2025-2026学年上学期北京小学数学四年级期末典型卷1

这是一份2025-2026学年上学期北京小学数学四年级期末典型卷1，共52页。试卷主要包含了一张A4纸的面积大约是600，下面说法正确的是，与912÷24的商相等的算式是等内容，欢迎下载使用。
1．最大的六位数与最小的六位数的差是（ ）
A．888888B．899999C．800000D．1000000
2．一张A4纸的面积大约是600（ ）
A．分米B．厘米C．平方分米D．平方厘米
3．下面说法正确的是（ ）
A．直线有两个端点
B．在同一平面内，两条直线不是相交，就是互相垂直
C．线段可以量出长度
D．射线可以向两端无限延伸
4．如图，升降机运用了平行四边形（ ）的特性。
A．不容易变形B．稳定性
C．容易变形
5．小英用量角器测量一个角时，角的一条边和内圈的0°刻度线重合，读数时她误读了外圈的刻度，读出的度数是70°，这个角的实际度数是（ ）
A．110°B．70°C．10°
6．观察下面的算式，55555×99999＝（ ）
A．5555444445B．55555444445
C．555554444445
7．与912÷24的商相等的算式是（ ）
A．（912×5）÷（24×3）B．（912+20）÷（24+20）
C．（912÷3）÷（24÷3）
8．奇思把一张正方形的纸对折后，沿虚线剪开，得到两个完全一样的小长方形，这两个小长方形的周长总和比原正方形的周长多18厘米。原正方形纸的面积是（ ）平方厘米。
A．324B．72C．81
二．填空题（共6小题）
9．8公顷＝ 平方米
3600000公顷＝ 平方千米
10．在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。
5公顷 4900平方米
200公顷 2平方千米
100432514 99452110
765420 765542
11．截止2024年底，海南省常住人口大约是10483100人。横线上的数读作：（ ）。用四舍五入法改成以万作单位的数约是（ ）万。
12．32个草莓，最少去掉（ ）个，就能正好平均分给6个小朋友；最少添上（ ）个，也能正好平均分给6个小朋友。
13．□里能填几？
4□5000＝47万
□86000000≈9亿
78□8520≈782万
14．如图所示，在三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝ 。
三．计算题（共2小题）
15．竖式计算。（带*的要验算）
128×21＝
812÷58＝
322×45＝
*406÷25＝
16．先说一说运算顺序，再计算。
四．操作题（共2小题）
17．在孟良崮战役纪念馆中，有一座沂蒙雕塑园，记录了很多当年发生在沂蒙地区的感人故事。其中有一座最大的雕塑，记录了红军搭桥通过汶河的历史，非常震撼，也非常感人。
①请你画出红军从军部最快到达河岸崔家庄的行军路线。
②请你画出红军怎样搭桥才能最快通过汶河。
18．用长方形纸折一折。
（1）把它分成两个三角形。
（2）把它分成两个长方形。
（3）把它分成一个正方形和一个长方形。
五．应用题（共7小题）
19．“世界读书日”期间，四（1）班开展了“读书小明星”评选活动，王老师给获得称号的同学每人买了一本《森林历险记》，一共用去432元。获得称号的有多少人？
20．现有边长为1厘米的正方形共24个，可以拼成几种不同的长方形？这些长方形的长和宽分别是多少？
21．（1）笑笑去图书馆看书，从家到图书馆，每分走60米，15分后，她走到了哪里？算一算，用在图中标出来。
（2）淘气家距离图书馆500米，距离笑笑家750米，图中A、B、C三个点中，哪个点可能是淘气家的位置？为什么？
22．游乐园的票价规定如表：
花园小学四（1）班有42人，四（2）班有47人，四（3）班有52人，三个班的同学一起去游乐园玩，合在一起买票比每班单独买票总共节省多少元？
23．
（1）完成统计表。
（2）成绩在 范围之内的人数最多；成绩在 范围之内的人数最少。
（3）你还能提出什么数学问题？
24．学校合唱组有男生28人，女生35人。
（1）合唱组一共有多少人？
（2）如果每9人分为一队，可以分成几队？
25．二丫、小美、小米、丁丁四个小朋友的身高统计表的名字被弄脏了，请你根据他们的对话，把他们的名字填在合适的位置。二丫：“我不到1米。”小美：“我比丁丁矮一些，比小米高一些。”小米：“丁丁最高。”
2025-2026学年上学期北京小学数学四年级期末典型卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题）
1．最大的六位数与最小的六位数的差是（ ）
A．888888B．899999C．800000D．1000000
【考点】亿以内的数的认识．
【专题】整数的认识；运算顺序及法则；运算能力．
【答案】B
【分析】最小的六位数是100000，最大的六位数是999999，二者相减即可。
【解答】解：最小的六位数是100000，最大的六位数是999999，999999﹣100000＝899999，最大的六位数与最小的六位数的差是899999。
故选：B。
【点评】本题考查了写数及整数的减法计算。
2．一张A4纸的面积大约是600（ ）
A．分米B．厘米C．平方分米D．平方厘米
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【专题】综合判断题；长度、面积、体积单位；应用意识．
【答案】D
【分析】根据生活经验，对面积单位和数据的大小认识，可知计量用一张A4纸的面积用“平方厘米”作单位，据此解答。
【解答】解：一张A4纸的面积大约是600平方厘米。
故选：D。
【点评】此题考查的是结合数据选择合适的单位名称，熟练掌握对面积单位的认识是解答此题的关键。
3．下面说法正确的是（ ）
A．直线有两个端点
B．在同一平面内，两条直线不是相交，就是互相垂直
C．线段可以量出长度
D．射线可以向两端无限延伸
【考点】直线、线段和射线的认识；垂直与平行的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】C
【分析】直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度；在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交，据此解答。
【解答】解：A.直线没有端点，原题说法错误；
B.在同一平面内，两条直线不是相交，就是平行，原题说法错误；
C.线段可以量出长度，说法正确；
D.射线可以向一端无限延伸，原题说法错误。
故选：C。
【点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点及同一平面内两条直线的位置关系。
4．如图，升降机运用了平行四边形（ ）的特性。
A．不容易变形B．稳定性
C．容易变形
【考点】平行四边形的不稳定性；平行四边形的特征及性质．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的不稳定性，解答此题即可。
【解答】解：升降机应用了平行四边形容易变形的特性。
故选：C。
【点评】熟练掌握平行四边形的不稳定性，是解答此题的关键。
5．小英用量角器测量一个角时，角的一条边和内圈的0°刻度线重合，读数时她误读了外圈的刻度，读出的度数是70°，这个角的实际度数是（ ）
A．110°B．70°C．10°
【考点】角的度量．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】A
【分析】根据量角器的构造即可求解，注意外圈刻度与内圈刻度的和是180°，误把外圈刻度当成了内圈刻度，读得度数是70°，正确的度数是（180﹣70）度；由此选择即可。
【解答】解：180°﹣70°＝110°
答：正确的度数应该是110°。
故选：A。
【点评】考查了量角器的认识，是基础题型。
6．观察下面的算式，55555×99999＝（ ）
A．5555444445B．55555444445
C．555554444445
【考点】“式”的规律．
【专题】找“定”法；模型思想．
【答案】A
