2025-2026学年上学期南京小学数学四年级期末典型卷1

这是一份2025-2026学年上学期南京小学数学四年级期末典型卷1，共54页。试卷主要包含了直接写得数，脱式计算，操场上要插24面彩旗，在横线里填“＞”“＜”或“＝”，　 　 元等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直接写得数。
2．（13分）用竖式计算（带*的要验算）。
699÷58＝
900÷40＝
*728÷26＝
3．（12分）脱式计算。
552﹣72÷24×5
16×[592÷（71﹣34）]
二．填空题（共11小题，满分26分）
4．（2分）算式“□04÷32”中，如果商是一位数，那么“□”中最大填 ；如果商是两位数，那么“□”中最小填 。
5．（4分）小明今年上六年级，他的体重是35 ，身高是145 。他每天早晨喝一杯牛奶，大约0.25 。他家离学校1km，步行大约需要 分。
6．（2分）钟面上，从2时到2时15分，分针转动的角度是 °；从5时到6时，时针转动的角度是 °。
7．（2分）操场上要插24面彩旗。如果按照2面黄旗、3面红旗的顺序来插，最后一面是 色的小旗。在这24面彩旗中，红色的有 面。
8．（6分）在横线里填“＞”“＜”或“＝”。
9．（2分）1盒饼干比1盒巧克力便宜8元，如果将4盒饼干和7盒巧克力替换成11盒巧克力，总价会 （填“便宜”或“贵”） 元。
10．（2分）学完“升和毫升”后，阳阳想自己制作一个1升的量器。他在家里找到了两个容器，分别往里面注入1升水，并在1升处做上了记号。
（1）制作量器，还需要标出14升、24升和34升的刻度线。图中哪个容器更容易找到这些刻度线？请在对应的容器后面画“√”，并在你选择的容器上标出这三个刻度线及相应数据。
（2）如果倒入600毫升的水，水面高度大约在哪里？在你选择的容器上标出水面的位置及相应数据。
11．（2分）□÷7＝110……□，这个算式中，余数最大是 ，这时被除数是 。
12．（2分）量出下面各角的度数。
13．（1分）小东参加庆“六一”歌咏比赛，得分情况如下表，去掉一个最高分和一个最低分，平均分是 。
14．（1分）一块长方形草坪的面积是360平方米，将草坪的宽扩大到原来的2倍，长不变，扩建后的面积是 平方米。
三．选择题（共7小题，满分7分，每小题1分）
15．（1分）小方看一本古典名著，一个星期看105页，看了12个星期刚好看完。竖式中箭头所指的表示（ ）
A．1个星期看105页B．10个星期看105页
C．10个星期看1050页D．1个星期看1050页
16．（1分）从三张数字卡片中任意抽出两张，组成一个两位数，这个两位数中是单数的可能性（ ）
A．小B．大C．相同
17．（1分）我们每天佩戴的红领巾有3个角，其中最大的一个角是（ ）角。
A．锐B．直C．钝
18．（1分）四位同学在练习立定跳远，每人跳3次。芳芳把每人3次跳远的情况都用小竖线标记在地上。其中，张伟3次跳远的平均成绩是2.02米。如图中，图（ ）是张伟跳远的情况。
A．
B．
C．
D．
19．（1分）体育课上王老师正在给同学们示范引体向上的动作，已知单杠的两条立柱和横梁垂直，那么这两条立柱（ ）
A．互相垂直B．互相平行
C．相交成直角
20．（1分）盒子里有5个红球和3个黄球，任意从中摸出1个球（ ）是绿色的。
A．一定B．不可能C．可能
21．（1分）在336÷42中，如果除数减少28，要使商不变，那么被除数应（ ）
A．减少28B．增加28C．减少224D．增加224
四．解答题（共2小题，满分7分）
22．（3分）用棱长为2cm的小正方体按如图拼成一个立体图形。
（1）这个立体图形的体积是多少？
（2）如果从上面观察，要使看到的图形不变，最多可以拿走 个小正方体。
23．（4分）（1）画一个75°的角。
（2）分别画出已知直线的垂线和平行线。画出的两条直线有什么关系？
五．应用题（共5小题，满分30分）
24．（4分）沿100米长的跑道走一走，数数走了多少步，看看大约用了多长时间。照这样计算，走1千米大约有多少步？要用多长时间？
25．（5分）小明原来有一些邮票，送给小红15张，他又收集了28张，现在把这些邮票插入每页12张的集邮册，插了5页还缺2张。小明原来有多少张邮票？
26．（6分）爸爸分期付款购买了一台投影仪。首付3600元，以后每月付168元，共付9个月。如果一次性付款，那么只需付4800元。分期付款比一次性付款多花多少元？
27．（6分）二年级的乐乐参加了学校组织的“游历古城”远足活动。
（1）乐乐每分走73米，从学校出发5分后大约走到什么位置？请用“▲”在图中标出。
（2）算一算：钟楼到府文庙一共多少米？
28．（9分）下面是中心小学四年级两个班的学生参加课外兴趣小组情况统计表。（每人只限参加一种）
（1）根据上表数据完成下面统计图。
（2）参加 组的人数最多，参加 组的人数最少。
（3）四（1）班平均每个课外兴趣小组有 人参加，四（2）班参加课外兴趣小组的学生一共有 人。
2025-2026学年上学期南京小学数学四年级期末典型卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
一．计算题（共3小题，满分30分）
1．（5分）直接写得数。
【考点】表外乘除混合；有理数的乘方；千以内加减混合运算；千以内加减法；两位数乘两位数；两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】100；5；400；125；68；200；49；7b；28；64。
【分析】根据整数加减乘除法的计算方法以及四则混合运算的顺序，直接进行口算即可。
【解答】解：
【点评】本题考查了简单的计算，计算时要细心，注意平时积累经验，提高计算的水平。
2．（13分）用竖式计算（带*的要验算）。
699÷58＝
900÷40＝
*728÷26＝
【考点】两位数除两、三位数；列竖式计算除法．
【专题】运算能力．
【答案】12……3；22……20；28。
【分析】根据两位数除三位数的计算法则进行计算即可。
【解答】解：699÷58＝12……3
900÷40＝22……20
*728÷26＝28
【点评】本题考查两位数除三位数的计算。注意计算的准确性。
3．（12分）脱式计算。
552﹣72÷24×5
16×[592÷（71﹣34）]
【考点】带括号的四则混合运算；带嵌套括号的混合运算；无括号四则混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】537；256。
【分析】先算除法，再算乘法，最后算减法；
先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算乘法。
【解答】解：552﹣72÷24×5
＝552﹣3×5
＝552﹣15
＝537
16×[592÷（71﹣34）]
＝16×[592÷37]
＝16×16
＝256
【点评】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可。
二．填空题（共11小题，满分26分）
4．（2分）算式“□04÷32”中，如果商是一位数，那么“□”中最大填 3 ；如果商是两位数，那么“□”中最小填 4 。
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】3；4。
【分析】三位数除以两位数，要使商是一位数，那么被除数的前两位要小于除数；要使商是两位数，那么被除数的前两位要等于或大于除数；依此填空。
【解答】解：算式“□04÷32”中，如果商是一位数，则□0＜32，因此“□”中最大填3；如果商是两位数，则□0≥32，因此“□”中最小填4。
故答案为：3；4。
【点评】掌握三位数除以两位数的计算方法是解答本题的关键。
5．（4分）小明今年上六年级，他的体重是35 kg ，身高是145 cm 。他每天早晨喝一杯牛奶，大约0.25 L 。他家离学校1km，步行大约需要 15 分。
