数学必修 第一册三角函数的应用练习题

这是一份数学必修 第一册三角函数的应用练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A.2π s B.π s C.0.5 s D.1 s
2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节那天某商场的人流量满足函数F (t)＝50＋4sin eq \f(t,2)(t≥0)，则在下列时间段内人流量增加的是( )
A.[0，5] B.[5，10]
C.[10，15] D.[15，20]
3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,6)))，s2＝10cs 2t确定，则当t＝eq \f(2π,3) s时，s1与s2的大小关系是( )
A.s1＞s2 B.s1＜s2
C.s1＝s2 D.不能确定
4.下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
则适合这组数据的函数模型是( )
A.y＝acseq \f(πx,6) B.y＝acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)
C.y＝－acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0) D.y＝acseq \f(πx,6)－3
5.函数y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分别是( )
A.3π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6) B.6π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6)
C.3π，3，－eq \f(π,6) D.6π，3，eq \f(π,6)
6.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k．据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )

A.5 B.6 C.8 D.10
7.有一冲击波，其波形为函数y＝－sin eq \f(πx,2)的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A.5 B.6
C.7 D.8
8.某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度为0.2星等，则下列三角函数中可近似地描述此星星亮度与时间之间关系的是( )
A.y＝0.2sin 10t＋3.8B.y＝3.8sineq \f(π,5)t＋0.2
C.y＝0.2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)t＋φ))＋3.8D.y＝3.8sin 10t＋0.2
9.如图，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时角θ的大小及单摆频率分别是( )

A.2，eq \f(1,π) B．eq \f(1,2)，eq \f(1,π) C．eq \f(1,2)，π D.2，π
10.(多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )

A.该质点的运动周期为0.8 s B.该质点的振幅为－5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
二、填空题
11.某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温值为________℃．
12.如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________
13.如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为____________

14.已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f (x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f (x1)－f (x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为eq \f(π,3)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝________
三、解答题
15.已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4，16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
16.某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如下表：
(1)作出这些数据的散点图；
(2)从y＝ax＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b和y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
参考答案及解析：
一、选择题
1.D 解析：依题意是求函数s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))的周期，T＝eq \f(2π,2π)＝1，故选D．]
2.C 解析：由2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(t,2)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，知函数F (t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z．当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C．
3.C 解析：当t＝eq \f(2π,3)时，s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＝5sineq \f(3π,2)＝－5，当t＝eq \f(2π,3)时，
s2＝10cseq \f(4π,3)＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－5，故s1＝s2．故选C．
4.C 解析：当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝eq \f(－5.9＋22.8,2)＞0．故选C．
5.B 解析：y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期T＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π，振幅为eq \f(1,3)，初相为eq \f(π,6)．故选B．
6.C 解析：由题意可知－3＋k＝2，∴k＝5，从而ymax＝3＋k＝3＋5＝8．故选C．
7.C 解析：由y＝－sin eq \f(πx,2)的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－eq \f(T,4)＝eq \f(7T,4)，即t≥eq \f(7,4)·eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(7,4)·eq \f(2π,\f(π,2))＝7．故选C．
8.C 解析：设所求函数为y＝Asin(ωt＋φ)＋b，依题意得T＝10，ω＝eq \f(π,5)，A＝0.2，b＝3.8，所以解析式可以为y＝0.2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)t＋φ))＋3.8．故选C．
9.B 解析：当t＝0时，θ＝eq \f(1,2)sin eq \f(π,2)＝eq \f(1,2)，由函数解析式易知单摆周期为eq \f(2π,2)＝π，故单摆频率为eq \f(1,π)．
10.AD 解析：由图可知eq \f(3,4)T＝0.6，∴T＝0.8．振幅A＝5 cm，当t＝0.1 s或0.5 s时，v＝0．故选AD．
二、填空题
11.答案：20.5 解析：由题意可知A＝eq \f(28－18,2)＝5，a＝eq \f(28＋18,2)＝23．从而y＝5cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))＋23．故10月份的月平均气温值为y＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×4))＋23＝20.5．
12.答案：y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋\f(π,4))) 解析：由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，
又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝eq \f(2π,0.8)＝eq \f(5,2)π，所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)πt＋φ))，
将点(0.1，2)代入y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋φ))中，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,4)))＝1，
所以φ＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，令k＝0，得φ＝eq \f(π,4)，所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋\f(π,4)))．
13.答案：y＝－6sineq \f(π,6)x，x∈[0，24]
解析：设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6)．
又当x＝9时，ymax＝6，故eq \f(π,6)×9＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z．
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sineq \f(π,6)x，x∈[0，24]
14.答案：－eq \f(\r(2),2) 解析：由条件|f (x1)－f (x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为eq \f(π,3)，结合图象(略)可知函数f (x)的最小正周期为eq \f(2π,3)，则由T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,3)，得ω＝3．又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－eq \f(π,4)，则f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))，于是f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝sineq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(2),2)．
三、解答题
15.解：(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃．所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃．
(2)令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq \f(1,2)．
而x∈[4，16]，所以x＝eq \f(26,3)．
令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq \f(1,2)，而x∈[4，16]，
所以x＝eq \f(34,3)．故该细菌的存活时间为eq \f(34,3)－eq \f(26,3)＝eq \f(8,3)小时．
16.解：(1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．令A>0，ω>0，|φ|