【分析】观察可得规律是，一个乘数各个数位上都是5，另一个乘数各个数位上都是9，两个乘数的有相同的位数。前面的乘数是几位数，所得的积的位数就是它们的2倍，积的个位上始终是5，积的个位前面的几个数位上都是4，乘数是几位数，那么就有几个4，积中4前面的几位数都是5，且前面5的个数比乘数的位数少1。据此解答。
【解答】解：55555×99999＝5555444445。
故选：A。
【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。
7．与912÷24的商相等的算式是（ ）
A．（912×5）÷（24×3）B．（912+20）÷（24+20）
C．（912÷3）÷（24÷3）
【考点】商的变化规律．
【专题】运算顺序及法则；运算能力．
【答案】C
【分析】商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。
【解答】解：A．（912×5）÷（24×3）≠912÷24；
B．（912+20）÷（24+20）≠912÷24；
C．（912÷3）÷（24÷3）＝912÷24。
故选：C。
【点评】熟练掌握商的变化规律是解答的关键。
8．奇思把一张正方形的纸对折后，沿虚线剪开，得到两个完全一样的小长方形，这两个小长方形的周长总和比原正方形的周长多18厘米。原正方形纸的面积是（ ）平方厘米。
A．324B．72C．81
【考点】长方形、正方形的面积．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】沿虚线剪开后，得到2个小长方形，如图：，红色线段是这两个小长方形的周长总和比原正方形的周长多的，也就是这两个小长方形的周长总和比原正方形的周长多了2条正方形的边长。18厘米除以2，可以算出正方形的边长。根据正方形面积＝边长×边长，即可算出原正方形的面积。
【解答】解：18÷2＝9（厘米）
9×9＝81（平方厘米）
答：原正方形的面积是81平方厘米。
故选：C。
【点评】此题主要考查长方形、正方形的周长公式、正方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
二．填空题（共6小题）
9．8公顷＝ 80000 平方米
3600000公顷＝ 36000 平方千米
【考点】大面积单位间的进率及单位换算．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】80000；36000。
【分析】1公顷＝10000平方米，在8公顷末尾添上4个0即可换算成平方米为单位；1平方千米＝100公顷，去掉3600000公顷末尾的2个0即可换算成平方千米为单位，据此填空即可。
【解答】解：8公顷＝80000平方米
3600000公顷＝36000平方千米
故答案为：80000；36000。
【点评】单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。
10．在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。
5公顷 ＞ 4900平方米
200公顷 ＝ 2平方千米
100432514 ＞ 99452110
765420 ＜ 765542
【考点】大面积单位间的进率及单位换算；亿以内数比较大小；亿以上的数比较大小．
【专题】数感；应用意识．
【答案】＞；＝；＞；＜。
【分析】（1）1公顷＝10000平方米，5公顷是5个10000平方米，等于50000平方米，所以5公顷＞4900平方米。
（2）100公顷＝1平方千米，200公顷是2个100公顷，即2个1平方千米，等于2平方千米。
（3）两个整数比较大小，数位多的数大。
（4）位数相同的两个整数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数较大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，以此类推。
【解答】解：（1）5公顷＝50000平方米
所以5公顷＞4900平方米
（2）200公顷＝2平方千米
（3）100432514＞99452110
（4）765420＜765542
故答案为：＞；＝；＞；＜。
【点评】此题考查的目的是理解掌握面积单位相邻单位之间的进率及换算方法的应用，整数大小比较的方法及应用。
11．截止2024年底，海南省常住人口大约是10483100人。横线上的数读作：（ 一千零四十八万三千一百 ）。用四舍五入法改成以万作单位的数约是（ 1048 ）万。
【考点】亿以内数的读写；亿以内数的改写与近似．
【专题】整数的认识；数据分析观念．
【答案】一千零四十八万三千一百；1048。
【分析】整数的读法：从高位往低位，一级一级地读，每级末尾的0都不读出来，其他数位上有一个或连续几个0，都只读一个“零”；四舍五入到万位，也就是去掉万位后面的尾数，对千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上单位“万”；据此即可解答。
【解答】解：截止2024年底，海南省常住人口大约是10483100人。横线上的数读作：一千零四十八万三千一百。用四舍五入法改成以万作单位的数约是1048万。
故答案为：一千零四十八万三千一百；1048。
【点评】本题考查了整数的写法和求近似数。
12．32个草莓，最少去掉（ 2 ）个，就能正好平均分给6个小朋友；最少添上（ 4 ）个，也能正好平均分给6个小朋友。
【考点】有余数的除法应用题．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】2，4。
【分析】根据题意：用草莓的总数除以平均分给的小朋友的数量，求出商和余数，余数即是要去掉的数量；求最少添上几个，用平均分给的小朋友的数量减去余数得到的差即是要添的数量；由此进行解答。
【解答】解：32÷6＝5（个）……2（个）
6﹣2＝4（个）
答：最少去掉2个，就能正好平均分给6个小朋友；最少添上4个，也能正好平均分给6个小朋友。
故答案为：2，4。
【点评】解答此题用的知识点：根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答。
13．□里能填几？
4□5000＝47万
□86000000≈9亿
78□8520≈782万
【考点】亿以上数的改写与近似．
【专题】数感；应用意识．
【答案】6；8；1。
【分析】4□5000＝47万，因为千位上是5，省略尾数后向万位进1，所以□里只能填6；
□86000000≈9亿，因为千万位上是8大于5，省略尾数后向亿位进1，所以□里只能填8；
78□8520≈782万，因为千位上是8大于5，省略尾数后向万位进1，所以□里只能填1。
【解答】解：4□5000＝47万，□里只能填6；
□86000000≈9亿，□里只能填8；
78□8520≈782万，□里只能填1。
故答案为：6；8；1。
【点评】此题考查的目的是理解掌握利用“四舍五入”法，省略“万”位或“亿”位后面的尾数求近似数的方法及应用。
14．如图所示，在三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝ 130° 。
【考点】线段与角的综合．
【专题】几何直观；应用意识．
【答案】130°。
【分析】在三角形ABC中，AB＝AC，则三角形ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，即∠B＝∠ACB。由于∠ACB与155°角形成一个平角，据此即可求出∠ACB的度数，进而得知∠B的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠A的度数。
【解答】解：因为∠ACB+155°＝180°，
所以∠ACB＝180°﹣155°＝25°；
因为在三角形ABC中，AB＝AC，
所以∠B＝∠ACB＝25°；
因为∠A+∠B+∠ACB＝180°。
所以∠A＝180°﹣25°﹣25°＝130°。
故答案为：130°。
【点评】此题主要考查的知识点：平角的意义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理。
