数学九年级下册二次函数与一元二次方程的联系精品达标测试

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A.夯实基础
题型一 求抛物线与坐标轴的交点坐标
1．抛物线的对称轴是直线，如果此抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么抛物线与轴的另一个交点的坐标是 ．
【答案】
【分析】结合对称轴和抛物线与轴的一个交点的坐标是即可解答．
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
交点到对称轴的距离是2，
根据对称性可得另一交点到对称轴的距离等于2，
抛物线与轴的另一个交点的坐标是．
故答案为：．
2．抛物线与y轴的交点坐标是 ．
【答案】0,2
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求出值是解题的关键．
代入，求出值，进而可得出抛物线与轴的交点坐标．
【详解】把时代入，
解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标是0,2．
故答案为：0,2．
3．二次函数与轴的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解答本题的关键．轴上的点纵坐标为0，轴上的点横坐标为0．
本题根据，求出的值，得到轴交点坐标．
【详解】当时，，
∴与轴交点坐标为，
故答案为：．
4．二次函数的解析式为与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是
【答案】 2,0
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，求出二次函数，当时求出的值，当时y的值，进而即可求解
【详解】解：∵，
当时，，解得：
当时，，
∴二次函数与x轴的交点坐标是2,0，与y轴的交点坐标是．
故答案为：2,0，．
5．抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
(1)求出A，B，C三点的坐标；
(2)抛物线的顶点为点D，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键．
（1）当时，解方程即可得到、的坐标，将代入即可得到点的坐标；
（2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标．进而求出.
【详解】（1）解：当时，，
，，
，B4,0，
将x=0代入得：，
；
（2）解：
，
顶点坐标是：．
∴
6．下列函数图象中，与y轴交点的坐标是0,1的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数和一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握函数与坐标轴交点坐标的特征是解题的关键．
将分别代入函数的图象，得出y轴交点的坐标，即可判断．
【详解】A．当时，，所以与y轴的交点坐标为．故该选项不符合题意；
B．当时，，所以与y轴的交点坐标为．故该选项不符合题意；
C．当时，，所以与y轴的交点坐标为．故该选项不符合题意；
D．当时，，所以与y轴的交点坐标为．故该选项不符合题意；
故选：D．
题型二 抛物线与x轴的交点问题
7．抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（ ）
A．9B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点问题、根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式成为解题的关键．
根据题意可得方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程计算即可．
【详解】解：∵与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
故答案为：A．
8．将抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，先令，得，可知抛物线与x轴有两个交点，当时，，可知抛物线与y轴有1个交点，故可得结论．
【详解】解：对于
当时，得，即，
此时，
所以，抛物线与x轴有两个交点；
当时，，
所以，抛物线与y轴有1个交点，
所以抛物线与坐标轴有3个交点．
故选：D．
9．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）．求证：该抛物线与轴总有两个公共点．
【答案】见解析
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．令，则，转化成一元二次方程，利用根的判别式解答即可．
【详解】证明：令，则，
即，，，
∴，
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根，
∴该抛物线与轴总有两个公共点．
10． 函数与坐标轴有两个交点，求常数m的值．
【答案】m的值为或或0
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，注意分类讨论思想是解题的关键．
分当时，当时，当函数图象过原点和当函数图象不过原点进行求解即可．
【详解】解：当时，此时，
函数图象与x轴交于，与轴交于0,1，满足题意．
当时，分两种情况：
①当函数图象过原点时，则有，解得，
此时函数为，
∵，
该函数图象与坐标轴有2个交点，满足条件；
②当函数图象不过原点时，因其与轴有一个交点，
，即，
整理可得，
解得，
综上可知m的值为或或0．
题型三 根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
11．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A．无解B．，
C．D．，
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由图象结合抛物线的对称性可求出与轴的一个交点为、，即可求解；理解二次函数与一元二次方程的关系，能熟练利用图象进行求解是解题的关键．
【详解】解：由图象得：抛物线与轴的一个交点为，
对称轴为直线，
设抛物线与轴的一个交点为
，
解得：，
，
关于的一元二次方程的解为：
，，
故选：D．
12．如图，若的部分图像如图所示，则关于的方程的另一个解为（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键利用数形结合的思想分析问题．首先根据二次函数的对称性，通过对称轴得出二次函数与轴的交点坐标，结合二次函数与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，即可获得答案．
【详解】解：∵根据图像知，抛物线与轴的一个交点是，且对称轴为，
∴根据对称性，抛物线与轴的另一交点为，
