初中数学湘教版（2024）九年级下册二次函数的图像与性质优秀课后练习题

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A.夯实基础
题型一 二次函数y=ax2的图象与性质
1．若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向由a的正负决定是解题的关键．由抛物线开口方向可求得a的取值范围，可求得答案．
【详解】解：∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，
∴，
∴，
观察发现只有选项A符合题意，
故选：A．
2．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据中决定开口方向和开口大小，越大，开口越小，进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：，
∴；
故选A．
3．已知是二次函数且当x>0时y随的增大而增大，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据题意可得，求出，再根据的性质进行取舍即可．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得：或，
∵当x>0时y随的增大而增大，
∴，则，
∴，
故答案为：．
4．下列函数中，当时，值随值增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数的性质，根据正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐项分析即可.
【详解】A、正比例函数的图象在一、三象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意；
B、反比例函数中的，所以随的增大而减小，故本选项符合题意；
C、一次函数的图象，随的增大而增大，故本选项不符合题意；
D、二次函数的图象，开口向上，并向上无限延伸，在轴右侧（时），随的增大而增大，故本选项不符合题意；
故选B．
5．已知点和在二次函数图像上，则 0．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为轴，
∴当时，随着轴的增大而减小，
∴，
∴，
故答案为：
6．已知点在二次函数的图象上，则a的值是（ ）
A．B．3
C．或3D．或
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、求一个数的立方根，利用待定系数法求解a值即可．
【详解】解：∵点在二次函数的图象上，
∴，即，
∴，
故选：B．
题型二 二次函数y=ax2+k的图象与性质
7．二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．利用二次函数的顶点坐标为，进行解答即可．
【详解】解：二次函数，
二次函数图象的顶点坐标为．
故选：D．
8．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先分别求出，，的值，比较即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线过，，三点，
∴，，，
∵，
∴，
故选：C．
9．已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．根据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，，对称轴为y轴，
∴在对称轴的左侧，y随着的增大而减小；
∴当函数的函数值y随着的增大而减小时，的取值范围是：；
故选：D．
题型三 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
10．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线
C．当时，有最大值0D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式可知，则开口即可判断，对称轴为直线，顶点坐标为，则即可判断最值，以及增减性．
【详解】解：二次函数，
该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；
对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意；
顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意；
当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
11．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而增大D．顶点坐标为
【答案】B
【分析】本题考查抛物线顶点式的性质．根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随的增大而减小．
【详解】解：由得抛物线开口向下，故选项A说法错误，不符合题意；
对称轴是直线，故选项B说法正确，符合题意；
当时，y随的增大而减小，故选项C说法错误，不符合题意；
顶点坐标为，故选项D说法错误，不符合题意．
故选：B．
12．若，，为二次函数图象上的三点，则，，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．首先根据二次函数的解析式得到抛物线的对称轴为x=−1且开口向上，其中点和在对称轴左侧，在对称轴右侧，找到点关于对称轴的对称点，然后再根据二次函数的性质得到．
【详解】解：二次函数的对称轴为x=−1，且开口向上，
在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，
和在对称轴左侧，在对称轴右侧，
点关于对称轴的对称点是，
，
故选：B．
13．对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（ ）
A．开口都向下B．对称轴相同C．最大值都是0D．与y轴交点不相同
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的性质逐个判断即可得到答案；
【详解】解：函数：开口向下，对称轴为：x=1，顶点为：，经过，
函数：开口向下，对称轴为x=0，顶点为：，
故选：B．
题型四 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
14．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点坐标
C．对称轴是直线D．在时，随的增大而增大
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解．
【详解】解：A、，抛物线的开口向下，则该选项错误，故不符合题意；
B、顶点坐标为，则该选项错误，故不符合题意；
C、对称轴是直线，则该选项正确，故符合题意；
D、当时，随的增大而减小，则该选项错误，不符合题意；
故选：C
15．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为B．当时，随的增大而减小
C．开口方向向上D．函数最小值是
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，函数有最小值为，当时，随的增大而增大；
综上：只有选项B说法错误，符合题意；
故选B．
16．若三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的函数值的大小关系，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵三点都在二次函数的图象上，且，
∴；
故选D．