三．计算题（共2小题）
15．竖式计算。（带*的要验算）
128×21＝
812÷58＝
322×45＝
*406÷25＝
【考点】列竖式计算乘法；列竖式计算除法．
【专题】运算能力．
【答案】2688；14；14490；16……6。
【分析】三位数乘两位数的计算法则：先用一个因数的个位与另一个因数的每一位依次相乘，再用这个因数的十位与另一个因数的每一位依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，哪一位满十就向前一位进“1”，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。中间有0时，这个0要参加运算。
除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的高位除起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。除法的验算方法是商×除数+余数＝被除数。据此解题即可。
【解答】解：128×21＝2688
812÷58＝14
322×45＝14490
*406÷25＝16……6
验算
【点评】本题考查两位数乘三位数、两位数除三位数的计算。注意计算的准确性。
16．先说一说运算顺序，再计算。
【考点】无括号四则混合运算；带括号的四则混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】21；343；108；4278；16；61。
【分析】按照从左到右的顺序计算；
先算除法，再算加法；
先算小括号里面的减法，再算除法；
按照从左到右的顺序计算；
先算乘法，再算减法；
先算小括号里面的减法，再算除法。
【解答】解：840÷8÷5
＝105÷5
＝21
280+378÷6
＝280+63
＝343
864÷（61﹣53）
＝864÷8
＝108
31×3×46
＝93×46
＝4278
520﹣42×12
＝520﹣504
＝16
（408﹣103）÷5
＝305÷5
＝61
【点评】本题考查了整数的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可。
四．操作题（共2小题）
17．在孟良崮战役纪念馆中，有一座沂蒙雕塑园，记录了很多当年发生在沂蒙地区的感人故事。其中有一座最大的雕塑，记录了红军搭桥通过汶河的历史，非常震撼，也非常感人。
①请你画出红军从军部最快到达河岸崔家庄的行军路线。
②请你画出红军怎样搭桥才能最快通过汶河。
【考点】作最短线路图．
【专题】几何直观．
【答案】①；②。
【分析】（1）根据线段的性质两点之间线段最短，进行作图即可；
（2）根据垂直线段的性质，从直线外一点向已知直线画的所有线段中，垂直线段最短；所以过崔家庄画一条与汶河垂直的线段即可。
【解答】解：①因为两点之间线段最短，所以红军从军部最快到达河岸崔家庄的行军路线如图：
②因为点到直线垂直线段最短，所以红军搭桥能最快通过汶河的路线如下：
【点评】本题主要考查了学生对线段的性质以及点到直线垂直线段最短的掌握情况。
18．用长方形纸折一折。
（1）把它分成两个三角形。
（2）把它分成两个长方形。
（3）把它分成一个正方形和一个长方形。
【考点】简单图形的折叠问题．
【专题】几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图形划分知识，把长方形分成两个三角形即可。
（2）根据图形划分知识，把长方形分成两个长方形即可。
（3）根据图形划分知识，把长方形分成一个正方形和一个长方形即可。
【解答】解：（1）把它分成两个三角形。如图：
。（方法不唯一）
（2）把它分成两个长方形。如图：
。（方法不唯一）
（3）把它分成一个正方形和一个长方形。如图：
。（方法不唯一）
【点评】本题考查了简单的折叠知识，结合平面图形的特征解答即可。
五．应用题（共7小题）
19．“世界读书日”期间，四（1）班开展了“读书小明星”评选活动，王老师给获得称号的同学每人买了一本《森林历险记》，一共用去432元。获得称号的有多少人？
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】24人。
【分析】根据总价÷单价＝数量，即可求出买了多少本书，也就是获得称号的人数。
【解答】解：432÷18＝24（人）
答：获得称号的有24人。
【点评】本题主要考查了两位数除三位数除法的实际应用，明确单价、数量和总价之间的关系是解答本题的关键。
20．现有边长为1厘米的正方形共24个，可以拼成几种不同的长方形？这些长方形的长和宽分别是多少？
【考点】图形的拼组．
【专题】平面图形的认识与计算；空间观念．
【答案】4种；长、宽分别为24cm、1cm或12cm、2cm或8cm、3cm或6cm、4cm。
【分析】把24分解成两个整数的积，这两个整数就分别是长方形的长和宽，由此求解即可。
【解答】解：因为24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，
故24个边长1厘米的小正方形，可拼成长宽分别为24厘米和1厘米的长方形；
可拼成长宽分别为12厘米和2厘米的长方形；
可拼成长宽分别为8厘米和3厘米的长方形；
还可拼成长宽分别为6厘米和4厘米的长方形；
答：一共可以拼成4种不同的长方形。
【点评】解决本题关键是理解题意，把24进行分解，从而得解。
21．（1）笑笑去图书馆看书，从家到图书馆，每分走60米，15分后，她走到了哪里？算一算，用在图中标出来。
（2）淘气家距离图书馆500米，距离笑笑家750米，图中A、B、C三个点中，哪个点可能是淘气家的位置？为什么？
【考点】简单的行程问题．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】（1）；
（2）因为淘气家距离图书馆500米，距离笑笑家750米，因为A、C在同一直线上，如果C点是淘气家，那么淘气家到笑笑家的距离是：500+1200＝1700（米），1700＞750，所以C不是笑笑家，如果A点是淘气家，那么淘气家到笑笑家的距离是：1200﹣500＝700（米），700＜750，所以A不是笑笑家，所以B点是最有可能是淘气家的位置。
【分析】（1）根据“路程＝速度×时间”，用60×15＝900（米），求出15分走的路程，用900：1200＝3：4，把1200平均分成4份，用△在3份地方标出位置，即可解答；
（2）根据淘气家距离图书馆500米，距离笑笑家750米，因为A、C在同一直线上，如果C点是淘气家，那么淘气家到笑笑家的距离是：500+1200＝1700（米），1700＞750，所以C不是笑笑家，如果A点是淘气家，那么淘气家到笑笑家的距离是：1200﹣500＝700（米），700＜750，所以A不是笑笑家，所以B点是淘气家的位置，据此解答。
【解答】解：（1）60×15＝900（米）
900：1200＝3：4
作图如下：
（2）因为淘气家距离图书馆500米，距离笑笑家750米，因为A、C在同一直线上，如果C点是淘气家，那么淘气家到笑笑家的距离是：500+1200＝1700（米），1700＞750，所以C不是笑笑家，如果A点是淘气家，那么淘气家到笑笑家的距离是：1200﹣500＝700（米），700＜750，所以A不是笑笑家，所以B点是最有可能是淘气家的位置。
【点评】本题考查行程问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
22．游乐园的票价规定如表：
花园小学四（1）班有42人，四（2）班有47人，四（3）班有52人，三个班的同学一起去游乐园玩，合在一起买票比每班单独买票总共节省多少元？
【考点】整数四则混合运算应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】601元。
【分析】根据题意，总价＝单价×数量，每班单独买票总共花费了42×45+47×45+52×43＝6241（元），合在一起买票一共有42+47+52＝141（人），要花141×40＝5640（元），合在一起买票比每班单独买票总共节省6241﹣5640＝601（元）。
【解答】解：42+47+52＝141（人）