∴令，即，
∴方程的解是，，
即方程的另一解为．
故选：D．
13．已知二次函数的图象（如图），则关于的方程的根的情况是 （ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．有一个实数根是
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况，二次函数图象的平移等知识点，找出函数的图象与轴只有一个交点是解题的关键．
由图象可知，将函数的图象向下平移个单位长度即可得出函数的图象，此时抛物线的顶点纵坐标为，它与轴只有一个交点，据此即可得出方程的根的情况．
【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点的纵坐标为，将抛物线向下平移个单位长度即可得到抛物线的图象，
此时，抛物线与轴只有一个交点，
方程有两个相等的实数根，
故选：B．
14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根的情况，根据图象信息可解答．
【详解】解：由图知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点的纵坐标是2，即二次函数的最大值是2．
方程，即，可以看成抛物线与直线的交点，
由图象可得直线在顶点上方，
∴使函数y=ax2+bx+c的值为5的x值不存在，
∴关于x的方程没有实数根．
故选：C．
15．二次函数的图象如图所示，若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象法是解题关键．将关于的方程的根的个数可以看成二次函数的图象与直线的交点个数，结合函数图象求解即可得．
【详解】解：关于的方程的根的个数可以看成二次函数的图象与直线的交点个数，
由图可知，当时，直线与抛物线有交点，即关于的方程有实数根．
故选：D．
题型四 求x轴与抛物线的截线长
16．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ．
【答案】 −2 4
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先求得解析式，进而求得的值，令，进而得出的长．
【详解】解：∵中，，顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，则，
令，则，
解得：
∴,
故答案为：−2，．
17．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解．
【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为：，
令，即，
解得：，
∴,
∴，
∴,
故答案为：．
18．如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ．
【答案】6
【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得：或，
∴抛物线与直线的两个交点为，
∴，
故答案为：6．
题型五 图象法（列表法）确定一元二次方程的近似根
19．如图，二次函数的对称轴为直线，若一元二次方程的一个根为，则m的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象的对称性；利用抛物线的对称轴是，设的另一根为x，根据的值靠近，利用二次函数的对称性即可求出．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是，设的另一根为，
则，的值靠近，
∵是一元二次方程的一个根
，
∴．
∵
∴
∴，则的值靠近，
∴m的值可能是
故选：C．
20．如表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（ ）
A．1.09B．C．1.29D．1.39
【答案】B
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值．
【详解】解：∵时，；
时，；
∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，
∴方程有一个根约为．
故选：B．
21．根据表格对应值：
判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A．B．C．D．无法判定
【答案】A
【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果．
【详解】解：令，
由表格可知：时，，当时，，
∴当，存在一个x的值使，
∴关于x的方程的一个解x的范围是；
故选：A．
题型六 图象法解一元二次不等式的解集
22．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系．
利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解．
【详解】解：∵，
∴化为抛物线在直线上方，
由图可知：
当或时，抛物线在直线上方，即：；
∴不等式的解集是：或；
故答案为：或．
23．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ．

【答案】
【分析】本题主要考查二次函数图象法求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．先求出点B的坐标，根据图象可直接进行求解．
【详解】解：二次函数的图象经过点，
，
解得：或，
根据题意：，
二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，
由图象可得：当时，则有；
故答案为．
24．如图，二次函数经过点．
(1)求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标；
(2)利用图象的特点填空：
①方程的解为_____；
②不等式的解集为_____．
【答案】(1)；顶点坐标为；
(2)①，；②或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点问题．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先利用配方法得到，对称轴为直线，利用对称性即可得出答案；
②写出函数图象在轴上方所对应的自变量的范围．
【详解】（1）解：∵二次函数经过点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为；
，
∴顶点坐标为；
（2）解：①，
∴对称轴为直线，
∵二次函数经过点C0,−3，
∴二次函数也经过点，
∴方程的解为，；
故答案为：，；
②观察函数图象，不等式的解集为或．
故答案为：或．
25．抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C．
(1)点C坐标为 ，顶点坐标为 ；
(2)不等式的解集是 ；
