由“阴影部分面积是乙圆面积的14”，可知乙圆面积是阴影面积的1÷14=4（倍）；因此乙圆的面积是甲圆的4÷9=49．
16．有余数的除法应用题
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：一根绳子长17米，剪8米做一根长跳绳，剩下的每2米做一根短跳绳，最多做几条短跳绳？
分析：先用17﹣8求出还剩下多少米，然后根据除法的意义，即可求出结果．
解：（17﹣8）÷2，
＝9÷2，
＝4（条）…1米；
答：最多做4条短跳绳．
点评：解答此题要认真分析题意，联系生活实际，剩了1米，不能再做1条绳．
例2：3位老师带着62位学生去郊游．每顶帐篷最多只能住6人．至少要搭多少顶帐篷？
分析：先用“62+3”求出总人数，求至少要搭多少顶帐篷，即求65里面含有几个6，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
解：（62+3）÷6＝10（顶）…5（人），
至少需：10+1＝11（顶）；
答：至少要搭11顶帐篷．
点评：解答此题用的知识点：根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
17．角的分类（锐角直角钝角）
【知识点归纳】
根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180°
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360°
（3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。
【命题方向】
常考题型：
1.钟面上9时整，时针和分针成______角；钟面上6时整，时针和分针成_______角．
解：由分析可知，钟面上9时整时针和分针所成的角是：3×30°＝90°，是一个直角；
6时整，时针指着6，分针指着12，两针成一直线，时针和分针成平角；
故答案为：直，平。
2.2022年北京冬奥会将于2022年2月4日晚上8时开幕，此时时针和分针所形成的角是______角。
答案：钝
3、1平角＝______直角 1周角＝______直角．
答案：2；4
18．垂直与平行的特征及性质
【知识点归纳】
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（ ）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线． × ．（）
分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
19．平行四边形的特征及性质
【知识点归纳】
平行四边形的概念：
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形用符号“▱ABCD”，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．
（1）平行四边形属于平面图形．
（2）平行四边形属于四边形．
（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等．
（4）平行四边形属于中心对称图形．
2．平行四边形的性质：
主要性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．
（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）
（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．
（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：两组对边分别平行没有直角的图形是（ ）
A、长方形 B、平行四边形 C、梯形
分析：平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
如果两组对边分别平行、有4个直角的四边形是长方形或正方形；
据此判断即可．
解：两组对边分别平行没有直角的图形是平行四边形．
故选：B．
点评：此题应根据平行四边形的含义进行分析、解答．
例2：一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（ ）
A、周长不变，面积变大 B、周长不变，面积也不变
C、周长变小，面积变小 D、周长不变，面积变小
分析：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
解：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；
长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
故选：D．
点评：此题主要考查周长的定义及平行四边形和长方形的面积之间的变化关系．
20．作平行四边形的高
【知识点归纳】
在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高．
垂线段分别是垂足所在边上的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线．作图时平行四边形的高指的是垂线段本身，而计算时用的是垂线段的长度．
【命题方向】
常考题型：
例：作平行四边形底边上的高．
分析：根据平行四边形的高的意义，从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，据此画出即可．
解：根据分析，作图如下：
点评：此题主要根据平行四边形的高的意义和画垂线的方法解决问题，注意作高必须在底边上画出垂直的标志．
21．平行四边形的不稳定性
【知识点归纳】
当平行四边形变长固定时，却可以改变其夹角形成无数个边长相同而夹角不同的平行四边形，而平行四边形的不稳定性就是指行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。
【命题方向】
常考题型：
1.伸缩门利用了平行四边形不稳定的特性．_______．（）
答案：√
2.下面说法不正确的是（ ）
A．伸缩门是根据平行四边形的不稳定性制作的
B．三角形具有稳定性
C．好多桌子椅子都方的，所以正方形也具有稳定性
答案：C
3.圆柱体、三角形、正方体、平行四边形中，_____、_______是立体图形，平面图形里_______具有不稳定性。
解：圆柱体、三角形、正方体、平行四边形中，圆柱体、正方体是立体图形，平面图形里平行四边形具有不稳定性。
故答案为：圆柱体、正方体；平行四边形。
22．作梯形的高
【知识点归纳】
高是指梯形上下底的距离，在梯形的上底的任取一个端点作垂直于下底的线段，称为作高．
【命题方向】
常考题型：
例：给下面的梯形作高，并量出有关线段的长度，再求出面积．
分析：先作出高，再分别量出上底、下底和高的具体数值，代入梯形面积公式即可求解．
解：如图所示，
，
梯形面积：（1.8+5）×1.6÷2＝5.44（平方厘米）．
答：梯形的面积是5.44平方厘米．
点评：此题主要考查梯形高的画法及面积公式．
23．图形的拼组
【知识点归纳】
1．平面镶嵌的概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起，这就是平面镶嵌．
2．规律：
用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形．
用不同的正多边形镶嵌：
（1）用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；
（2）用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌．
【命题方向】
常考题型：
例：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形的周长是（ ）