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【专题】应用意识．
【答案】kg；cm；L；15。
【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。
【解答】解：小明今年上六年级，他的体重是35kg，身高是145cm。他每天早晨喝一杯牛奶，大约0.25L。他家离学校1km，步行大约需要15分。
故答案为：kg；cm；L；15。
【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。
6．（2分）钟面上，从2时到2时15分，分针转动的角度是 90 °；从5时到6时，时针转动的角度是 30 °。
【考点】角的度量；角的概念和表示．
【专题】平面图形的认识与计算；模型思想．
【答案】90，30。
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，也就是1个大格是30°，从2时到2时15分，分针转动了3个大格，利用3×30°即可；从5时到6时，时针转动了1个大格，是30°，据此解答。
【解答】解：3×30°＝90°
钟面上，从2时到2时15分，分针转动的角度是90°；从5时到6时，时针转动的角度是30°。
故答案为：90，30。
【点评】本题考查了钟面角的认识，解题的关键是明白两个大格之间的夹角是30°。
7．（2分）操场上要插24面彩旗。如果按照2面黄旗、3面红旗的顺序来插，最后一面是 红 色的小旗。在这24面彩旗中，红色的有 14 面。
【考点】简单周期现象中的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】红，14。
【分析】每（2+3）面彩旗一循环，计算第24面是第几组循环零几面，即可判断其颜色；再根据每组中红色旗子的面数和余数中红色旗子的面积求和即可完成填空。
【解答】解：24÷（2+3）
＝24÷5
＝4（组）……4（面）
3×4+2
＝12+2
＝14（面）
答：最后一面是红色的小旗。在这24面彩旗中，红色的有14面。
故答案为：红，14。
【点评】先找到规律，再根据规律求解。
8．（6分）在横线里填“＞”“＜”或“＝”。
【考点】带括号的四则混合运算；体积、容积进率及单位换算；两位数除两、三位数；无括号四则混合运算．
【专题】推理能力．
【答案】＞，＞，＝，＞，＜，＜。
【分析】（1）在除法算式中，被除数相同，除数较大，则商较小；
（2）240÷（6×3）＝240÷6÷3，一个数乘3的积一定大于这个数除以3的商（0除外），据此解答；
（3）一个数连续除以两个数，等于这个数除以后两个数的积；
（4）1升＝1000毫升，据此把7升80毫升换算成毫升作单位，再与7800毫升比较大小；
（5）1分＝60秒，据此把6分换算成秒作单位，再与600秒比较大小；
（6）1个平角＝180°，大于90°而小于180°的角是钝角，据此解答。
【解答】解：（1）576÷29＞576÷34；
（2）240÷（6×3）＝240÷6÷3，240÷6×3＞240÷6÷3，则240÷6×3＞240÷（6×3）；
（3）726÷36＝726÷4÷9；
（4）7升80毫升＝7080毫升，7800毫升＞7080毫升，则7800毫升＞7升80毫升；
（5）6分＝360秒，360秒＜600秒，则6分＜600秒；
（6）1个平角＜2个钝角。
故答案为：＞，＞，＝，＞，＜，＜。
【点评】不同单位的名数的大小比较通常是先化成相同的单位名数，再根据数值的大小进行比较。算式的大小比较通常是口算或估算出结果再根据结果进行比较，或先找规律或性质，然后再根据规律或性质进行比较。
9．（2分）1盒饼干比1盒巧克力便宜8元，如果将4盒饼干和7盒巧克力替换成11盒巧克力，总价会 贵 （填“便宜”或“贵”） 32 元。
【考点】简单的等量代换问题．
【专题】代换法；应用意识．
【答案】贵，32。
【分析】将4盒饼干与7盒巧克力换成11盒巧克力，原来的7盒巧克力价格不变，4盒饼干换成4盒巧克力，每盒多花8元，每盒多花的钱数×饼干盒数＝增加的钱数，据此分析。
【解答】解：1盒饼干＝1盒巧克力﹣8元
需要将饼干换成巧克力的盒数：
11﹣7＝4（盒）
多花的钱数：
4×8＝32（元）
答：总价会贵32元。
故答案为：贵，32。
【点评】本题考查的是等量代换问题，应用代换法是解答关键。
10．（2分）学完“升和毫升”后，阳阳想自己制作一个1升的量器。他在家里找到了两个容器，分别往里面注入1升水，并在1升处做上了记号。
（1）制作量器，还需要标出14升、24升和34升的刻度线。图中哪个容器更容易找到这些刻度线？请在对应的容器后面画“√”，并在你选择的容器上标出这三个刻度线及相应数据。
（2）如果倒入600毫升的水，水面高度大约在哪里？在你选择的容器上标出水面的位置及相应数据。
【考点】分数的意义和读写；体积、容积及其单位．
【专题】分数百分数应用题；应用意识．
【答案】（1）、（2）。
【分析】1升＝1000毫升，14升、24升和34升分别表示将量器平均分为4份，其中1份、2份和3份，每份是1000÷4＝250（毫升）。
（1）左边的容器的下方是长方体形状，其形状规则，可以平均分为4份，右边的容器是锥形瓶，形状不规则，难以准确划分出这些等分量的刻度线，所以在左边容器下面打“√”，将左边的容器的下方平均分为4份，从下向上依次为14升、24升和34升，据此标出这三个刻度线及相应数据即可。
（2）14升表示将量器平均分为4份其中的1份，即1000÷4＝250（毫升），24升表示将量器平均分为4份其中的2份，即250×2＝500（毫升），34升表示将量器平均分为4份其中的3份，即250×3＝750（毫升），分别与600毫升进行比较，再确定位置。
【解答】解：（1）（2）如图：
（2）
1000÷4＝250（毫升）
250×2＝500（毫升）
250×3＝750（毫升）
250＜500＜600＜750
所以倒入600毫升的水，水面高度大约在24升的刻度线和34升的刻度线之间。
【点评】此题考查了分数的意义，分数乘法的意义及计算。
11．（2分）□÷7＝110……□，这个算式中，余数最大是 6 ，这时被除数是 776 。
【考点】有余数的除法．
【专题】应用意识．
【答案】6，776。
【分析】根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即余数最大为：除数﹣1，当余数最大时，被除数最大，进而根据“被除数＝商×除数+余数”解答即可。
【解答】解：余数最大为：7﹣1＝6，
110×7+6
＝770+6
＝776
答：余数最大是6，这时被除数是776。
故答案为：6，776。
【点评】解答此题的关键：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，得出余数最大为：除数﹣1，然后根据被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进行解答即可。
12．（2分）量出下面各角的度数。
【考点】角的度量．
【专题】几何直观．
【答案】（测量可以有误差，合理即可）
【分析】根据角度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈，据此解答即可。
【解答】解：如图：
（测量可以有误差，合理即可）
【点评】本题考查了角的度量方法，结合题意分析解答即可。
13．（1分）小东参加庆“六一”歌咏比赛，得分情况如下表，去掉一个最高分和一个最低分，平均分是 91分 。
【考点】平均数的含义及求平均数的方法．
【专题】运算能力．
【答案】91分。
【分析】去掉一个最高分95和一个最低分80，再根据平均数＝总数÷个数，代入数据计算即可。
【解答】解：（91+92+91+91+90）÷5
＝455÷5
＝91（分）
答：平均分是91分。
故答案为：91分。
【点评】解答此题的关键是掌握平均数＝总数÷个数这个公式。
14．（1分）一块长方形草坪的面积是360平方米，将草坪的宽扩大到原来的2倍，长不变，扩建后的面积是 720 平方米。