42×45+47×45+52×43﹣141×40
＝1890+2115+2236﹣5640
＝6241﹣5640
＝601（元）
答：合在一起买票比每班单独买票总共节省601元。
【点评】本题考查了整数四则混合运算应用题，解决本题的关键是：总价＝单价×数量。
23．
（1）完成统计表。
（2）成绩在 90～99 范围之内的人数最多；成绩在 70～79 范围之内的人数最少。
（3）你还能提出什么数学问题？
【考点】统计图表的填补；从统计图表中获取信息；“提问题”、“填条件”应用题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】（1）18，5，7，5，1；
（2）90～99，70～79；
（3）成绩在90及以上的比成绩在90以下的多多少人？
5+7﹣（5+1）
＝12﹣6
＝6（人）
答：成绩在90及以上的比成绩在90以下的多6人。（答案不唯一）
【分析】（1）把成绩记录表中的分数按统计表的要求分段计数，再把各段人数相加，填入合计数；
（2）比较各个成绩范围内的人数，找出人数最多的一段和人数最少的一段；
（3）根据成绩记录表和分段统计表，提出一个数学问题。
【解答】解：（1）
（2）从统计表中可以看出，成绩在90～99范围之内的人数最多；成绩在70～79范围之内的人数最少。
（3）成绩在90及以上的比成绩在90以下的多多少人？
5+7﹣（5+1）
＝12﹣6
＝6（人）
答：成绩在90及以上的比成绩在90以下的多6人。
故答案为：18，5，7，5，1；90～99，70～79。
【点评】此题主要考查把记录的数据按要求进行分段整理的能力，以及根据统计表进行简单分析的能力。
24．学校合唱组有男生28人，女生35人。
（1）合唱组一共有多少人？
（2）如果每9人分为一队，可以分成几队？
【考点】带括号的表内除加、除减．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】（1）63人；（2）7队。
【分析】（1）根据整数加法的意义，把男生和女生的人数相加即可求解；
（2）用合唱队的总人数除以每队的人数，即可求出可以分成几队。
【解答】解：（1）28+35＝63（人）
答：合唱组一共有63人。
（2）63÷9＝7（队）
答：可以分成7队。
【点评】本题主要考查了整数加法以及除法的意义，属于基础题，比较简单。
25．二丫、小美、小米、丁丁四个小朋友的身高统计表的名字被弄脏了，请你根据他们的对话，把他们的名字填在合适的位置。二丫：“我不到1米。”小美：“我比丁丁矮一些，比小米高一些。”小米：“丁丁最高。”
【考点】逻辑推理．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】二丫；小美；小米；丁丁。
【分析】96cm＜1m＜1m25cm＜1m3dm＜1m48cm，然后根据四个人的表述推断即可。
【解答】解：96cm＜1m＜1m25cm＜1m3dm＜1m48cm
二丫：“我不到1米。”所以二丫身高是96cm；
小米：“丁丁最高。”所以丁丁身高是1m48cm；
小美：“我比丁丁矮一些，比小米高一些。”小美身高是1m3dm，小米身高是1m25cm。
故答案为：二丫；小美；小米；丁丁。
【点评】逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
考点卡片
1．亿以内的数的认识
【知识点归纳】
一、计数单位：“万、十万、百万、千万、亿”是较大的计数单位。
二、数位表
1、在用数字表示数的时候，将这些计数单位按照一定的顺序排列，它们所占的位置叫做数位。
2、把数位按照从右到左的顺序排列起来就制成数位顺序表。依照数位顺序表进行读数和写数会更为方便。
3、按照我国的计数习惯，从右边（个位）起，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级；万位、十万位、百万位、千万位是万级；亿位是亿级。个级、万级和亿级都叫做数级。
4、注意：计数单位表示的是计算物体数量的单位，而数位则表示的是不同的计数单位按照一定的顺序进行排列，它们所占的位置。
三、相邻计数单位之间的进率
每相邻两个计数单位之间的进率是10。
【方法总结】
1、一定要按照从左到右四位一级来分级，即从低到高来分级。
2、相同数字在不同的数位上所表示的意义不同。
3、个级左边一级是万级，万级左边一级是亿级，个级的数位有个位、十位、百位、千位，万级的数位有万位、十万位、百万位、千万位。一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是十。
【常考题型】
1、比37956000多十万的数是（ ）。
A、38056000
B、37966000
C、37957000
答案：A
2、下列说法正确的是（ ）。
A、100个十万是一亿。
B、一个数，它的最高位是百万位，这个数是8位数。
C、一个数如果含有两个数级，这个数一定是一个八位数。
答案：B
3、十万十万地数，4518000后面的数是（ ）。
A、4618000
B、4528000
C、4519000
答案：A
2．亿以内数比较大小
【知识点归纳】
亿以内数的大小比较的方法：
1、比较两个数的大小，先看两个数各是几位数。
2、位数不同时，位数多的数就大。
3、位数相同时，从最高位开始比起，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【方法总结】
位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【常考题型】
比较下面每组中两个数的大小。
92504〇103600 50140〇63140 28906〇28890
答案：＜；＜；＞
按照从小到大的顺序排列下面各数。
50500 500500 55000 40005
答案：40005＜50500＜55000＜500500
3．亿以内数的读写
【知识点归纳】
一、亿以内数的读法（含有两级的数的读法）
（1）读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。例如：（2496¦0000）
（2）先读万级，再读个级。
（3）万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
（4）每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。
二、亿以内数的写法（注意：一定要保证个级是四位数。）
（1）写数之前，先分级；
（2）先写万级，再写个级；
（3）哪个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0占位。
【常考题型】
1、一个数是由4个千万，3个十万，6个百和5个一组成的，这个数写作（ ），读作（ ）。
答案：40300605；四千零三十万零六百零五
2、2023年我国有12910000考生报名参加高考，比去年增加980000人，再创历史新高。横线上的两个数分别读作（ ）和（ ）。
答案：一千两百九十一万；九十八万
有一个七位数，它的最高位上的数字是6，万位上的数字是9，十位上的数字是2，其余个位上的数字都是0，这个数写作（ ），它是由6个（ ）、9个（ ）和2个（ ）组成的。
答案：6090020；百万；万；十
4．亿以内数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以内数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以内数的近似数的方法：
省略万位后面的尾数，要看千位上的数，如果千位上的数小于5，就舍去尾数；如果千位上的数等于或大于5，就向前一位进1，再舍去尾数。这种方法叫“四舍五入”法。
2、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、新疆的塔卡拉玛干沙漠是我国最大的沙漠，它的面积大约为320000平方干米。横线上的数字改写成以“万”为单位的数是（ ）。
A、32万
B、320万
C、3200万
答案：A
2、将一个数改写成以“万”为单位的数是413万，那么这个数原来是（ ）。