(3)当x满足时，y的取值范围是 ．
(4)当y满足时，x的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)或
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
（1）把代入可得点坐标，把函数解析转化为顶点式可得顶点坐标；
（2）把代入求出点、坐标，再结合图象解答即可求解；
（3）分别求出的函数值，再结合函数的性质即可求解；
（4）把代入求出对应的的值，再结合图象解答即可求解；
【详解】（1）解：把代入得，，
∴点坐标为，
∵，
∴顶点坐标为，
故答案为：；
（2）解：把代入得，，
解得：，
，
由图象可得，当或时，，即，
∴不等式的解集是或，
故答案为：或；
（3）解：当时，，
当时，，
顶点为，开口向上，
∴当时，，
故答案为：；
（4）解：把代入得，，
解得：，
∴当时，或，
故答案为：或．
B.提高能力
26．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤
【答案】C
【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①抛物线开口向上，则，故正确；
②由图象可知：抛物线与轴无交点，即
，故错误；
③由图象可知：抛物线过点，
即当时，，
当时，，
，
，故正确；
④∵是抛物线向上移动2个单位得到，
∴与x轴没有交点，即关于x的方程没有实数根，故错误；
⑤点在直线上，
由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，
的解集为，故正确；
故正确的是①③⑤，
故选：C．
27．若数a使二次函数的图象与y轴的交点纵坐标为非正数，且使关于x的不等式组有解且最多只有三个整数解，则符合条件的所有整数之和为 ．
【答案】9
【分析】本题考查二次函数与y轴的交点问题以及不等式组的求解．正确的计算出a的取值范围是解题的关键．根据二次函数图象与y轴的交点纵坐标为非正数可得且，再结合不等式组有且只有三个整数解，求得a的取值范围即可求得答案．
【详解】解：∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为非正数，
∴且，
∴且，
解不等式组，根据不等式有解集，可得，
∵不等式组有且只有三个整数解
∴，
∴，
结合且，可得，且，
∴符合条件的所有整数a有4、5，
∴，
故答案为：．
28．如图所示：抛物线与x轴相交于，两点，与直线相交于，两点．
(1)求，两点坐标．
(2)求，两点坐标．
(3)写出当时的取值范围

【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，根据抛物线与直线的交点解不等式；
（1）令解方程，即可求解；
（2）联立直线与抛物线解析式，解方程组即可求解；
（3）根据抛物线开口向下，以及与直线的交点坐标，写出直线在抛物线下方的部分的自变量的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：当时，
解得：，
∴
（2）解：解方程组，得
或，
∴
（3）解：∵抛物线开口向下，与直线相交于两点．
∴当时，
29．已知二次函数（m是常数）．
(1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点；
(2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质；
（1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论；
（2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
，
∴一元二次方程有实数根，
∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点；
（2）解：当时，，
得，
，，
，
或．
30．已知二次函数．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标；
(3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
【答案】(1)该二次函数图象的顶点坐标为
(2)该二次函数图象与y轴的交点为；该二次函数图象与x轴的交点为和
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及化为顶点式、与坐标轴的交点和函数值取值范围，
（1）利用配方法化为顶点式即可；
（2）令和解方程即可求得交点；
（3）根据二次函数的开口方向、对称轴和交点距离即可求得y的范围．
【详解】（1）解： ，
该二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：令，则，
该二次函数图象与y轴的交点为；
令，则，
解得：，，
该二次函数图象与x轴的交点为和．
（3）解：∵，对称轴为
∴当时，y有最小值为，
∵，
∴当时，y有最大值为12，
．
31．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接．
(1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 ；
(2)是直角三角形吗？若是，请给予证明；
(3)线段上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)是，见解析；
(3)存在，．
【分析】（1）抛物线的解析式中，令x=0即得二次函数与轴交点的纵坐标，令即得二次函数与轴交点的横坐标.
（2）根据（1）中点的坐标得出的长，进而利用勾股定理逆定理得出即可；
（3）根据的坐标，求得直线的解析式，由于等腰的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论：由于 此时点符合点的要求，即此时重合；根据等腰三角形三线合一的性质知：点横坐标为点的横坐标加上CD的一半，然后将其代入直线的解析式中，即可得到点的坐标；此时过作轴于， 已求得的长，即可通过相似三角形所得比例线段求得的长，从而得到点的坐标．
【详解】（1）解：在二次函数中令x=0得
∴点的坐标为，
令得：
即：
解得：和
∴点的坐标为，点C的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：∵点的坐标为，
，
∵点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
设直线对应的函数关系式为 则：
，解得，，
；
①当时，
，
，
∵，
，
；
②当时，则点在CD的垂直平分线上，即点横坐标为：，
将代入，解得，
∴ ；
③当时，如图，过点作
则，
，
即
；
综上所述，符合条件的点共有三个：，，．
【点睛】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
0.04
0.59
1.16
…
x
1.1
1.2
1.3
1.4
－0.59
0.84
2.29
3.76