17．已知二次函数，其中，当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，则−2,12关于对称轴对称的点坐标为4,12，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，即可解答．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，
当时，，
∴−2,12关于对称轴对称的点坐标为4,12，
∵当且仅当时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，
∴，
∴，
故选：A．
题型五 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
18．已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）

A．图象关于直线对称
B．函数的最小值是
C．函数与x轴的两个交点坐标分别为和
D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，根据函数图象确定对称轴、最小值、增减性、二次函数与x轴的交点判断即可．
【详解】解：图象关于直线对称，A说法正确，不符合题意；
函数的最小值是，B说法正确，不符合题意；
由关于对称的数为3，知函数与x轴的两个交点坐标分别为和，C说法正确，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，D说法错误，符合题意，
故选：D．
19．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当>时，随的增大而减小B．当x=2时，有最大值，为
C．图象的顶点坐标为D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．根据二次函数的开口方向，顶点坐标，增减性及最值等性质，即可判断答案．
【详解】解：∵，
∴的对称轴为
选项，，
抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
选项，，
抛物线开口向上，
当时，有最小值，故选项错误，不符合题意；
选项，图象的顶点坐标为，故选项错误，不符合题意；
选项，令，则，
所以抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
又抛物线开口向上，顶点在第四象限，
所以图象经过一、二、四象限，所以选项正确，符合题意；
故选．
20．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，首先将二次函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．
【详解】解：
，
∴抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是．
故选：C．
21．若点都在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据得出开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
则对称轴，
∵，且，
∴，
故选：C．
22．已知二次函数（为常数）的图象经过点，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．与的值有关
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，先确定二次函数图象的对称轴，再根据各点到对称轴的距离可判断函数值的大小，进而求解．解题的关键是掌握二次函数的性质，
【详解】解：∵二次函数（为常数）
∴二次函数的对称轴为直线，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
又∵二次函数中二次项系数，
∴二次函数（为常数）的图象开口向上，
∴的大小关系是．
故选：A．
23．已知抛物线．
(1)将配方成的形式；
(2)写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为
(3)当时，的取值范围为
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质．
（1）将二次函数的一般形式配方成顶点式即可．
（2）根据二次函数的性质即可得出答案．
（3）结合二次函数的图像和性质可得出答案．
【详解】（1）解：．
（2）解：由，得抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
（3）解：由（2）知该抛物线的开口向上，顶点坐标为，
当时，函数取得最小值2．
将代入，得，
当时，的取值范围为．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线；
(1)若点在此抛物线上，求出此时抛物线的对称轴．
(2)若抛物线经过点，且满足，求的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线；
(2)或．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
（1）把点代入得的值，代入函数根据函数顶点式即可求解；
（2）根据题意得出为抛物线的顶点，分和两种情况，利用数形相结合求解即可．
【详解】（1）解：把点代入，得，
解得或（舍去），
∴抛物线，
∴对称轴为直线；
（2）解：，
∴对称轴为直线直线，
∴当时，抛物线开口向上，函数有最小值，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
当时，，即，
∴，
当时，，即，不合题意，舍去，
∴，
∴当时，抛物线开口向下，函数有最大值，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∴，
解得．
综上可知，的取值范围是或．
题型六 二次函数与各项系数的符号
25．二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．根据开口向下，与y轴的交点位于x轴上方，对称轴为直线，可得出，，，即得出，故①错误；将代入二次函数解析式，结合，即可判断②；由当时，，即得出，故③正确；由图象可知当时，，则，即可判断④．
【详解】解：由图象可知开口向下，与y轴的交点位于x轴上方，对称轴为直线，
∴，，，
∴，
∴，故①错误；
由图象可知当时，，即，
∴，即，故②正确；
由图象可知当时，，即，故③正确；
由图象可知当时，y有最大值，且，
∴当时，y的值都比小，即，
∴，
∴，故④正确．
综上可知正确的有3个．
故选D．
26．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形性质，会代入一些特殊值进行计算．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①抛物线的开口向上，
与轴的交点为在轴的负半轴上，
对称轴为，
同号，即，
故①错误；
②当时，函数值为2，
故②正确；
④当时，，
又，
故④正确；
③对称轴，
解得：，
由④得
故③错误；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故选：D．
27．小颖在研究二次函数（m为常数）性质时，有以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与x轴始终有两个交点；③若函数的最小值为，则m的值为3；④若，，则．则其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，先利用配方法把解析式配成顶点式为，根据二次函数的性质得到可对①进行判断；令，解方程得m的值为3或，则可对③进行判断；计算方程的根的判别式得到，由于当时，，则抛物线与x轴有一个交点，从而可对③进行判断；利用得到，根据二次函数的性质得到．从而可对④进行判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，所以①正确；