A、413000
B、4130000
C、41300000
答案：B
3、摩纳哥是一个位于欧洲地中海沿岸的“袖珍国家”，国土面积狭小，却页是世界上人口密度最大的国家，每平方千米大约有14700人，省略万位后面的尾数大约是（ ）万人。
A、1万
B、2万
C、14万
答案：A
5．亿以上的数比较大小
【知识点归纳】
比较数的大小：
①位数不同的两个数，位数多的那个数大，位数少的那个数小。
②位数相同的两个数，从最高位开始比较，最高位大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，直至比较出大小。
【方法总结】
位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【常考题型】
比较大小，用＜号连接。
166101600 56003400 7002190 970968 56004300
答案：（970968）＜（7002190）＜（56003400）＜（56004300）＜（166101600）
6．亿以上数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以上数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、改写。（4个0换一个“万”字，将整万的数改写成以“万”作单位的数；8个0换一个“亿”字，将整亿的数改写成以“亿”作单位的数。）
3000000＝（ ）万
8230000＝（ ）万
1200000000＝（ ）亿
50700000000＝（ ）亿
答案：300；823；12；507
7．列竖式计算乘法
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的计算方法：列竖式计算三位数乘两位数时，相同数位对齐，先用两位数个位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十，就向前一位进几，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十就向前一位进几，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积相加，相加时，哪一位满几十同样向前一位进几。
【方法总结】
1、乘数中间或末尾有0的三位数乘两位数的计算方法。
（1）乘数中间有0时，这个0也要乘；与0相乘时，如果有进位数一定要加上进位数，如果没有进位数，就写0占位。
（2）乘数末尾有0时，可以先把0前面的数相乘，再看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
1、计算16×300时，可以先算（ ），再在积的末尾添（ ）。
答案：16×3；两个0
2、12的103倍是（ ），31个200是（ ）。
答案：1236；6200
8．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
9．列竖式计算除法
1.除法用竖式计算时，从被除数最高位开始除起，如若除不了，那么就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。
2.列竖式的过程中要把位数对齐。
3.除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商。
4.每次除后余下的数必须比除数小。
10．无括号四则混合运算
【知识点归纳】
1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。
4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。
【常考题型】
1、解决问题。
（1）学校合唱团有男生37人，女生人数比男生的3倍多5人。学校合唱团一共有多少人？
（2）学校合唱团有男生37人，比女生的3倍少5人。学校合唱团一共有多少人？
答案：（1）37×3+5+37＝153（人）
答：学校合唱团一共有153人。
（2）37+5＝42（人）
42÷3＝14（人）
14+37＝51（人）
答：学校合唱团一共有51人。
11．带括号的表内除加、除减
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。
4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。
【常考题型】
口算题。
答案：20；12；14
12．带括号的四则混合运算
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1.含有小括号的混合运算的运算顺序：
要先算小括号里面的，再算小括号外面的；小括号里面的，要先算乘、除法，再算加、减法。
2.含有中括号的三步混合运算的运算顺序：
在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
【常考题型】
填一填。
计算（230+48）÷（200﹣61）时，应先算（ ）法和（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
计算888÷[200﹣（40+50）]时，应先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
先说一说下面各题的运算顺序，再计算。
360÷（70﹣4×16）158﹣[（27+54）÷9]
答案：乘法﹣减法﹣除法，60；
加法﹣除法﹣减法，149
13．根据情景选择合适的计量单位
【知识点归纳】
货币单位：元、角、分．1元＝10角，1角＝10分．
时间单位：年、月、日、时、分、秒．1日＝24小时，1小时＝60分，1分＝60秒，1年＝12月．
长度单位：千米（公里）、米、分米、厘米、毫米．1千米＝1000米，1米＝10分米＝100厘米，1分米＝10厘米，1厘米＝10毫米．
面积单位：平方米、平方分米、平方厘米．1平方米＝100平方分米，1平方分米＝100平方厘米．
地积单位：平方千米、公顷、公亩．1平方千米＝100公顷，1公亩＝100平方米，1公顷＝100公亩＝10000平方米．
体积单位：立方米、立方分米、立方厘米．1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米．
容积单位：升、毫升．1升＝1000毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米．
质量单位：吨、千克（公斤）、克．1吨＝1000千克，1千克＝1000克．
一般的，货币、长度相邻两个单位进率是10，体积、容积、质量相邻两个单位进率是1000，面积、地积相邻两个单位是100，时间中时分秒相邻两个单位进率是60．
根据情景选择合适的计量单位，根据生活经验，对每种单位和数据大小的认识，即可做出选择．
【命题方向】
常考题型：
例：一台电脑显示器的占地面积是9C ，占据的空间是27B ．
A．平方厘米 B．立方分米 C．平方分米 D．立方厘米．
分析：根据生活经验、对面积单位、体积单位和数据的大小，可知计量一台电脑显示器的占地面积应用“平方分米”做单位；计量占据的空间应用“立方分米”做单位．
解：一台电脑显示器的占地面积是9平方分米，
占据的空间是27立方分米．
故答案为：C、B．
点评：此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．
14．“式”的规律
【知识点归纳】
把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索．
【命题方向】
常考题型：
例：观察1+3＝44+5＝99+7＝1616+9＝2525+11＝36这五道算式，找出规律，则下一道算式是 36+13＝49 ．
分析：观察所给出的式子，知道从第二个算式起，第一个加数分别是前一算式的和；从第二个式子起，第二个加数分别是前一算式中的第二个加数加2所得；由此得出要求的算式．
解：因为，要求的算式的前一个算式是：25+11＝36，