A、24厘米 B、36厘米 C、38厘米
分析：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形有边长就是（3×2）厘米，根据正方形有周长公式可列式解答．
解：根据题意画图如下，
正方形的周长：
（3×2）×4，
＝6×4，
＝24（厘米）．
答：周长是24厘米．
故选：A．
点评：本题考查了学生对拼组图形周长的计算能力．画图可更好的帮助学生理解．
24．大面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方千米＝100公顷＝1000000平方米
1公顷＝10000平方米
【命题方向】
常考题型：
边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
25．画指定度数的角
【知识点归纳】
三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．
【命题方向】
常考题型：
例1：画一个120°的角．
分析：画一个120°的角可据以下步骤进行：
（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；
（2）在量角器120°角刻度线的地方点一个点；
（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个120°的角．
解：根据角的画法，作图如下：
点评：本题考查了学生根据所给度数利用作图工具画角的动手能力．
例2：用一副三角板画一个105°的角．
分析：显然从两个三角板中，将一个等于45°的角，再加上另一个三角板中等于60°的角，即可得到105°的角．
解：让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如下图所示，
45°+60°＝105°；
．
点评：本题考查了三角板的角的度数、角的计算、角的拼图、画角的方法，较为简单，熟练掌握三角板各角的度数是解答本题的关键．
26．线段与角的综合
【知识点归纳】
1、直线、线段、射线的概念，线段中点的概念及应用
2、角平分线、线段的垂直平分线、平行线的性质
3、余角、补角、邻补角的概念，进行角度换算
4、平行线的概念、性质及判定，两点之间的距离，点到直线的距离．
【命题方向】
常考题型：
例：图中，已知∠1＝30°，那么∠2＝ 150° ，∠3＝ 30° ，∠4＝ 60° ．
分析：从图上看：
①∠1和∠2合起来是平角，即为180°，即可求得∠2的度数；
②∠3和∠2合起来是平角，即为180°，即可求得∠3的度数．
③∠1和∠4合起来是个直角，即为：∠1+∠4＝90°，根据∠1＝30°即可求得∠4；
解：
①∠1+∠2＝180°
∠1＝30°
∠2＝180°﹣30°
∠2＝150°
②∠3+∠2＝180°
∠2＝150°
∠3＝180°﹣150°
∠3＝30°
③∠1+∠4＝90°
∠1＝30°
∠4＝90°﹣30°
∠4＝60°
故答案为：150°，30°，60°．
点评：本题考查平角和直角的概念，关键是从图中看到哪些角的和是90度，哪些角的和是180度．
27．正方形的周长
【知识点归纳】
正方形周长是围成正方形的边长总和，由于正方形的特征是4条边都相等，所以正方形周长＝边长×4．
用字母表示为c＝4a．
【命题方向】
常考题型：周长与边长的关系
例1：正方形的边长是周长的（ ）
A、14 B、12 C、18 D、13
分析：因为正方形的周长是四条边的和，并且正方形的4条边都相等，所以正方形的边长是周长的14．
解：正方形的周长＝边长×4，所以正方形的边长是周长的14．
故选：A．
点评：此题主要考查正方形的边长和周长的关系，根据正方形周长是边长的4倍即可得出二者的关系．
例2：一个边长2分米的正方形，如果在四个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形，那么它周长与原来比，结果是（ ）
A、减小 B、不变 C、增加
分析：正方形对边相等，所以减去后周长不变．
解：因为正方形对边相等，所以减去后周长不变．
故选：B．
点评：此题考查学生对空间的想象力．
【解题思路点拔】
（1）常规题求正方形周长，先求出边长，代入公式即可得．
28．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
29．统计图表的填补
【知识点归纳】
1．读懂统计图或者表．
2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：乐乐记录了爸爸妈妈两个月的电话费支出情况．
【分析】（1）运用爸爸1、2月份的总钱数减去1月份的话费即可得到2月份的话费．把妈妈1、2月份的钱数相加即可得到总钱数．
（2）把爸爸、妈妈1月份的话费相加即可得到合计，把爸爸、妈妈2月份的话费相加即可得到合计，然后再把两次的合计加在一起即可得到总合计．
解：（1）61.0﹣30.2＝30.8（元）
26.7+20.4＝47.1（元）
（2）30.2+26.7＝56.9（元）
30.8+20.4＝51.2（元）
56.9+51.2＝108.1（元）
【点评】此题主要依据加法及减法的意义解决实际问题．
30．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
31．积的变化规律
【知识点归纳】
积的变化规律：
（1）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个数．
（2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变．
【命题方向】
常考题型：
例：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于（ ）
A、原来的积乘10 B、原来的积乘20 C、原来的积乘100
分析：根据积的变比规律：一个因数乘10，另一个因数也乘10，原来的积就乘10×10．据此进行选择即可．
解：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于原来的积乘100．
故选：C．
点评：此题考查积的变化规律的运用：一个因数乘（或除以）10，另一个因数也乘（或除以）10，原来的积就乘（或除以）100．

420÷60＝
25×20＝
303×20＝
300÷50＝
56×102≈
401÷40≈
805×98≈
999÷99≈
240×56＝
345×18＝
208×30＝
390÷51＝
365÷19＝
500÷43＝
球类项目
乒乓球
篮球
棒球
足球
男生（人）
15
30
20
25
女生（人）
15
10
10
5
题号
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
答案
C
C
B
A
B
C
B
B
A
B
420÷60＝
25×20＝
303×20＝
300÷50＝
56×102≈
401÷40≈
805×98≈
999÷99≈
420÷60＝7
25×20＝500
303×20＝6060
300÷50＝6
56×102≈5600
401÷40≈10
805×98≈80500
999÷99≈10
240×56＝
345×18＝
208×30＝
390÷51＝
365÷19＝
500÷43＝
球类项目
乒乓球
篮球
棒球
足球
男生（人）
15
30
20
25
女生（人）
15
10
10
5
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
合计
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
30.8
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
47.1
合计
56.9元
51.2元
108.1元