【考点】长方形、正方形的面积．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】720。
【分析】长方形的面积＝长×宽，在乘法算式里，两个因数都不为0时，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的2倍，则积也扩大到原来的2倍，依此计算。
【解答】解：360×2＝720（平方米）
答：扩建后的面积是720平方米。
故答案为：720。
【点评】此题考查的是长方形面积计算方法的灵活运用。
三．选择题（共7小题，满分7分，每小题1分）
15．（1分）小方看一本古典名著，一个星期看105页，看了12个星期刚好看完。竖式中箭头所指的表示（ ）
A．1个星期看105页B．10个星期看105页
C．10个星期看1050页D．1个星期看1050页
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】C
【分析】三位数乘两位数，三位数中间有0：用两位数的个位和十位上的数依次去乘三位数的每一位数，包括中间的0，和0相乘后得0，再加上进上来的数，写在相应的数位上，如果没有进位，则直接写0，最后将所有乘积相加得到最终结果。
【解答】解：根据分析可得：
先用105乘12的个位，即105×2＝210，然后用105乘12的十位，即105×10＝1050，一个星期看105页，12个星期刚好看完，所以105×10＝1050计算的是10个星期看的页数，因此，竖式中箭头所指的表示10个星期看1050页。
故选：C。
【点评】本题主要考查了整数除法的意义和实际应用，理解每个数字代表的含义是关键。
16．（1分）从三张数字卡片中任意抽出两张，组成一个两位数，这个两位数中是单数的可能性（ ）
A．小B．大C．相同
【考点】可能性的大小．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】A
【分析】先利用简单排列组合知识，找出所有的两位数，再判断单数和双数的个数，出现的次数越少，则出现的可能性就越小。
【解答】解：根据题意可知：
排列出所有的两位数：25，28，52，58，82，85，单数有2个，双数有4个，所以是单数的可能性小。
故选：A。
【点评】本题考查的是可能性知识的运用。
17．（1分）我们每天佩戴的红领巾有3个角，其中最大的一个角是（ ）角。
A．锐B．直C．钝
【考点】角的概念和表示．
【专题】综合判断题；应用意识．
【答案】C
【分析】红领巾形状是一个钝角三角形，最大的角是钝角。
【解答】解：我们每天佩戴的红领巾有3个角，其中最大的一个角是钝角。
故选：C。
【点评】本题考查了三角形的认识。
18．（1分）四位同学在练习立定跳远，每人跳3次。芳芳把每人3次跳远的情况都用小竖线标记在地上。其中，张伟3次跳远的平均成绩是2.02米。如图中，图（ ）是张伟跳远的情况。
A．
B．
C．
D．
【考点】平均数的含义及求平均数的方法．
【专题】平均数问题；应用意识．
【答案】C
【分析】因为平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征，它比最小的数大一些，比最大的数小一些，在它们之间，据此解答即可。
【解答】解：选项A，三次成绩都小于2米，平均成绩不可能大于2米，不符合题意；
选项B，有2次成绩比2米少很多，一次比2米多一点，平均成绩不可能是2.02米，不符合题意；
选项C，有2次成绩接近于2米，一次比2米多一些，平均成绩可能是2.02米，符合题意；
选项D，选项A，三次成绩都大于2米，有2次成绩比2米远很多，平均成绩不可能是2.02米，不符合题意。
答：如图中，图C是张伟跳远的情况。
故选：C。
【点评】掌握平均数的含义和求平均数的方法是解题的关键。
19．（1分）体育课上王老师正在给同学们示范引体向上的动作，已知单杠的两条立柱和横梁垂直，那么这两条立柱（ ）
A．互相垂直B．互相平行
C．相交成直角
【考点】垂直与平行的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】B
【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线 互相平行；由此解答即可。
【解答】解：体育课上王老师正在给同学们示范引体向上的动作，已知单杠的两条立柱和横梁垂直，那么这两条立柱互相平行。
故选：B。
【点评】本题主要考查了平行线和垂直的定义；注意：在同一平面内，和一条已知直线平行的直线有无数条。
20．（1分）盒子里有5个红球和3个黄球，任意从中摸出1个球（ ）是绿色的。
A．一定B．不可能C．可能
【考点】事件的确定性与不确定性．
【专题】推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】因为盒子里没有绿色的球，所以任意从中摸出1个球不可能是绿色的。
【解答】解：盒子里有5个红球和3个黄球，任意从中摸出1个球不可能是绿色的。
故选：B。
【点评】本题主要考查了事件的确定性与不确定性，要熟练掌握。
21．（1分）在336÷42中，如果除数减少28，要使商不变，那么被除数应（ ）
A．减少28B．增加28C．减少224D．增加224
【考点】商的变化规律；两位数除两、三位数．
【专题】数据分析观念；运算能力．
【答案】C
【分析】分析题目，首先利用减法求出此时的除数，接下来利用除法可求出原来的除数是现在除数的多少倍；然后根据商不变的规律，自己试着分析被除数的变化情况，即可解答。
【解答】解：42÷（42﹣28）
＝42÷14
＝3
336÷3＝112
336﹣112＝224
答：被除数应减少224。
故选：C。
【点评】本题是一道关于整数除法的题目，解答本题的关键是掌握商不变的规律。
四．解答题（共2小题，满分7分）
22．（3分）用棱长为2cm的小正方体按如图拼成一个立体图形。
（1）这个立体图形的体积是多少？
（2）如果从上面观察，要使看到的图形不变，最多可以拿走 11 个小正方体。
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】空间观念；几何直观．
【答案】（1）160立方厘米；（2）11。
【分析】（1）通过观察可知，从上到下，第一层有1个小正方体，第二层有4个小正方体，第三层有6个小正方体，第四层有9个小正方体，则这个立体图形一共有小正方体：1+4+6+9＝20（个），根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，即可求出这个立体图形的体积。
（2）从上面观察，要使看到的图形不变，只需要保留最下层的小正方体，把上面三层的小正方体都拿走，据此解答。
【解答】解：（1）1+4+6+9＝20（个）
2×2×2×20
＝8×20
＝160（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是160立方厘米。
（2）分析可知，如果从上面观察，要使看到的图形不变，最多可以拿走11个小正方体。
故答案为：11。
【点评】本题考查了观察物体的方法，结合题意分析解答即可。
23．（4分）（1）画一个75°的角。
（2）分别画出已知直线的垂线和平行线。画出的两条直线有什么关系？
【考点】画指定度数的角；过直线外一点作已知直线的平行线；过直线上或直线外一点作直线的垂线．
【专题】几何直观．
【答案】（1）（画法不唯一，也可以用一副三角尺拼组作图。）
（2）（画法不唯一）
画出的两条直线是相互垂直。
【分析】（1）画一条射线，用量角器的圆点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器75°的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可。