所以，要求的算式的第一个加数是：36，
第二个加数是：11+2＝13，
所以要求的算式是：36+13＝49，
故答案为：36+13＝49．
点评：解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．
15．“提问题”、“填条件”应用题
【知识点归纳】
1．根据已有条件推断可以增添的条件或者问题．
2．填入后，进行检验看是否符合常理或者题意．
3．如果是正确的，进行解答．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲仓有大米2400千克， 条件 ，乙仓库有大米多少千克？
2400×40% 乙仓库是甲仓库的40%
2400×（1+40%） 乙仓库比甲仓库多40%；
2400÷40% 是乙仓库的40%
2400÷（1﹣40%） 比乙仓库少40% ．
分析：通过算式发现这些题属于百分数乘、除法应用题，关键是确定单位“1”
（1）用乘法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”就是甲仓库的大米重量，应填乙仓库是甲仓库的40%；
（2）用乘法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”就是甲仓库的大米重量，和上题不同的是多加个1，说明乙仓库是单位“1”的1+40%，应填：乙仓库比甲仓库多40%；
（3）用除法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”是乙仓库的大米重量，应填：是乙仓库的40%；
（4）用除法求乙仓库的大米重量，那么单位“1”是乙仓库的大米重量，2400对应的分数是1﹣40%，说明它比单位“1”少40%，应填：比乙仓库少40%．
解：2400×40%，应填：乙仓库是甲仓库的40%；
2400×（1+40%），应填：乙仓库比甲仓库多40%；
2400÷40%，应填：是乙仓库的40%；
2400÷（1﹣40%），应填：比乙仓库少40%．
点评：此题主要考查百分数乘除应用题的一般形式：由两个数量以及两个数量之间的倍比关系构成；这道题是已知一个数量和两个数量之间的关系，求另一个数量，用乘法解答，单位“1”已知，用除法解答，单位“1”未知．
16．整数四则混合运算应用题
【知识点归纳】
1、应用题是用语言或文字叙述有关事实，反映某种数量关系，并求解未知数量的题目。每个应用题都包括已知条件和所求问题。
以往，中国的应用题通常要求叙述满足三个要求：无矛盾性，即条件之间、条件与问题之间不能相互矛盾；完备性，即条件必须充分，足以保证从条件求出未知量的数值；独立性，即已知的几个条件不能相互推出。
小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。应用题的解题技巧就是根据题目中的等量关系列出对应的式子从而求出未知的量
2、运算顺序
（1）在没有括号的算式里，只有加减法或者只有乘除法，要按照从左到右的顺序依次计算。
（2）在没有括号的算式里，既有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。
（3）在含有小括号的算式里，要先算括号里面的，再算括号外的。
（4）在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
【命题方向】
常考题型：
1.新学期学校需购进一批桌椅，椅子28元，桌子的价格比椅子的4倍多6元，买45套这样的桌椅一共需要多少钱？
解：（28×4+6+28）×45
＝146×45
＝6570（元）
答：买45套这样的桌椅一共需要6570元。
2.超市运来39箱苹果，已经卖出25箱，每箱40元。
（1）已经卖了多少元？
（2）剩下的按每箱35元售出，还可卖多少元？
解：（1）40×25＝1000（元）
答：已经卖了1000元。
（2）（39﹣25）×35
＝14×35
＝490（元）
答：剩下的按每箱35元售出，还可卖490元。
17．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
18．有余数的除法应用题
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：一根绳子长17米，剪8米做一根长跳绳，剩下的每2米做一根短跳绳，最多做几条短跳绳？
分析：先用17﹣8求出还剩下多少米，然后根据除法的意义，即可求出结果．
解：（17﹣8）÷2，
＝9÷2，
＝4（条）…1米；
答：最多做4条短跳绳．
点评：解答此题要认真分析题意，联系生活实际，剩了1米，不能再做1条绳．
例2：3位老师带着62位学生去郊游．每顶帐篷最多只能住6人．至少要搭多少顶帐篷？
分析：先用“62+3”求出总人数，求至少要搭多少顶帐篷，即求65里面含有几个6，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
解：（62+3）÷6＝10（顶）…5（人），
至少需：10+1＝11（顶）；
答：至少要搭11顶帐篷．
点评：解答此题用的知识点：根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
19．直线、线段和射线的认识
【知识点归纳】
1．概念：
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示．
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示．
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示．
注意：
（1）线和射线无长度，线段有长度．
（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点．
2．直线、射线、线段区别：
直线没有端点，两边可无限延长；
射线有一端有端点，另一端可无限延长；
线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度．
【命题方向】
常考题型：
例1：下列说法不正确的是（ ）
A、射线是直线的一部分 B、线段是直线的一部分 C、直线是无限延长的 D、直线的长度大于射线的长度
分析：根据线段、射线和线段的含义：线段有限长，有两个端点；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而进行判断即可．
解：A，射线是直线的一部分，A说法正确；
B，线段是直线的一部分，B说法正确；
C，直线是无限延长的，C说法正确；
D，射线和直线无法度量长度，因此D说法错误．
故选：D．
点评：此题考查了直线、射线和线段的含义和特点．
例2：下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（ ）
A、（1）B、（2）C、（3）D、（4）
分析：根据：直线是无限长的，可以向两端无限延伸；射线有一个端点，可以向一端无限延伸；线段不能无限延伸；据此特点，将图中能延长的线延长，看是否能相交即可．
解答：（1）是两条直线，可以无限延伸，延伸之后会相交；
（2）一条射线，向D端延长，另一条是直线，能无限延伸，但是不会相交；
（3）一条射线，只能向D端无限延伸，另外是一条线段，延长射线后不会相交；
（4）两条都是线段，不能延伸，所以不会相交；
所以四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（1）．
故选：A．
点评：此题主要考查直线、射线和线段的特征．
20．垂直与平行的特征及性质
【知识点归纳】
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（ ）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线． × ．（）
分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
21．平行四边形的特征及性质
【知识点归纳】
平行四边形的概念：
