初中数学湘教版（2024）九年级下册不共线三点确定二次函数的表达式精品当堂检测题

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题型一 已知一般三点（两点）的坐标求二次函数的表达式
1．经过，，三点的抛物线的解析式是： ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，设二次函数的一般式，把三点坐标代入可解得答案．
【详解】解：设抛物线解析式为，
∵抛物线经过，，三点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为，
故答案为：．
2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点、．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)求这条抛物线的开口方向和顶点坐标．
【答案】(1)
(2)抛物线开口向上，顶点坐标为
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是掌握：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
（1）把点和点坐标代入得关于、的方程组，然后解方程组即可；
（2）先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，
解得：，
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为；
（2）由（1）知：抛物线解析式的二次项系数，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴抛物线顶点坐标为．
3．已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)确定二次函数的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)
(2)对称轴为直线，顶点坐标
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；二次函数的性质；
（1）设该二次函数的表达式为 ，将A、B、C的坐标代入，待定系数法求二次函数的解析式；
（2）配方法化为顶点式，即可求解．
【详解】（1）解：设该二次函数的表达式为 ，
把代入，
得，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：
，
∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标．
题型二 已知顶点坐标（对称轴、最值）求二次函数的表达式
4．如果一条抛物线的形状和开口方向与相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，设抛物线的顶点式为，再由顶点坐标是，确定解析式即可．
【详解】解：一条抛物线的形状和开口方向与相同，
，
顶点坐标是，
∴它的解析式为，
故C满足条件，
故选：C．
5．若抛物线可由抛物线平移得到，且对称轴是直线，并经过点，则该抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，解析式，平移的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的解析式的求法．
【详解】由抛物线平移得到，且对称轴是直线：
设抛物线的解析式为：，
过点，得到
解得：，
所以抛物线的解析式为：
故选：D
6．已知抛物线且经过点、．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点与点都在该抛物线上，直接写出与的大小关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，也考查了二次函数的图象与性质，熟知这些知识是正确解决本题的关键．
（1）把点、代入求出a、k即可；
（2）根据二次函数的性质，通过比较点与点到直线的距离大小确定与的大小关系．
【详解】（1）解∶把点、代入得，
，解得，
抛物线解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
点到直线的距离比点到直线的距离要小，而抛物线的开口向下，
．
7．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．
(1)求这个抛物线的函数解析式；
(2)写出它的开口方向和对称轴．
【答案】(1)函数解析式为
(2)抛物线的开口向下，对称轴是直线
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）关键抛物线的顶点坐标为，得出抛物线为，把代入得函数解析式求出a，即可得出答案；
（2）根据a是负数，确定开口向下，根据抛物线解析式，写出对称轴即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线为，
将代入得，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：，
∴抛物线开口向下，
，
∴对称轴．
8．在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象经过点．且当时，有最小值．
(1)求这个二次函数的表达式
(2)试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由
【答案】(1)
(2)在此函数图象上，见解析
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征；
（1）根据题意设出函数解析式，再把点代入求解即可；
（2）求出时y的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意设这个二次函数的表达式为，
将点代入，得，
解得，
这个二次函数的表达式为；
（2）点在此函数图象上；
理由：当时，，
在此函数图象上．
9．已知抛物线的对称轴为直线，且过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？
(3)当在什么范围内时，随的增大而减小？
【答案】(1)抛物线解析式为；
(2)抛物线是由抛物线向左平移2个单位；
(3)当时，y随x的增大而减小．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据对称轴，可得的值，根据抛物线过点，可得a值；
（2）根据顶点式，即可说明需要移动的单位和方向；
（3）根据函数图象及函数的增减性回答即可；
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即抛物线解析式为，
∵过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）得：抛物线解析式为，
∴抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度得到的；
（3）解：由（1）得：抛物线解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小．
题型三 已知与x轴的交点坐标求二次函数的表达式
10．若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求解抛物线的解析式，由题意设抛物线为，结合抛物线与x轴相交于点，1,0，可得答案．
【详解】解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相反，
∴设这样的抛物线为，
∵抛物线与x轴相交于点，1,0，
∴，，
∴抛物线为；
