初中数学湘教版九年级下册第1章 二次函数1.2 二次函数的图像与性质精品同步训练题

1.2二次函数的图像与性质同步练习湘教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线上，设点M的坐标为，则二次函数

A. 有最大值，最大值为 B. 有最大值，最大值为
C. 有最小值，最小值为 D. 有最小值，最小值为

2. 若，则二次函数的图象的顶点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是

A.  B.  C.  D.

4. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是

A.
B.
C.
D.
 

7. 已知、、在二次函数的图象上，比较、、的大小

A.  B.  C.  D.

8. 抛物线与y轴的交点坐标为

A.  B.  C.  D.

9. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为

A.  B.
C.  D.

10. 抛物线向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为

A.  B.
C.  D.

11. 已知点，，都在函数的图象上，则比较，，的大小关系正确的是

A.  B.  C.  D.

12. 下列对二次函数的图象的描述，正确的是

A. 对称轴是y轴 B. 开口向下 C. 经过原点 D. 顶点在y轴右侧

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 抛物线过点和点，且顶点在第四象限，则a的取值范围是______．
14. 抛物线的顶点坐标是______．
15. 已知函数，点在该函数的图象上，若这样的点P恰好有三个，则k的值为______．
16. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______．
17. 把抛物线向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为______．
18. 下列关于二次函数为常数的结论：该函数的图象与函数的图象形状相同；该函数的图象一定经过点；当时，y随x的增大而减小；该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
    直接写出抛物线的函数关系式；
    动点能否在抛物线上？请说明理由；
    若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知二次函数c为常数的图象经过点，其对称轴为直线．
    求该二次函数的表达式；
    点在y轴上，若，过点P作x轴的平行线与该二次函数的图象交于E，F两点，当n取某一范围内的任意实数时，的值始终是一个定值d，求此时n的范围及定值d．
    是否存在两个不等实数s，，当时，恰好有若存在，求出这样的实数s，t；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知抛物线经过点
    求a的值；
    若点、都在该抛物线上，试比较与的大小．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点，与y轴交于点C．
    求a，b的值；
    若点P为直线BC上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左或向右平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．
     

23. 已知函数
    指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______．
    当x______时，y随x的增大而小；
    怎样移动抛物线就可以得到抛物线．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知：二次函数为，
    写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；
    为何值时，顶点在x轴上方；
    若抛物线与y轴交于A，过A作轴交抛物线于另一点B，当时，求此二次函数的解析式．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，直线、b为常数分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C．
    求直线的函数解析式；
    若点是抛物线上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
    若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：，N两点关于y轴对称，点M的坐标为，
点的坐标为，
又点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数的图象上，
，
整理得，
故二次函数为，
二次项系数为，故函数有最大值，最大值为，
故选：B．
先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可．
本题考查的是二次函数的最值．求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题是利用公式法求得的最值．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：，
此函数的开口向上，
，，
对称轴，
即对称轴位于y轴的右侧，
即可能是位于第一或第四象限；
，
与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
可能位于第三或第四象限
二次函数的图象的顶点在第四象限．
故选：D．
由得到此函数的开口向上，由，，得到对称轴，即对称轴位于y轴的右侧．即可能是位于第一或第四象限；由得到与y轴的交点为在y轴的负半轴上，可能位于第三或第四象限，由此可以确定二次函数的图象的顶点的位置．
此题主要考查了二次函数的图象与性质．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：对于二次函数，令，得到，
所以二次函数与y轴的交点坐标为，
故选：D．
令，求出x的值，即可解决问题；
本题考查二次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：抛物线开口向上，
，所以A选项错误；
抛物线的对称轴在y轴右侧，
、b异号，
，所以B选项错误；
抛物线与y轴的交点坐标为，
，所以C选项错误；
时，，
，
即，所以D选项正确．
故选：D．
根据抛物线开口方向对A选项进行判断；利用对称轴的位置可对B选项进行判断；根据抛物线与y轴的交点位置可对C选项进行判断；根据，可对D选项进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：由图可知，与y轴的交点，对称轴，
；
，A错误；
由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，，B错误；
当时，，
，C错误；
，D正确；
故选：D．
由图可知，与y轴的交点，对称轴，函数与x轴有两个不同的交点，当时，；
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象上获取信息确定a，b，c，，对称轴之间的关系是解题的关键．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：由二次函数的图象得，，
所以反比例函数分布在第二、四象限，正比例函数经过第一、三象限，
所以C选项正确．
故选：C．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到，然后根据反比例函数的性质和正比例函数的性质对各选项进行判断．
本题考查了反比例函数图象：反比例函数的图象为双曲线，当，图象分布在第一、三象限；当，图象分布在第二、四象限．也考查了正比例函数和二次函数图象．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：由抛物线可知对称轴，
抛物线开口向上，到对称轴的距离最近，到对称轴的距离最远，
．
故选：D．
先得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：令，则，
抛物线与y轴的交点为，
故选：B．
令，则，抛物线与y轴的交点为．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：，
原抛物线顶点坐标为，
向左平移1个单位，再向上平移5个单位，
平移后的抛物线顶点坐标为，
所得抛物线解析式为
故选：C．
根据顶点式求出顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出顶点式二次函数解析式即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点坐标的变化求解更简便．
 

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】
解：向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为，
故选：A．  