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形用符号“▱ABCD”，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．
（1）平行四边形属于平面图形．
（2）平行四边形属于四边形．
（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等．
（4）平行四边形属于中心对称图形．
2．平行四边形的性质：
主要性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．
（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）
（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．
（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：两组对边分别平行没有直角的图形是（ ）
A、长方形 B、平行四边形 C、梯形
分析：平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
如果两组对边分别平行、有4个直角的四边形是长方形或正方形；
据此判断即可．
解：两组对边分别平行没有直角的图形是平行四边形．
故选：B．
点评：此题应根据平行四边形的含义进行分析、解答．
例2：一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（ ）
A、周长不变，面积变大 B、周长不变，面积也不变
C、周长变小，面积变小 D、周长不变，面积变小
分析：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
解：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；
长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
故选：D．
点评：此题主要考查周长的定义及平行四边形和长方形的面积之间的变化关系．
22．平行四边形的不稳定性
【知识点归纳】
当平行四边形变长固定时，却可以改变其夹角形成无数个边长相同而夹角不同的平行四边形，而平行四边形的不稳定性就是指行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。
【命题方向】
常考题型：
1.伸缩门利用了平行四边形不稳定的特性．_______．（）
答案：√
2.下面说法不正确的是（ ）
A．伸缩门是根据平行四边形的不稳定性制作的
B．三角形具有稳定性
C．好多桌子椅子都方的，所以正方形也具有稳定性
答案：C
3.圆柱体、三角形、正方体、平行四边形中，_____、_______是立体图形，平面图形里_______具有不稳定性。
解：圆柱体、三角形、正方体、平行四边形中，圆柱体、正方体是立体图形，平面图形里平行四边形具有不稳定性。
故答案为：圆柱体、正方体；平行四边形。
23．图形的拼组
【知识点归纳】
1．平面镶嵌的概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起，这就是平面镶嵌．
2．规律：
用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形．
用不同的正多边形镶嵌：
（1）用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；
（2）用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌．
【命题方向】
常考题型：
例：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形的周长是（ ）
A、24厘米 B、36厘米 C、38厘米
分析：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形有边长就是（3×2）厘米，根据正方形有周长公式可列式解答．
解：根据题意画图如下，
正方形的周长：
（3×2）×4，
＝6×4，
＝24（厘米）．
答：周长是24厘米．
故选：A．
点评：本题考查了学生对拼组图形周长的计算能力．画图可更好的帮助学生理解．
24．大面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方千米＝100公顷＝1000000平方米
1公顷＝10000平方米
【命题方向】
常考题型：
边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
25．角的度量
【知识点归纳】
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的1360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（ ）
A、50° B、500° C、100°
分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．
故选：A．
点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．
例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（ ）
A、1：30和2：30 B、3：30和8：30 C、9：00和3：00 D、10：30和1：30
分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．
解：A，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
2：30时针和分针中间相差3.5个大格，夹角是：30×3.5＝105度；符合题意；
B，3：30时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30＝75度，
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30°＝75度；
C，9：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度，
3：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度；
D，10：30时针和分针中间相差4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度；
所以夹角不同的是A．
故选：A．
点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
26．线段与角的综合
【知识点归纳】
1、直线、线段、射线的概念，线段中点的概念及应用
2、角平分线、线段的垂直平分线、平行线的性质
3、余角、补角、邻补角的概念，进行角度换算
4、平行线的概念、性质及判定，两点之间的距离，点到直线的距离．
【命题方向】
常考题型：
例：图中，已知∠1＝30°，那么∠2＝ 150° ，∠3＝ 30° ，∠4＝ 60° ．
分析：从图上看：
①∠1和∠2合起来是平角，即为180°，即可求得∠2的度数；
②∠3和∠2合起来是平角，即为180°，即可求得∠3的度数．
③∠1和∠4合起来是个直角，即为：∠1+∠4＝90°，根据∠1＝30°即可求得∠4；
解：
①∠1+∠2＝180°
∠1＝30°
∠2＝180°﹣30°
∠2＝150°
②∠3+∠2＝180°
∠2＝150°
∠3＝180°﹣150°
∠3＝30°
③∠1+∠4＝90°
∠1＝30°
∠4＝90°﹣30°
∠4＝60°
故答案为：150°，30°，60°．
点评：本题考查平角和直角的概念，关键是从图中看到哪些角的和是90度，哪些角的和是180度．
27．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