故选：A
11．已知二次函数的图象过点．
(1)求二次函数的表达式及图象的对称轴、顶点坐标．
(2)直接写出当为何值时，随的增大而减小．
【答案】(1)二次函数的表达式为；对称轴为x=2、顶点坐标为
(2)
【分析】（1）根据待定系数法即可求解出二次函数解析式；将二次函数转化为顶点式即可得图象的对称轴、顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：
∴二次函数的表达式为；
∵，
∴二次函数的对称轴为x=2、顶点坐标为；
（2）解：由（1）知二次函数的对称轴为x=2，
∵，
∴二次函数的图象开口向上，
∴当时，随的增大而减小．
12．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
(1)求该函数的表达式；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(3)当时，的取值范围为_______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）由表格可设二次函数的解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可；
（2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可；
（3）由（2）中的图象可直接进行求解．
【详解】（1）解：设函数的表达式为，
将，代入得，
则该函数表达式为，即；
（2）解：如图，画出这个二次函数的图象如下：
（3）解：当和当的函数值相同，
对称轴为直线，
当时的函数值小于的函数值，
函数开口向上，在对称轴处有最小值，
结合函数图象可知，当时，，
故答案为：．
题型四 已知其它条件求二次函数的表达式
13．已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解题关键在于用待定系数法列方程来求解．根据两抛物线的形状、开口方向相同可知，a相同，求出a，再根据顶点坐标即可求出m．
【详解】解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，
，
，
该抛物线最高点的函数值为1，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
故选：．
14．已知二次函数，当时，，当时，．
(1)求，的值．
(2)当时，求函数的值．
(3)请直接写出当，的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)当时，．
【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值；
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）将代入解析式，求出函数y的值即可；
（3）利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得：，
解得：，
∴，；
（2）解：由（1）知：，，
∴，
∴当时，；
（3）解：∵，开口向上，
当时，有最小值为，
∵当时，，当时，，
∴当时，．
15．已知抛物线，若将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，顶点恰好落在原点上．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)若有一直线与抛物线交于点，，且.若点在抛物线上且在直线下方，且点不与点，重合，分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为，
(2)点横坐标的取值范围为，纵坐标的取值范围为．
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，可得抛物线为：，再利用抛物线过原点可得，求解，再把抛物线化为顶点式，即可直接得到抛物线的顶点坐标；
（2）把，代入，可求出，求出点横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围；
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，可得抛物线为：，
∵顶点恰好落在原点上，
∴，
解得：，
∴为；
∴顶点坐标为；
（2）解：根据题意可得，当时，．
当时，，
解得，．
∵，
∴．
∴，，
∵点在抛物线上且在直线下方（不与点重合），，如图，
∴抛物线开口向上，当时函数取得最小值，
∴，
∵当时，，当时，，
∴，
∴点横坐标的取值范围为，纵坐标的取值范围为．
16．如图1，在平面直角坐标系中，直线交两坐标轴于、两点，二次函数y=ax2+bx+c图象经过，，三点且．
(1)求二次函数的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点？使得的长度最短．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的解析式为
(2)在抛物线的对称轴上存在点使得的长度最短，点的坐标为．
【分析】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，然后利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）、关于抛物线的对称轴对称，所以抛物线的对称轴与直线的交点就是点，利用对称轴的解析式和一次函数的解析式即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：当x=0时，，
点的坐标为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标为，
把点、、的坐标代入y=ax2+bx+c，
可得：，
解得：，
二次函数的解析式为；
（2）解：在抛物线的对称轴上存在点使得的长度最短．点的坐标为，
理由：如下图所示，
把二次函数的解析式化为顶点坐标式，
可得：，
抛物线y＝的对称轴为直线，
设抛物线的对称轴与直线交于点，
直线为线段AB的垂直平分线，
，
，
此时点使得的长度最短．
令，则，
在抛物线的对称轴上存在点使得的长度最短，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法求函数的解析式，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
B.提高能力
17．已知抛物线的顶点坐标为．且经过点0,2．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)请判断点是否在该抛物线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点不在抛物线上．理由见解析
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质．
（1）设抛物线顶点式，将代入解析式求解．
（2）将代入得，，由此判断即可．
【详解】（1）解：抛物线顶点为，
设，
将代入得，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）点不在抛物线上．
理由是：
将代入得，，
点不在抛物线上．
18．下表给出了代数式与x的一些对应值：
(1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值．
(2)设，直接写出当时y的最大值．
【答案】(1)
(2)y的最大值是5
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据时，代数式的值可得一个关于b，c的二元一次方程组，解方程组可得b，c的值，再将代入代数式即可得n的值；
