人教A版 (2019)必修 第二册基本立体图形第1课时达标测试

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1．以下各几何体中， 是棱柱的是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于A，几何体是三棱锥，不是棱柱，A不是；
对于B，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；
对于C，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；
对于D，几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，是棱柱，D是.故选：D
2．如图所示，三棱台截去三棱锥后，剩余部分几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．不规则几何体
【答案】C
【详解】根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥.故选：C.
3．下列命题中正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是正四棱柱
D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体
【答案】D
【详解】选项A：有一个面是多边形，其余各面是三角形，如果其余各面没有一个共同的顶点的几何体就不是棱锥.判断错误；
选项B：有两个面平行且相似，其余各面都是梯形，如果侧棱不相交于一点的多面体不是棱台.判断错误；
选项C：当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱. 判断错误；
选项D：四个面都是等边三角形的四面体是正四面体.判断正确.故选：D
4．如图，正方体中，O为底面的中心，E，F分别为棱，的中点，经过E，F，O三点的平面与正方体相交所成的截面为（ ）
A．梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形
【答案】A
【详解】
如图，因为正方体中，O为底面的中心，E，F分别为棱，的中点
所以在中，，，因为正方体，所以
所以，而点在直线上，所以点，，，确定一个平面，所以经过E，F，O三点的平面与正方体相交所成的截面为平面，即确定的平面是梯形，故选：A
5．四氯化碳是一种有机化合物，分子式为，是一种无色透明液体，易挥发，曾作为灭火剂使用．四氯化碳分子的结构为正四面体结构，四个氯原子（Cl）位于正四面体的四个顶点处，碳原子（C）位于正四面体的中心．则四氯化碳分子的碳氯键（C-Cl）之间的夹角正弦值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图所示，正方体的棱长为a，正四面体的棱长为，
又该正方体的体对角线长度为，故，根据题意可知，所求夹角为，在中，由余弦定理可得：，故，即四氯化碳分子的碳氯键（C-Cl）之间的夹角正弦值为.故选：D．
6．将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（ ）
①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体
A．3种B．4种C．5种D．以上均不正确
【答案】B
【详解】
如图，平面截正方体，可得到四面体；
如图，平面截正方体，可得到四棱柱；
如图，平面截正方体，可得到五棱柱，也是七面体.故选：B.
7．如图，在正四棱台中，棱，，的夹角为，，则棱，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由棱台的定义可知，分别延长，，，交于点P，连接AC， 如图，在正四棱台中，棱，的夹角为，，所以△PAB边长为2的等边三角形，所以.
又在正方形中，,则，所以，所以，所以棱，的夹角为，故选：D
8．在正方体中，棱长为4，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】C
【详解】因为，故为的中点.又为正方体，故可延长，分别交与的延长线于，设直线分别交于，易得过点、、的面即平面.
因为为中点，且，故，，，所以，故，即.又，故.又为的中点，同理可得，故，所以，，故在线段内.
连接交于，综上可知点、、截正方体的截面为五边形.
故选：C
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．棱柱的侧面一定是平行四边形
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
D．用一个平面截正方体，其截面是矩形
【答案】BCD
【详解】A. 因为棱柱的侧棱都平行，两个底面平行同时与侧面相交，则交线平行，所以侧面一定是平行四边形，故正确；
B. 两个面平行且相似，各侧棱能延长相交于一点是棱台，故错误；
C.如图所示：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，故错误；
D. 如图所示：，用一个平面AEC截正方体，截面形状是三角形，故错误；
故选：BCD
10．在正方体中，Q是棱上的一个动点，则过A，Q，三点的截面图形可能是（ ）
A．等边三角形B．矩形C．等腰梯形D．五边形
【答案】ABC
【详解】对于A，当点Q与点重合时，截面图形为等边三角形，所以A正确；
对于B，当点Q与点D重合时，截面图形为矩形，所以B正确；
对于C，当点Q不与点D，重合时，如图，延长交延长线于，连接交于，连接，因为平面∥平面，平面平面，平面 ，所以∥，所以过A，Q，三点的截面为梯形，当为的中点时，可得，所以，所以为的中点，所以，所以此时梯形为等腰梯形，所以C正确，
对于D，由选项ABC，可知截面图形不可能为五边形，故选：ABC
三、填空题
11．在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
【答案】
【详解】
将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形，由展开图可得，沿爬行时，路程最短；
因为，，所以，因此.
故答案为：.
12．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为 _____．
【答案】
【详解】
，当为中点时，取得最小值；在上取一点，使得，
，，，；
则当三点共线时，最小，即最小，此时且，的最小值为.故答案为：.
四、解答题
13．如图在一个长方体的容器中，里面装有一些水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，判断下面的说法是否正确，并说明理由．
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形；
(2)水的形状不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱锥．
【答案】(1)不对,理由见解析；
(2)不对,理由见解析.
(1)不对.水面的形状就是用一个与棱（长方体容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2)不对.水的形状就是用与棱（长方体容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱锥.
14．如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？
【答案】(1)三棱锥(2)答案见解析
（1）解：根据题意，将正方形，沿图中虚线将3个三角形折起，使得三点重合，可得如图所示的一个三棱锥.
（2）解：由（1）知，其中为直角三角形，面积为；
为直角三角形，面积为；
为直角三角形，面积为；
为等腰三角形，且，可得边上的高为，
所以面积为.
B能力提升
15．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．
【答案】作图见解析，.
【详解】把长方体的部分面展开，如图所示，有三种情况:对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为.故答案为：.
16．如图所示，在正三棱柱中，，，为的中点，是上的一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线为.设这条最短路线与的交点为，求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
（2）和的长.
【答案】（1）；（2）的长为2，的长为.
【详解】（1）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为的矩形，
所以对角线的长为；
（2）将该三棱柱的侧面沿棱展开，如图所示.
设的长为，则.因为，，，
所以(负值舍去)，即的长为2.又因为，所以，即，所以.
C综合素养
17．（1）如图，三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面,CC1＝3，有虫从A沿三个侧面爬到A1，求小虫爬行的最短距离．
（2）以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的夹角都是30°，在一条棱上取A，B两点，OA＝4cm，OB＝3cm，以A，B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A，B两点间的最短绳长．
【答案】（1）3；（2）5cm
【详解】（1）三棱柱的侧面展开图为一个矩形AA′A1′A1，如图所示，
长A1A1′＝2×3＝6，宽AA1＝3，所以AA1′＝＝＝3，即小虫爬行的最短距离是3.
（2）作出三棱锥的侧面展开图，如图，
A，B两点间最短绳长就是线段AB的长度．
在中，∠AOB＝30°×3＝90°，OA＝4cm，OB＝3cm，所以AB＝ ＝5(cm)．
所以此绳在A，B两点间的最短绳长为5cm.