数学平面向量的概念习题

这是一份数学平面向量的概念习题，文件包含人教A版必修第二册高一数学下学期同步精讲精练61平面向量的概念精讲原卷版docx、人教A版必修第二册高一数学下学期同步精讲精练61平面向量的概念精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
6.1.2向量的几何表示
6.1.3相等向量与共线向量
目录
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1：向量的有关概念
题型2：向量的几何表示
角度1：向量的模
角度2：零向量与单位向量
题型3：相等向量与共线向量
角度1：相等向量
角度2：平行向量（共线向量）
一、必备知识分层透析
知识点1：向量的概念
（1）向量
在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
②向量与向量之间不能比较大小.
（2）数量
只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等
（3）向量与数量的区别
①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小
②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).
知识点2：向量的几何表示
(1)有向线段
具有方向的线段叫做有向线段
①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作. 表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.
②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.
（2）向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.
②字母表示:向量可以用字母,,,…表示
（3）向量的模
向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
（4）两种特殊的向量
零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.
单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.
③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
知识点3：相等向量与共线向量
(1)平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
(2)相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
（3）共线向量
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.
共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.
二、重点题型分类研究
题型1：向量的有关概念
典型例题
例题1．下列四个命题正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
例题2．下列命题中，正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
例题3．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若，则； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则；⑤若，，则； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数
A．B．C．D．
同类题型演练
1．下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足且与同向，则；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若∥∥，则∥．
A．0个B．1个
C．2个D．3个
2．下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0B．1C．2D．3
3．下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足，且与同向，则；
③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；
④的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型2：向量的几何表示
角度1：向量的模
典型例题
例题1．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．向量的模是一个正实数
例题2．已知在边长为2的菱形中．．则________.
例题3．若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中在边上运动），则向量的模的最小值为_________.
同类题型演练
1．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么（ ）
A． B．
C．D．与不能比大小
2．已知在边长为2的菱形中，，则
A．1B．C．2D．
3．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________.
角度2：零向量与单位向量
典型例题
例题1．下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
例题2．下列说法正确的是（ ）
A．向量就是有向线段B．单位向量都是相等向量
C．若，则D．零向量与任意向量平行
例题3．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等B．单位向量
C．零向量与任意向量平行D．若向量，满足，则
同类题型演练
1．下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．零向量与任一向量平行
C．零向量是没有方向的D．若两个相等的向量起点相同，则终点必相同
2．（多选）下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同或相反的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
题型3：相等向量与共线向量
角度1：相等向量
典型例题
例题1．如图，在四棱柱的上底面中，，则下列向量相等的是（ ）
A．与B．与
C．与D．
例题2．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
例题3．（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则与可能共线D．若，则一定不与共线
例题4．如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中.
(1)分别写出与、相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)写出与的夹角为的向量；
(5)向量与是否相等？
同类题型演练
1．（多选）若非零向量，，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（多选）设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．与共线
3．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
4．在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：．
角度2：平行向量（共线向量）
典型例题
例题1．已知为平面上四点，则“向量”是“直线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题2．①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线与直线平行．上面说法中正确的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
同类题型演练
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题）
3．已知命题“若，，则”是假命题，则__________.