（2）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可；把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可，画出的两条直线是垂直关系，据此解答即可。
【解答】解：（1）画图如下：
（画法不唯一，也可以用一副三角尺拼组作图。）
（2）画图如下：
（画法不唯一）
画出的两条直线是相互垂直。
【点评】本题考查了角的画法以及过直线外一点作已知直线的平行线和垂线的画图能力，结合题意分析解答即可。
五．应用题（共5小题，满分30分）
24．（4分）沿100米长的跑道走一走，数数走了多少步，看看大约用了多长时间。照这样计算，走1千米大约有多少步？要用多长时间？
【考点】简单的归一应用题．
【专题】归一、归总应用题；应用意识．
【答案】200步，50分钟。（答案不唯一）
【分析】沿100米长的跑道走一走，数数走了20步，大约用了5分钟，再根据“数量＝总量÷单一量”，求出1千米里面有几个100米，再乘5，即可解答。
【解答】解：1千米＝1000米
1000÷100＝10（个）
20×10＝200（步）（答案不唯一）
5×10＝50（分钟）（答案不唯一）
答：走1千米大约有200步，要用50分钟。
【点评】本题考查的是归一应用题，求出单一量是解答关键。
25．（5分）小明原来有一些邮票，送给小红15张，他又收集了28张，现在把这些邮票插入每页12张的集邮册，插了5页还缺2张。小明原来有多少张邮票？
【考点】整数四则混合运算应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】45张。
【分析】根据题意，先用集邮册每页可以插的张数乘插的页数再减去2求出小明最后一共有多少张邮票，减去收集的28张再加上送出去的15张，即可求出小明原来有多少张邮票。
【解答】解：12×5﹣2﹣28+15
＝60﹣2﹣28+15
＝58﹣28+15
＝30+15
＝45（张）
答：小明原来有45张邮票。
【点评】此题考查的是整数四则混合运算的知识。
26．（6分）爸爸分期付款购买了一台投影仪。首付3600元，以后每月付168元，共付9个月。如果一次性付款，那么只需付4800元。分期付款比一次性付款多花多少元？
【考点】整数四则混合运算应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】312元。
【分析】先用168乘9求出9个月付款的钱数，再加上3600就是分期付款总钱数，减去4800就是分期付款比一次性付款多的钱数。
【解答】解：3600+168×9﹣4800
＝3600+1512﹣4800
＝5112﹣4800
＝312（元）
答：分期付款比一次性付款多花312元。
【点评】此题考查的是整数四则混合运算应用题的知识。
27．（6分）二年级的乐乐参加了学校组织的“游历古城”远足活动。
（1）乐乐每分走73米，从学校出发5分后大约走到什么位置？请用“▲”在图中标出。
（2）算一算：钟楼到府文庙一共多少米？
【考点】简单的行程问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）；（2）1299米。
【分析】（1）根据“路程＝时间×速度”即可求出5分钟行走的路程，再根据学校—钟楼的路程为334米，学校—花巷的路程为976米即可确定5分钟后大约行走的位置即可；
（2）根据学校—钟楼的路程为334米，学校—花巷的路程为976米，作差（大减小）即可计算出钟楼—花巷的路程，再根据花巷—府文庙的路程，相加求和即可求出钟楼到府文庙的路程。
【解答】解：（1）73×5＝365（米）
334＜365＜976
即乐乐出发5分后走在钟楼到花巷的路上，且刚经过钟楼，据此作图如下：
（2）976﹣334＝642（米）
642+657＝1299（米）
答：钟楼到府文庙一共1299米。
【点评】本题考查的是路程、速度和时间关系的运用。
28．（9分）下面是中心小学四年级两个班的学生参加课外兴趣小组情况统计表。（每人只限参加一种）
（1）根据上表数据完成下面统计图。
（2）参加 围棋 组的人数最多，参加 书法 组的人数最少。
（3）四（1）班平均每个课外兴趣小组有 9 人参加，四（2）班参加课外兴趣小组的学生一共有 38 人。
【考点】统计图表的填补；从统计图表中获取信息．
【专题】统计图表的制作与应用；应用意识．
【答案】（1）。
（2）围棋，书法。
（3）9，38。
【分析】（1）根据统计表中的数据完成统计图。
（2）把参加各个组的人合起来，再比较解答。
（3）把四（1）班参加各个组的人数合起来再除以4即可；把四（2）班参加各个组的人数合起来即可。
【解答】解：（1）统计图如下：
（2）15+11＝26（人）
7+14＝21（人）
8+10＝18（人）
6+3＝9（人）
26＞21＞18＞9
答：参加围棋组的人数最多，参加书法组的人数最少。
（3）（15+7+8+6）÷4
＝36÷4
＝9（人）
11+14+10+3＝38（人）
答：四（1）班平均每个课外兴趣小组有9人参加，四（2）班参加课外兴趣小组的学生一共有38人。
故答案为：围棋，书法；9，38。
【点评】考查了统计图表的填补，关键是根据统计的数据完成统计表，并解决简单的实际问题。
考点卡片
1．分数的意义和读写
【知识点归纳】
分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．
分数的分类：
（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．
（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．
带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．
【命题方向】
两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）
A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长
分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．
解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3-34=214（米）；
第二根剪去34，剩下的长度是3×（1-34）=34（米）．
所以第一根剩下的部分长．
故选：A．
点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
2．千以内加减混合运算
【知识点归纳】
1、计算加减混合算式时，要按从左到右的顺序依次计算，先把前两个数相加，再用第一步计算的结果减去第三个数。
2、计算加减混合的算式（无括号）时也要按照从左到右的顺序计算。可以分步计算，也可以写成一个竖式计算；
3、在计算含有小括号的加减混合算式时，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。
【方法总结】
加减混合运算是指一个算式里既有加法又有减法，要按照从左到右的顺序依次计算。
2、在计算加减混合运算时，遇到能简便计算的，可以简便计算。
【常考题型】
果园里有234棵苹果树，桃树比苹果树多168棵，梨树比桃树少32棵，梨树有多少棵？
答案：234+168﹣32＝370（棵）
2、仓库里面有625个小台灯，第一周卖出去了177个，第二周又进货了250个，现在仓库里面有多少个小台灯？
答案：625﹣177+250＝698（个）
3．千以内加减法
【知识点归纳】
1、（1）计算时先把相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进一。
（2）加法验算方法：把两个加数的位置调换后再加一遍，两次得到的结果相等就说明计算结果正确，不相等，则说明计算结果不正确，需要重新计算。
2、千以内减法笔算方法：
（1）先把相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，要从前一位退1，在本位上加10再减；