当时，y有最小值，
若y的最小值为，则，
解得，
即若函数的最小值为，则m的值为3或，所以③错误；
当时，，
∵，
∴当时，，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点；
当时，，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点，所以②错误；
∵，，
∴，
而抛物线的开口向上，
∴．所以④正确．
故选：D．
题型七 一次函数、反比例函数与二次函数之间图象的综合判断
28．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案．
【详解】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项符合题意；
D．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意；
故选：C．
29．若正比例函数满足y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，根据正比例函数的增减性得到，据此可得正比例函数图象经过第二、四象限，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于负半轴，据此可得答案．
【详解】解：∵正比例函数满足y随x的增大而减小，
∴，
∴该正比例函数图象经过第二、四象限，
∴二次函数的图象开口向下，且与y轴交于负半轴，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
30．函数和在同一坐标系里的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系，本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．
【详解】解：由A，D中的二次函数图象可得，因为，故A，D错误；
由B，C中的二次函数图象可得，所以的图象在二，四象限内，故C错误，B正确．
故选：B．
31．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数、反比例函数和正比例函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据二次函数的图象可得，，的符号，再根据反比例函数的图象、正比例函数的图象特点即可得．
【详解】解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴，
，，
抛物线的对称轴位于轴的右侧，
，
，
，
由可知，反比例函数的图象位于第二、四象限，
由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第一、三象限，
故选：B．
32．在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得出的范围，看看是否相同即可．本题考查了反比例函数和二次函数的图象和性质的应用，能理解反比例函数和二次函数的图象和性质是解此题的关键．
【详解】解：A、∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴得出，
∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的正半轴，
∴二次函数得出，，
∴，
∴的范围不同，故本选项错误；
B、∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴得出，
∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的负半轴，
∴二次函数得出，，
∴，
∴的范围不同，故本选项错误；
C、∵反比例函数图象经过第二、四象限，
∴得出，
∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的负半轴，
∴二次函数得出，，
∴，
∴的范围不同，故本选项错误；
D、∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴得出，
∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的正半轴，
∴二次函数得出，，
∴，
∴的范围相同，故本选项正确；
故选：D．
33．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选：A．
34．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意；
由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧，
所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意；
函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意．
故选：B．
35．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小．
题型八 二次函数的对称性求对称轴、函数值、最短路径
36．若抛物线经过，，则它的对称轴为（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的对称性，即可求解．
【详解】解：抛物线经过，，
∴对称轴为直线
故选：C．
37．若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据表格找到函数值相同的两个自变量的值，确定出对称轴，再根据对称性进行判断即可．本题考查利用抛物线的对称性求函数值，解题的关键是根据表格中的数据确定抛物线的对称轴．
【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为，
则关于对称轴直线所对称的是，
∴和的函数值相同，即为；
故选C．
38．已知二次函数的图象经过点，且当时，．若也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，再确定抛物线的开口方向，然后根据二次函数的性质，通过比较点M、N、P到直线的距离大小得到对应函数值的大小．
【详解】解：∵二次函数图象经过，
∴二次函数的对称轴为直线，
将分别代入二次函数表达式得，
解得，
∴二次函数表达式为，
当时，，
时，，
，
，
又到对称轴的距离从远即近为，
故选C．
39．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：把点代入得，，
∵抛物线称轴为直线，
∴，
∴，
把代入得，
，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
解得，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
如图，连接，与对称轴相交于点，
∵点和点关于对称轴对称，
∴，
∴，
根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求，
∴周长最小值，
故选：．
题型九 求二次函数y=ax2+bx+c的最值
40．若二次函数有最大值，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．因为二次函数有最大值，所以它所对应的抛物线一定开口向下，所以可得，四个选项中只有，所以应选D．
【详解】解：二次函数有最大值，
二次函数对应的抛物线开口向下，
，
的值可能是．
故选：D．
41．已知二次函数在时有最小值，则（ ）
A．或B．4或C．或D．4或