（2）先将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据表格数据可得，
解得：，
，
当时，，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
当时，y随x的增大而减小，
当时，y最大．
19．已知抛物线经过点，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，且顶点到x轴的距离为4，求二次函数的表达式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，分类讨论：当顶点坐标为时，设抛物线解析式为，当顶点坐标为时，设抛物线解析式为，然后把分别代入求出对应的的值即可得到满足条件的抛物线的解析式．
【详解】解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵顶点到x轴的距离为4，
∴顶点坐标为或，
当顶点坐标为时，设抛物线解析式为，
把代入得，解得（舍去）；
当顶点坐标为时，设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线解析式为．
20．二次函数的图象经过点，当时，该函数有最小值为．
(1)求该二次函数的解析式，并用五点法画出该函数的图象；
(2)直线与抛物线的交点为，，和直线的交点为，当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为，，图象见解析
(2)
【分析】题目主要考查二次函数的图像和性质，与坐标轴的交点问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键
（1）根据题意得出抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可确定函数解析式，然后利用五点法画图即可；
（2）根据题意得出点A、B关于对称轴对称，确定抛物线与交点的横坐标为0或3，然后画出草图，结合图形得出，即可求解
【详解】（1）解：∵当时，该函数有最小值为，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，
∴与坐标轴的交点为，
当时，，当时，，
∴抛物线经过点，
用五点法画图如下：
（2）∵直线与抛物线的交点为Ax1,y1，Bx2,y2，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴，
∴，
联立，
解得或，
∴抛物线与交点的横坐标为0或3，
当时，x=−1，
∵，如图所示：
∴，
∴，
∴即．
21．已知函数在时有最大值1．
(1)求实数，的值；
(2)设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．
（1）根据时函数有最大值，即可求出b的值，根据时有最大值1，代入求出c的值即可；
（2）先求出，，根据、是关于的方程的两个根得到，求出或或，根据即可求出答案．
【详解】（1）解：∵时函数有最大值，
，
，
又时有最大值1，代入得，
，
故．
（2），
，又，
，
．
，
，
，
、是关于的方程的两个根，
，
或或，
，
．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值．
(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合．
①当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围为________．
②当，线段与二次函数（）的图象有1个交点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)最大值，最小值
(3)①；②或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．
（1）根据待定系数法求解即可得解；
（2）由，当时，取最小值为，根据，得当时，取最大值．
（3）①根据求出取值范围，②通过数形结合求解．
【详解】（1）解：将点，点代入
得
解得
此二次函数的解析式为．
（2）解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线．
当时，取最小值为．
，
当时，取最大值．
（3）解：①∵点横坐标为，点的横坐标为．
∴．
当时，，的长度随的增大而增大．
当时，，的长度随增大而减小．
满足题意，解得．
故答案为：；
② ，
，
解得．
如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点．
如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点．
23．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点，重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且，在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点或或或或
【分析】（1）将，代入中，可得，解方程组即可求出与的值，进而可求出二次函数的表达式；
（2）令，则，于是求得抛物线与轴的交点坐标，设直线的函数表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，设点，则点，于是可得，由二次函数的图象与系数的关系可知有最大值，由的图象与性质可知此时，则，于是可求出点Q的坐标；
（3）设直线的表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，设与轴交于点，令，则，解方程即可求出与轴的交点坐标，过点作轴交轴于点，由两直线平行内错角相等可得，结合已知条件可得，因而可知直线和关于直线对称，于是可求出点的对称点，设直线的表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，联立直线的表达式和抛物线的表达式，得，解方程即可求出点，设点，由，，的坐标可得，，，然后分情况讨论：当时，当或时，分别建立关于的方程，解方程即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：将，代入中，得：
，
解得：，
二次函数的表达式为；
（2）解：令，则，
，
设直线的函数表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的函数表达式为：，
设点，则点，
，
，故有最大值，
此时，则，
；
（3）解：存在，点或或或或，
理由如下：
设直线的表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
设与轴交于点，
令，则，
解得：，
，
如图，过点作轴交轴于点，则，
，，
，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
联立直线的表达式和抛物线的表达式，得：，
解得：或，
，
设点，由，，的坐标可得：
，
，
，
当时，则，
解得：，
即：点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即：点或或；
综上，点或或或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，求抛物线与轴的交点坐标，求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，两直线平行内错角相等，轴对称的性质，因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
…
…
…
…
x
……
0
1
2
3
……
……
5
n
c
2
……