（2）当个位不够减需要退位时，如果十位上是0，无1可退，就要从百位上退1当成10个十先传递到十位，再从十位退1到个位，当成10个一再计算。
【方法总结】
1、相同数位要对齐，从个位加起，如果有进位，不要忘记加进位数。
2、在计算加减混合运算时，遇到能简便计算的，可以简便计算。
【常考题型】
口算题。
答案：437；202；650
2、书城进货了928本图书，第一周卖出去了123本，第二周进货了181本，现在书城有多少本图书？
答案：928﹣123+181＝986（本）
4．两位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘两位数的笔算方法：
（1）先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数个位对齐；
（2）再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；
（3）然后把两次乘得的积加起来。
【方法总结】
两位数乘两位数在笔算：
1、首先要相同数位对齐，
2、用下面因数的个位数和十位数依次去乘上面因数的个位数和十位数，将所得的积相加。
注意：
验算：交换两个因数的位置。
【常考题型】
1、笔算题。
32×13 27×56 43×58
答案：416；1512；2494
2、84×23的积是（ ）位数，最高位是（ ）位。
答案：四；千
3、32×30的积是32×（ ）的积的10倍。
答案：3
4、两位数乘两位数，积可能是（ ）位数，也可能是（ ）位数。
答案：三；四
5．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
6．有余数的除法
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：在除法算式m÷n＝a…b中，（n≠0），下面式子正确的是（ ）
A、a＞nB、n＞aC、n＞b
分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数；由此解答即可．
解：根据有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数，
所以：n＞b；
故选：C．
点评：解答此题的关键：应明确在有余数的除法中，余数总比除数小．
例2：31÷7＝4…3，如果被除数、除数都扩大10倍，那么它的结果是（ ）
A、商4余3 B、商40余3 C、商40余30 D、商4余30
分析：根据商不变的性质，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，但是在有余数的除数算式中，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，余数也会扩大或缩小相同的倍数．
解：31÷7＝4…3，
310÷70＝4…30，
所以当被除数、除数同时扩大10倍，商不变，余数也会扩大10倍．
故选：D．
点评：此题主要考查的是商不变的性质在有余数的除法算式中的应用．
7．列竖式计算除法
1.除法用竖式计算时，从被除数最高位开始除起，如若除不了，那么就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。
2.列竖式的过程中要把位数对齐。
3.除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商。
4.每次除后余下的数必须比除数小。
8．表外乘除混合
【知识点归纳】
1、混合运算，先乘除，后加减，有括号的要先算括号里面的，再算括号外面的。只有加、减法或只有乘、除法，都要从左到右按顺序计算。
2、加减乘除混合运算规则：
（1）同级运算时，从左到右依次计算。
（2）两级运算时，先乘除后加减。
（3）有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
解决两步计算的实际问题
1、想好先解决什么问题，再解决什么问题。
2、可以画图帮助分析。
3、可以分布计算，也可以列综合算式。
【常考题型】
口算题。
答案：45；27；21；48
李大爷有高血压需长期吃药，医生嘱咐他每天吃6片。李大爷有事要外出8天，药瓶已有24片药，应再放多少片药就够了？
答案：6×8﹣24＝24（片）
体育老师买了4桶羽毛球共花了240元，每桶12个，求每个羽毛球平均多少钱？
答案：240÷4÷12＝5（元）
9．无括号四则混合运算
【知识点归纳】
1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。
4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。
【常考题型】
1、解决问题。
（1）学校合唱团有男生37人，女生人数比男生的3倍多5人。学校合唱团一共有多少人？
（2）学校合唱团有男生37人，比女生的3倍少5人。学校合唱团一共有多少人？
答案：（1）37×3+5+37＝153（人）
答：学校合唱团一共有153人。
（2）37+5＝42（人）
42÷3＝14（人）
14+37＝51（人）
答：学校合唱团一共有51人。
10．带括号的四则混合运算
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1.含有小括号的混合运算的运算顺序：
要先算小括号里面的，再算小括号外面的；小括号里面的，要先算乘、除法，再算加、减法。
2.含有中括号的三步混合运算的运算顺序：
在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
【常考题型】
填一填。
计算（230+48）÷（200﹣61）时，应先算（ ）法和（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
计算888÷[200﹣（40+50）]时，应先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
先说一说下面各题的运算顺序，再计算。
360÷（70﹣4×16）158﹣[（27+54）÷9]
答案：乘法﹣减法﹣除法，60；
加法﹣除法﹣减法，149
11．带嵌套括号的混合运算
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
含有小括号的两步混合运算的运算顺序：
算式里有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。
【常考题型】
计算题。
答案：8；8；9
12．根据情景选择合适的计量单位
【知识点归纳】
货币单位：元、角、分．1元＝10角，1角＝10分．
时间单位：年、月、日、时、分、秒．1日＝24小时，1小时＝60分，1分＝60秒，1年＝12月．
长度单位：千米（公里）、米、分米、厘米、毫米．1千米＝1000米，1米＝10分米＝100厘米，1分米＝10厘米，1厘米＝10毫米．
面积单位：平方米、平方分米、平方厘米．1平方米＝100平方分米，1平方分米＝100平方厘米．
地积单位：平方千米、公顷、公亩．1平方千米＝100公顷，1公亩＝100平方米，1公顷＝100公亩＝10000平方米．
体积单位：立方米、立方分米、立方厘米．1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米．
容积单位：升、毫升．1升＝1000毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米．
质量单位：吨、千克（公斤）、克．1吨＝1000千克，1千克＝1000克．
一般的，货币、长度相邻两个单位进率是10，体积、容积、质量相邻两个单位进率是1000，面积、地积相邻两个单位是100，时间中时分秒相邻两个单位进率是60．