28．简单图形的折叠问题
【知识点归纳】
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；
2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；
4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一．
【命题方向】
常考题型：
例1：把一根绳子对折三次，这时每段绳子是全长的（ ）
A、13 B、18 C、19
分析：把原来这根绳子的长度看作单位“1”，把主根绳子对折一次，就是把这根绳子平均分成2段，每段是绳子是全长的12，对折两次，就是把绳子全长的12再对折，每段绳子是全长的12的12，即14，对折三次，就是把绳子全长的14再对折，每段绳子是全长的14的12，即18．
解：1×12×12×12=18；
故选：B
点评：本题是考查简单图形的折叠问题、分数的意义．
例2：把一张长方形纸折成如图时，其中∠1和∠2相等，那么∠1＝（ ）
A、90° B、45° C、60°
分析：如图，把这张长方形纸对折，∠1和∠2相等，也就是把以长方形边上的折痕为顶点的平角（180°）平均分成3份，每份是180°÷3＝60°，即∠1＝60°．
解：如图，
因为2∠2+∠1＝180°，∠1＝∠2
所以∠1＝180°÷3＝60°．
故选：C．
点评：本题是考查简单图形的折叠问题．关键明白2∠2+∠1＝180°．
29．作最短线路图
【知识点归纳】
做一个点关于直线的对称点，然后连接对称点和另外一个点，与直线的交点就是所求的点，所求的点和已知点之间的距离就是最短线路．
【命题方向】
常考题型：
例：如果从A、B两点各修一条小路与公路接通，要使这两条小路最短，应该怎样修？请你在图中画出来．
分析：因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要分别作出A、B两点到公路的垂线段即可．
解：如图所示，只要分别作出A、B两点到公路的垂线段，这两条小路就最短；
答：只要从A、B两点垂直向公路修小路，所修成的小路才最短．
点评：此题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短．
30．统计图表的填补
【知识点归纳】
1．读懂统计图或者表．
2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：乐乐记录了爸爸妈妈两个月的电话费支出情况．
【分析】（1）运用爸爸1、2月份的总钱数减去1月份的话费即可得到2月份的话费．把妈妈1、2月份的钱数相加即可得到总钱数．
（2）把爸爸、妈妈1月份的话费相加即可得到合计，把爸爸、妈妈2月份的话费相加即可得到合计，然后再把两次的合计加在一起即可得到总合计．
解：（1）61.0﹣30.2＝30.8（元）
26.7+20.4＝47.1（元）
（2）30.2+26.7＝56.9（元）
30.8+20.4＝51.2（元）
56.9+51.2＝108.1（元）
【点评】此题主要依据加法及减法的意义解决实际问题．
31．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
32．商的变化规律
【知识点归纳】
商的变化规律：
①除数不变，被除数乘（除以）一个数，商也乘（除以）同一个数；
②被除数不变，除数乘（除以）一个数，商除以（乘）同一个数；
③被除数和除数同时乘（除以）同一个数，商不变．
33．逻辑推理
【知识点归纳】
基本方法简介：
①条件分析﹣假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的．例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数．
②条件分析﹣列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析．列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断．
③条件分析﹣﹣图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态．例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识．
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件．
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决．
【命题方向】
经典题型：
例1：有A，B，C，D，E五名同学进行象棋比赛，规定每两个人之间要赛一场，到现在为止，A已经赛了4场，B已经赛了3场，C已经赛了2场，D已经赛了1场，那么E赛了（ ）场．
A、1 B、2 C、3 D、4
分析：5个人两两之间比赛，那么每个人要和另外4人比赛，每人赛4场，再根据ABCD四人赛的场次进行推算．
解：每人最多赛4场；
A已经赛了4场，说明它和另外的四人都赛了一场，包括D和E；
E赛了1场，说明他只和A进行了比赛，没有和其它选手比赛；
B赛了3场，他没有和E比赛，是和另外另外的三人进行了比赛，包括C和E；
C赛了2场，是和A、B进行的比赛，没有和E比赛；
所以E只和A、B进行了比赛，一共是2场．
故选：B．
点评：本题根据每个人最多只能比赛4场作为突破口，进行逐个推理，找出E进行比赛的场次．

5×9＝45；
55×99＝5445；
555×999＝554445；
5555×9999＝55544445。
840÷8÷5
280+378÷6
864÷（61﹣53）
31×3×46
520﹣42×12
（408﹣103）÷5
购票人数（人）
1～50
51～100
100以上
每人的票价（元）
45
43
40
学号
成绩（分）
学号
成绩（分）
学号
成绩（分）
1号
93
7号
100
13号
100
2号
97
8号
88
14号
99
3号
89
9号
96
15号
84
4号
96
10号
84
16号
100
5号
95
11号
77
17号
100
6号
100
12号
92
18号
88
合计
100分
90～99分
80～89分
70～79分
人
人
人
人
人




96cm
1m3dm
1m25cm
1m48cm
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
C
A
A
C
C
5×9＝45；
55×99＝5445；
555×999＝554445；
5555×9999＝55544445。
840÷8÷5
280+378÷6
864÷（61﹣53）
31×3×46
520﹣42×12
（408﹣103）÷5
购票人数（人）
1～50
51～100
100以上
每人的票价（元）
45
43
40
学号
成绩（分）
学号
成绩（分）
学号
成绩（分）
1号
93
7号
100
13号
100
2号
97
8号
88
14号
99
3号
89
9号
96
15号
84
4号
96
10号
84
16号
100
5号
95
11号
77
17号
100
6号
100
12号
92
18号
88
合计
100分
90～99分
80～89分
70～79分
18 人
5 人
7 人
5 人
1 人
合计
100分
90～99分
80～89分
70～79分
18人
5人
7人
5人
1人
二丫
小美
小米
丁丁
96cm
1m3dm
1m25cm
1m48cm
二丫
小美
小米
丁丁
96cm
1m3dm
1m25cm
1m48cm
（36÷3）+8＝
（24÷8）+9＝
（56÷8）+7＝
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
合计
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
30.8
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
47.1
合计
56.9元
51.2元
108.1元