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
利用二次函数的性质求出对称轴，然后分和两种情况讨论即可求解．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，
当时，
∵在时有最小值，
∴当时，，
；
当时，
∵在时有最小值，
∴当时，，
解得：；
综上所述：或，
故选：B．
42．已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（ ）
A．1B．1或C．2或D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴，顶点坐标中最值的计算方法是解题的关键．
根据题意可得，二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，可得对称轴在轴左边，即，由此得到二次函数图象的大致图形，当x=0时，，当时，函数的最小值为，由此求出的值，即可求解．
【详解】解：已知二次函数中，，
∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为，
∵当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，
∴对称轴在轴左边，即，
∴，
如图所示，
∴当x=0时，，
∴当时，函数的最小值为，
解得，，
又∵，
∴，
∴，
故选：D ．
题型十 二次函数图象的平移
43．抛物线 先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据左加下减的平移原则计算即可．
本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握左加下减，左右平移，位于x上，上下平移，对于y实施是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得．
故选：A．
44．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后对应的二次函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键．
直接根据函数图象的平移规律即可解答．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后对应的二次函数解析式为．
故选D．
45．二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数表达式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次函数平移变换，正确记忆平移规律是解题关键．利用二次函数平移规律，左加右减，上加下减分析得出即可．
【详解】二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数表达式是，即．
故选：C．
46．抛物线经过平移可以得到抛物线，则下列平移方法正确的是（ ）
A．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，再向上平移6个单位长度
D．先向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：抛物线经过平移可以得到抛物线，
∴
平移方式为：先向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，
故选：B．
47．将抛物线向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的平移及一般式化顶点式，根据上加下减先得到解析式，再化为顶点式即可得到答案；
【详解】解：∵抛物线向上平移2个单位，
∴，
故选：B．
48．将函数的图象向左平移3个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线的平移，先把原二次函数转化为顶点式，再由抛物线平移规律：左加右减、上加下减，根据题中平移方式得到新抛物线解析式，即可得到答案．
【详解】解：，
该图象向左平移3个单位长度后，新抛物线的解析式为：，
新抛物线的顶点坐标为．
故选D．
B.提高能力
49．如图，已知函数
(1)把函数关系式配方成顶点式；
(2)在图中的坐标系中画出函数图象；
(3)当时，y的取值范围是 ；
(4)画出直线，记作直线a，过直线a上一点作x轴的平行线，交直线a和抛物线于点A、B、C，则A、B、C三点横坐标的和是 ．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)
(4)1
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）利用配方法，进行求解即可；
（2）利用五点作图法，画出函数图象即可；
（3）根据图象，进行作答即可；
（4）根据抛物线的对称性，进行求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）列表如下：
描点，作图如下：
（3）由图可知，当时：
当时，，最小
当时，最大，
∴；
（4）如图，
由图可知：点的横坐标为，两点关于对称轴对称，对称轴为直线，
∴，
∴，三点的横坐标的和为：；
故答案为：1．
50．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
(1)求点C及顶点M的坐标；
(2)求点A、B的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；，
(2)；，
(3)．
【分析】（1）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题以及二次函数顶点坐标，函数图像与y轴的交点可得点C坐标；顶点坐标通过对函数解析式配成顶点式即可得到．
（2）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题，函数图像与轴的交点，转化为解一元二次方程即可求解．
（3）本题主要考查了最短距离问题，点B是点A关于抛物线的对称轴对称的点，根据两点之间线段最短，线段即为所求最短距离．
【详解】（1）解：二次函数，
令，得到：．
∴；
，
∴．
（2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点，
令，
得到：，，
∴；．
（3）假设存在点，使得的值最小
∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图，
∵，
∴．
又∵，，
∴直线的解析式为：，
又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式，
得到：，
∴
又∵，
∴,
即，的最小值为．
51．已知：二次函数
(1)求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)若，在抛物线上，且，求n的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
（1）将二次函数一般式改为顶点式即可解答；
（2）根据二次函数的性质，分点A和点B在对称轴同侧和点A和点B在对称轴异侧两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上．
由（1）知这个二次函数图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
分类讨论：①当点A和B在对称轴同侧时，
∵，且，
∴y随x的增大而减小，
∴点A和B在对称轴左侧，
∴，
解得：；
②当点A和B在对称轴异侧时，即，
∴．
∵，且，
∴点B到对称轴的距离比点A到对称轴的距离大．
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上可知当．
x
y
3
5
3
0
1
2
3
4
0
1
0