根据情景选择合适的计量单位，根据生活经验，对每种单位和数据大小的认识，即可做出选择．
【命题方向】
常考题型：
例：一台电脑显示器的占地面积是9C ，占据的空间是27B ．
A．平方厘米 B．立方分米 C．平方分米 D．立方厘米．
分析：根据生活经验、对面积单位、体积单位和数据的大小，可知计量一台电脑显示器的占地面积应用“平方分米”做单位；计量占据的空间应用“立方分米”做单位．
解：一台电脑显示器的占地面积是9平方分米，
占据的空间是27立方分米．
故答案为：C、B．
点评：此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．
13．简单周期现象中的规律
【命题方向】
常考题型：
例：体育课上同学们站成一排，老师让他们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个报的数是2，这一排同学有（ ）人．
A、26 B、27 C、28
分析：把这5个数看成一组，最后一个报的数是2，这一排的人数就是除以5，余数是2的数．
解：26÷5＝5…1；
27÷5＝5…2；
28÷5＝5…3；
这一排可能的人数是27．
故选：B．
点评：先找到规律，再根据规律求解．
14．整数四则混合运算应用题
【知识点归纳】
1、应用题是用语言或文字叙述有关事实，反映某种数量关系，并求解未知数量的题目。每个应用题都包括已知条件和所求问题。
以往，中国的应用题通常要求叙述满足三个要求：无矛盾性，即条件之间、条件与问题之间不能相互矛盾；完备性，即条件必须充分，足以保证从条件求出未知量的数值；独立性，即已知的几个条件不能相互推出。
小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。应用题的解题技巧就是根据题目中的等量关系列出对应的式子从而求出未知的量
2、运算顺序
（1）在没有括号的算式里，只有加减法或者只有乘除法，要按照从左到右的顺序依次计算。
（2）在没有括号的算式里，既有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。
（3）在含有小括号的算式里，要先算括号里面的，再算括号外的。
（4）在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
【命题方向】
常考题型：
1.新学期学校需购进一批桌椅，椅子28元，桌子的价格比椅子的4倍多6元，买45套这样的桌椅一共需要多少钱？
解：（28×4+6+28）×45
＝146×45
＝6570（元）
答：买45套这样的桌椅一共需要6570元。
2.超市运来39箱苹果，已经卖出25箱，每箱40元。
（1）已经卖了多少元？
（2）剩下的按每箱35元售出，还可卖多少元？
解：（1）40×25＝1000（元）
答：已经卖了1000元。
（2）（39﹣25）×35
＝14×35
＝490（元）
答：剩下的按每箱35元售出，还可卖490元。
15．简单的归一应用题
【知识点归纳】
已知相互关联的两个量，其中一个量在改变，另一个量也随之改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题．
归一问题可以分为一次归一问题、两次归一问题．
一次归一问题：用一步运算就能求出单一量的归一问题，又称单归一
两次归一问题：用两步运算才能求出单一量的归一问题，又称双归一
归一问题还可以分为正归一问题、反归一问题．
正归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用乘法计算结果的归一问题
反归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用除法计算结果的归一问题
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后，以它为标准，根据题目的要求算出结果．
数量关系式：单一量×份数＝总数量（正归一）
总数量÷单一量＝分数（反归一）
【命题方向】
常考题型：
例1：计划5小时做40个零件，3小时做这批零件的（ ）
A、35 B、45 C、34
分析：先算出平均每小时做多少个零件，再算出3小时做多少个零件，把40件零件看做单位“1”，进一步求出3小时做的占40件得几分之几．
解：平均每小时做的零件数：40÷5＝8（个），
3小时做的零件数：8×3＝24（个），
3小时做的占40件的：24÷40=35．
答：3小时做这批零件的35．
故选：A．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量，进一步得出答案．
例2：3台织布机4小时织布336米，照这样计算，1台织布机8小时织布多少米？
分析：照这样计算，说明每台织布机，每小时织布量不变，先用336除以3台，求出每台4小时的织布量，再除以4小时，求出每台每小时的织布量，然后乘上8小时即可求解．
解：336÷3÷4×8，
＝112÷4×8，
＝28×8，
＝224（米）；
答：1台织布机8小时织布224米．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．
16．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
17．简单的等量代换问题
【知识点归纳】
定义：用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）．
“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础，狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c．
【命题方向】
常考题型：
例1：已知：△+△+△＝☆，☆+☆+☆＝□+□，那么△：□是（ ）
A、2：9 B、1：6 C、9：2 D、3：2 E、1：3
分析：由题意“三个△等于一个☆”知9个△等于3个☆，又因为“3个☆等于2个□，根据等量代换：9个△等于2个□，从而找出△与□的比．
解：因为△+△+△＝☆，
所以☆+☆+☆＝△+△+△+△+△+△+△+△+△＝3×3＝9个△，
又因为☆+☆+☆＝□+□，
所以9个△＝2个□，
所以△：□＝2：9．
故选：A．
点评：此题主要是根据3个△等于1个☆进行等量代换，找出△与□个数的比．
例2：粮店有大米20袋，面粉50袋，共重2250千克．已知1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，那么一袋大米重多少千克？
分析：根据1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，所以面粉50袋的重量和25袋大米的重量相等，所以20袋大米+25袋大米＝2250千克，45袋大米的重量＝2250千克，所以一袋大米的重量＝50千克，据此解答即可．
解：因为1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，
所以面粉50袋的重量和25袋大米的重量相等，
所以20袋大米+25袋大米＝2250千克，
45袋大米的重量＝2250千克，
所以一袋大米的重量＝50千克．
点评：此题考查简单的等量代换，解决此题的关键是根据1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等得出45袋大米的重量＝2250千克，进而求出一袋大米的重量．
18．角的概念和表示
【知识点归纳】
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
注意：由角的定义可知：
（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2）顶点是这两条边的交点；
（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.