11.【答案】A
 

【解析】解：当时，；
当时，；
当时，，
所以．
故选：A．
分别把，1，4代入，计算出对应的函数值，然后比较大小即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：二次函数，，
对称轴是直线，故选项A错误；
该函数图象开口向上，故选项B错误；
当时，，即该函数图象过原点，故选项C正确；
顶点坐标是，故选项D错误，
故选：C．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

13.【答案】
 

【解析】解：将点和点代入函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
函数的顶点坐标为，
抛物线顶点在第四象限，
且，
解得：，
故答案为：．
将点的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的等式和c的值并用a表示出b，再根据顶点坐标和第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列不等式组求解即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，得到用a表示b的式子并列出关于a的不等式是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

15.【答案】1或
 

【解析】解：作出函数，的图象如图，
由图象可知当，时，可得：
当，时，可得：
，
时，
解得：，
故答案为：1或．
根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质，利用数形结合即可得到结论．
本题考查了二次函数的性质，关键是根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质解答．
 

16.【答案】
 

【解析】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，
故答案为：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

17.【答案】
 

【解析】解：把抛物线向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为：．
故答案为：．
直接利用二次函数图象的平移规律进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】
解：二次函数为常数与函数的二次项系数相同，
该函数的图象与函数的图象形状相同，故结论正确；
在函数中，令，则，
该函数的图象一定经过点，故结论正确；
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，故结论错误；
抛物线开口向下，当时，函数y有最大值，
该函数的图象的顶点在函数的图象上．故结论正确，
故答案为．  

19.【答案】解：；
动点不在抛物线上，理由如下：
抛物线的函数关系式为：，
函数的最小值为，
，
动点不在抛物线上；
抛物线的函数关系式为：，
抛物线的开口向上，对称轴为，
当时，y随x的增大而减小，
点，都在抛物线上，且，
．
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；也考查函数图象的平移的规律．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；
根据二次函数的最小值即可判断；
根据二次函数的性质可以求得与的大小．
【解答】
解：，
把抛物线：先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线：，
即，
抛物线的函数关系式为：；
见答案；
见答案．  

20.【答案】解：由题意：，
解得
．

如图，观察图象可知，的值始终是一个定值d，．


由知，对称轴为，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y取最小值，
时，y取最大值，
当时，恰好有，
，
将代入中，
即，
方程无解，
当，不满足时，恰好有．
当时，
当时，y取最大值，
当时，恰好有，
，
与矛盾，
当，不满足时，恰好有．
当时，y随x的增大而减小，
当时，y取最大值，
时，y取最小值，
当时，恰好有，，
解得或3，或3，
，
，．
综上所述，满足条件的s，t的值为，．
 

【解析】构建方程组即可解决问题．
画出函数图象，利用图象法解决问题即可．
分三种情形：当时．当时．当时，分别求解即可解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，函数的增减性等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：抛物线过点，
，解得．
当时，抛物线的解析式为．
抛物线的开口向下，对称轴为，
当时，y随x的增大而增大，
，
．
 

【解析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将点代入抛物线方程，然后解关于a的方程即可；
根据中a的值可以求得此函数的解析式，然后根据二次函数的性质可以求得与的大小．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

22.【答案】解：二次函数的图象经过点，点，
，解得；
，
抛物线的对称轴为直线，，
点P到A，B两点的距离相等，
点P在抛物线的对称轴上，
，，
直线BC的解析式为，
令，则，
，
设平移后的新抛物线的解析式为，
新抛物线经过点P，
，
解得，，
新抛物线的顶点坐标为或．
 

【解析】利用待定系数法即可求得；
求得直线BC的解析式，根据题意P点在抛物线的对称轴上，从而求得P的坐标，设平移后的新抛物线的解析式为，代入P的坐标，求得h的值，从而求得顶点坐标．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求得P的坐标是解题的关键．
 

23.【答案】向下  直线   
 

【解析】解：函数图象的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标为；
当时，y随x的增大而小；
把抛物线就先向左平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到抛物线．
故答案为向下，直线，；；
、根据二次函数的性质求解；
根据平移的平移规律求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
 

24.【答案】解：，
抛物线开口方向向上；
对称轴为直线；
，
顶点坐标为；

顶点在x轴上方时，，
解得；

令，则，
所以，点，
轴，
点A、B关于对称轴直线对称，
，
，
解得，
所以，二次函数解析式为或．
 

【解析】根据抛物线的开口方向与a有关，利用对称轴与顶点坐标公式列式计算即可得解；
根据顶点在x轴上方，顶点纵坐标大于0列出不等式求解即可；
先求出点A的坐标，再根据抛物线的对称求出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴、顶点坐标公式，以及二次函数的对称性．
 

25.【答案】解：
由题意可得，解得，
直线解析式为；
如图1，过P作于点H，过H作轴，过P作轴，两垂线交于点Q，

则，且，
，
，且，
∽，
，
设，则，，
，，
，，，且，
，
整理消去m可得，
与x的函数关系式为，
，
当时，d有最小值，此时，
当d取得最小值时P点坐标为；

如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，

，
当F、E、三点一线且与AB垂直时最小，
，
，
由可知当时，，
即的最小值为．
 

【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、轴对称的性质等知识．在中注意待定系数法的应用，在中构造相似三角形是解题的关键，在中确定出E点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
过P作于点H，过H作轴，过P作轴，两垂线交于点Q，则可证明∽，设，利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；
设C点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，则可知当F、E、三点一线且与AB垂直时最小，由C点坐标可确定出点的坐标，利用中所求函数关系式可求得d的值，即可求得的最小值．