数学必修 第一册正弦函数、余弦函数的图象学案及答案

这是一份数学必修 第一册正弦函数、余弦函数的图象学案及答案，共12页。学案主要包含了正弦函数，“五点法”画函数的图象等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.(重点)2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.(难点)

导语
同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数.
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
问题1 结合所学，研究函数的一般步骤是什么？
提示 先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.
问题2 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)？
提示 如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0=sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).
问题3 我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么方法？
提示 如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然，把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，得到的正弦函数图象越精确(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y=sin x，x∈R的图象.
知识梳理
1.正弦函数的图象叫做正弦曲线.
2.余弦函数的图象叫做余弦曲线.
例1 (多选)下列叙述正确的有( )
A.y=sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称
B.y=cs x，x∈[0，2π]的图象关于直线x=π成轴对称
C.正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
D.正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称
答案 ABC
解析 分别画出函数y=sin x，x∈[0，2π]和y=cs x，x∈[0，2π]的图象(略)，由图象观察可知A，B，C均正确.
反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
跟踪训练1 (多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是( )
A.都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B.都是对称图形
C.都与x轴有无数个交点
D.y=cs x的图象与y=sin x图象的形状和位置都不一样
答案 AD
解析 由正弦、余弦函数的图象知，A，D不正确.
二、“五点(画图)法”画函数的图象
问题4 如何画函数y=sin x，x∈[0，2π]的简图？
提示 根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，-1，(2π，0).
知识梳理 “五点(画图)法”
例2 (课本例1)画出下列函数的简图：
(1)y=1+sin x，x∈[0，2π]；
(2)y=-cs x，x∈[0，2π].
解 (1)按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)：
(2)按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)：
例2 用“五点法”作下列函数的图象：
(1)y=1-2sin x，x∈[0，2π]；
(2)y=cs x+12，x∈[-π，π].
解 (1)列表：
描点连线，画图如下.
(2)列表：
描点连线，画图如下.
反思感悟 作形如y=asin x+b(或y=acs x+b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
跟踪训练2 用“五点法”在同一直角坐标系中画出函数y=-sin x，y=2-cs x在[-π，π]上的图象.
解 列表：
描点连线，画图如下.
三、正弦函数、余弦函数图象的应用
例3 不等式2sin x-1≥0，x∈[0，2π]的解集为( )
A.0，π6B.0，π4
C.π6，πD.π6，5π6
答案 D
解析 因为2sin x-1≥0，所以sin x≥12.
在同一平面直角坐标系下，作出函数y=sin x，x∈[0，2π]以及直线y=12的图象，如图，
由函数的图象知，sinπ6=sin5π6=12.
所以根据图象可知，sin x≥12的解集为π6，5π6.
延伸探究1 在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x-1≥0的解集.
解 在x∈[0，2π]上的解集为π6，5π6.
所以当x∈R时，不等式的解集为
xπ6+2kπ≤x≤5π6+2kπ，k∈Z.
延伸探究2 试求关于x的不等式12