（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
角的表示方法：
（1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A
【命题方向】
常考题型：
1.从一点引出两条______所组成的图形叫做角，角的计量单位用_______来表示。
答案：射线，度。
2.组成角的两条边是两条（ ）
A．线段B．射线C．直线
答案：B
19．垂直与平行的特征及性质
【知识点归纳】
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（ ）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线． × ．（）
分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
20．过直线外一点作已知直线的平行线
【知识点归纳】
1．画法：设直线外一点为a，在直线上任取两点b和c，以a为圆心，以bc为半径作弧；以b为圆心，以ac为半径作弧，两弧交于d点；连接ad作直线，则ad必平行于bc．
2．在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条．如果没有在同一平面内的限制，过直线外一点画已知直线的平行线，能画无数多条．
【命题方向】
常考题型：
例1：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（ ）
A、1条 B、2条 C、无数条
分析：根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条．
解：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画1条．
故选：A．
点评：此题主要考查了平行线的性质．
例2：过A点画出已知直线的平行线．
分析：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可．
解：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺沿和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线．
点评：本题考查学生利用三角板和直尺来作平行线的能力，培养学生的作图能力．
21．过直线上或直线外一点作直线的垂线
【知识点归纳】
1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点．
2、分别以A、B为圆心，以大于12AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点．
3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线．
【命题方向】
常考题型：
例1：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1 条．
分析：直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答．
解：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1条．
故答案为：1．
点评：本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况．
例2：过A点画已知直线的垂线．
分析：用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．
解：根据分析画图如下：
点评：本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力．
22．从不同方向观察物体和几何体
【知识点归纳】
视图定义：
当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图象叫做物体的一个视图．
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图．
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图．
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图．
人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所称的角叫做视角．
我们把视线不能到达的区域叫做盲区．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个物体的形状如图所示，则此物体从左面看是（ ）
分析：这个几何体是由四个小正方体组成的，根据观察物体的方法，从正面看，是三个正方形，下行二个，上行一个位于右面；从上面看，是三个正方形，上行二个，下行一个位于右面；从左面看是三个正方形，下行二个，上行一个位于左面．由此判断．
解：从左面看到的是三个正方形，左边一列二个正方形，右边一个正方形与左边一列下边的一个成一行；
故选：B．
点评：本题是考查从不同方向观察物体和几何图形．是培养学生的观察能力．
23．体积、容积及其单位
【知识点归纳】
体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量．
体积的国际单位制是立方米．
常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米．
【命题方向】
常考题型：
例1：要求水桶能装水多少升，就是求水桶的（ ）
A、表面积 B、体积 C、容积
分析：体积和容积是两个不同的概念，意义不同：容积是指容器所能容纳物体的体积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量；物体所占的空间的大小叫做体积．测量方法不同：计算物体的体积要从物体外面去测量，例如求木箱的体积就要从外面量出它的长、宽、高的长度；计算容积或容量，由于容器有一定的厚度，要从容器里面去测量，例如求木箱的容积或容量，要从内部测量出长、宽、高的长度．计算单位不同：计算物体的体积，一定要用体积单位，常用的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米等．计算容积一般用容积单位，如升和毫升，但有时候还与体积单位通用．
解：要求水桶能装水多少升，就是求水桶的容积；
故选：C．
点评：正确区分体积和容积的意义，是解决此题的关键．
例2：盛满沙子的沙坑，（ ）的体积就是沙坑的容积．
A、沙子 B、沙坑
分析：根据容积的定义直接选择，容积是指容器所能容纳物体的多少，沙坑的容积就是指沙坑所能容纳沙子的多少即沙子的体积．
解：沙坑的容积是指沙坑所能容纳沙子的多少，沙坑的容积即是沙子的体积．
故选：A．
点评：此题考查容积的定义，是指容器所能容纳物体的多少．
24．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
25．角的度量
【知识点归纳】
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的1360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（ ）
A、50° B、500° C、100°
分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．
故选：A．
点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．
例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（ ）
A、1：30和2：30 B、3：30和8：30 C、9：00和3：00 D、10：30和1：30
分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．
解：A，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
2：30时针和分针中间相差3.5个大格，夹角是：30×3.5＝105度；符合题意；
B，3：30时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30＝75度，
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30°＝75度；
C，9：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度，
3：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度；
D，10：30时针和分针中间相差4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度；
所以夹角不同的是A．
故选：A．
点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
26．画指定度数的角
【知识点归纳】
三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．
【命题方向】
常考题型：
例1：画一个120°的角．
分析：画一个120°的角可据以下步骤进行：
（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；
（2）在量角器120°角刻度线的地方点一个点；
（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个120°的角．
解：根据角的画法，作图如下：
点评：本题考查了学生根据所给度数利用作图工具画角的动手能力．
例2：用一副三角板画一个105°的角．
分析：显然从两个三角板中，将一个等于45°的角，再加上另一个三角板中等于60°的角，即可得到105°的角．
解：让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如下图所示，
45°+60°＝105°；
．
点评：本题考查了三角板的角的度数、角的计算、角的拼图、画角的方法，较为简单，熟练掌握三角板各角的度数是解答本题的关键．
27．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
28．平均数的含义及求平均数的方法
【知识点归纳】
1．平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
2．平均数的求解方法：用所有数据相加的总和除以数据的个数，需要计算才得求出．
【命题方向】
常考题型：
例1：参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（ ）
A、82分 B、86分 C、87分 D、88分
分析：根据题意，可找出数量间的相等关系：女生的平均成绩×1+男生的平均成绩×3＝全班平均成绩×4，设女生的平均成绩是x，列并解方程即可．
解：设女生的平均成绩是x，因为总成绩不变，由题意得，
x×1+3×80＝82×（1+3），
x+240＝328，
x＝328﹣240，
x＝88；
或：[82×（1+3）﹣80×3]÷1，
＝（328﹣240）÷1，
＝88（分）；
答：女生的平均成绩是88分．
故选：D．
点评：解答此题关键是先求出全班的总成绩和男生的总成绩，然后求出女生的总成绩，进而求出女生的平均成绩．
29．统计图表的填补
【知识点归纳】
1．读懂统计图或者表．
2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：乐乐记录了爸爸妈妈两个月的电话费支出情况．
【分析】（1）运用爸爸1、2月份的总钱数减去1月份的话费即可得到2月份的话费．把妈妈1、2月份的钱数相加即可得到总钱数．
（2）把爸爸、妈妈1月份的话费相加即可得到合计，把爸爸、妈妈2月份的话费相加即可得到合计，然后再把两次的合计加在一起即可得到总合计．
解：（1）61.0﹣30.2＝30.8（元）
26.7+20.4＝47.1（元）
（2）30.2+26.7＝56.9（元）
30.8+20.4＝51.2（元）
56.9+51.2＝108.1（元）
【点评】此题主要依据加法及减法的意义解决实际问题．
30．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
31．事件的确定性与不确定性
【知识点归纳】
事件可分为确定事件和不确定事件，确定事件可分为必然事件和不可能事件．不确定事件又称为随机事件．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个盒子里面分别放了一些花，任意摸一朵的可能性会怎样？用线连一连
【分析】根据可能性的大小进行依次分析：
盒子有1朵白花，9朵红花，摸出一朵，因为9＞1，所以摸出红花的可能性大，白花的可能性小；
盒子有5朵白花，5朵红花，摸出一朵，因为5＝5，所以摸出红花的可能性大和白花的可能性一样；
盒子里有9朵白花，1朵红花，摸出一朵，因为9＞1，所以摸出白花的可能性大，红花的可能性小；
盒子里有10朵红花，摸出一朵，肯定是红花，不可能是白花，据此解答．
解：根据分析，连线如下：
【点评】此题应根据可能性的大小进行分析、解答．
32．可能性的大小
【知识点归纳】
事件的概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）＝P．必然事件的概率为1．
【命题方向】
常考题型：
例1：从如图所示盒子里摸出一个球，有 两 种结果，摸到 白 球的可能性大，摸到 黑 球的可能性小．
【分析】（1）右边盒子里只有白球和黑球，所以摸球的结果只有两种情况；
（3）白球3个，黑球1个，3＞1，所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．
解：（1）因为盒子里只有白球和黑球，
所以摸球的结果只有两种情况．
（2）因为白球3个，黑球1个，
所以3＞1，
所以摸到白球可能性大，黑球的可能性小．
故答案为：两，白，黑．
【点评】此题考查可能性的大小，数量多的摸到的可能性就大，根据日常生活经验判断．
33．有理数的乘方
【知识点解释】
求几个相同因数的积的运算，叫做乘方．
如：2×2×2×2＝24
【命题方向】
常考题型：
例1：a3表示（ ）
A、a×a×a B、a×3 C、a+a+a
分析：a3表示3个a相乘，即a×a×a．
解：a3＝a×a×a．
故选：A．
点评：此题主要考查的是有理数的乘方的计算方法．
例2：a•a可以写成a2 ，读作a的平方 ，表示 2个a相乘 ．
分析：两个相同的数相乘，就可以写成这个数的平方．
解：因为 a•a＝a×a＝a2
a2读作a的平方；
所以 a2表示2个a相乘．
故答案为：a2，a的平方，2个a相乘．
点评：本题主要考查学生对于一个数的平方的含义以及读写方法的掌握程度．
34．商的变化规律
【知识点归纳】
商的变化规律：
①除数不变，被除数乘（除以）一个数，商也乘（除以）同一个数；
②被除数不变，除数乘（除以）一个数，商除以（乘）同一个数；
③被除数和除数同时乘（除以）同一个数，商不变．

44+56＝
180÷36＝
25×16＝
175﹣75+25＝
68﹣68×0＝
163+37＝
72＝
4b+3b＝
280÷10＝
25×8÷25×8＝
576÷29 576÷34
240÷6×3 240÷（6×3）
726÷36 726÷4÷9
7800毫升 7升80毫升
6分 600秒
1个平角 2个钝角
评委
1
2
3
4
5
6
7
分数
91
92
80
91
91
95
90
学校—钟楼
学校—花巷
钟楼—金鱼巷
花巷—府文庙
334米
976米
985米
657米
班级
围棋组
美术组
篮球组
书法组
四（1）班
15
7
8
6
四（2）班
11
14
10
3
题号
15
16
17
18
19
20
21
答案
C
A
C
C
B
B
C
44+56＝
180÷36＝
25×16＝
175﹣75+25＝
68﹣68×0＝
163+37＝
72＝
4b+3b＝
280÷10＝
25×8÷25×8＝
44+56＝100
180÷36＝5
25×16＝400
175﹣75+25＝125
68﹣68×0＝68
163+37＝200
72＝49
4b+3b＝7b
280÷10＝28
25×8÷25×8＝64
576÷29 ＞ 576÷34
240÷6×3 ＞ 240÷（6×3）
726÷36 ＝ 726÷4÷9
7800毫升 ＞ 7升80毫升
6分 ＜ 600秒
1个平角 ＜ 2个钝角
评委
1
2
3
4
5
6
7
分数
91
92
80
91
91
95
90
学校—钟楼
学校—花巷
钟楼—金鱼巷
花巷—府文庙
334米
976米
985米
657米
班级
围棋组
美术组
篮球组
书法组
四（1）班
15
7
8
6
四（2）班
11
14
10
3
192+245＝
321﹣119＝
294+356＝
18÷2×5＝
45÷5×3＝
9÷3×7＝
2×3×8＝
（82﹣18）÷8
72÷（3×3）
63÷（44﹣37）
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
合计
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
30.8
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
47.1
合计
56.9元
51.2元
108.1元