高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案

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如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．你能描述一下该类曲线的特征吗？
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
余弦曲线与正弦曲线完全一样吗？能否通过平移余弦曲线得到正弦曲线？
[提示] 余弦曲线与正弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同．由sin x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))可知，由y＝cs x的图象向右平移eq \f(π,2)个单位可得y＝sin x的图象．并且平移的方法不唯一，如也可向左平移eq \f(3π,2)个单位，得到y＝sin x的图象．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．( )
(2)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称．( )
(3)余弦函数y＝cs x(x∈R)的图象关于原点成中心对称．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2.函数y＝cs x，x∈R图象的一条对称轴是( )
A．x轴B．y轴
C．直线x＝eq \f(π,2)D．直线x＝eq \f(π,3)
B [易知y＝cs x的图象关于y轴对称．故选B.]
3.函数y＝sin x，x∈[0，π]的图象与直线y＝1的交点有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
A [结合y＝sin x，x∈[0，π]的图象可知，直线y＝1与其有且只有一个交点．故选A.]
类型1 正弦函数、余弦函数图象的初步认识
【例1】 (1)下列叙述中正确的个数是( )
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cs x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1个
C．2个 D．3个
(2)函数y＝sin|x|的图象是( )
A B
C D
(1)D (2)B [(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cs x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
(2)y＝sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x＜0，))
结合选项可知B正确．]
1．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
2．正、余弦曲线的对称性
提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x)
B．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))与g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x)
D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x
D [对于选项A，g(x)＝sin(π＋x)＝－sin x，故两函数图象不同；
对于B，f(x)＝－cs x，g(x)＝cs x，故两函数图象不同；
对于C，g(x)＝sin(－x)＝－sin x，故两函数图象不同；D中f(x)＝sin(2π＋x)＝sin x＝g(x)，符合题意，故选D.]
类型2 用“五点法”作三角函数的图象
【例2】 (对接教材P199例题)用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cs x(0≤x≤2π)．
y＝sin x及y＝cs x的图象分别由哪五个关键点决定？能否借助这五个关键点作出相应函数的图象？
[解] (1)①取值列表如下：
②描点连线，如图所示．
(2)①取值列表如下：
②描点连线，如图所示．
用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acs x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，y2))，(π，y3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，y4))，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b(y＝Acs x＋b)(A≠0)的图象．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．用“五点法”画出函数y＝eq \f(1,2)＋sin x，x∈[0,2π]的图象．
[解] 取值列表如下：
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
类型3 正弦(余弦)函数图象的应用
【例3】 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sin x≥eq \f(1,2)；(2)cs x≤eq \f(1,2).
[解] (1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z.
(2)作出余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2kπ，\f(5π,3)＋2kπ))，k∈Z.
利用三角函数图象解sin x>a(或cs x>a)的3个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cs x)的图象．
(2)确定sin x＝a(或cs x＝a)的x值．
(3)确定sin x>a(或cs x>a)的解集．
提醒：解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．在(0,2π)内，使sin x>cs x成立的x的取值范围是______．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4))) [在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0,2π)与y＝cs eq \a\vs4\al(x)，eq \a\vs4\al(x)∈(0,2π)的图象如图所示，
由图象可观察出当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))时，sin x>cs x．]
1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是( )
B [y＝sin(－x)＝－sin x与y＝sin x关于x轴对称．]
2．(多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，正确的是( )
A．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
[答案] BCD
3．满足sin x＝0在区间[－2π，2π]上的x的值有( )
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
B [如图，在[－2π，2π]上使sin x＝0的x值共有5个，故选B.
]
4．要得到y＝cs x，x∈[－2π，0]的图象，只需将y＝cs x，x∈[0,2π]的图象向________平移________个单位长度．
左 2π [向左平移2π个单位长度即可．]
5．在[0,2π]内，不等式sin x<－eq \f(\r(3),2)的解集为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(5π,3))) [由图可知，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(5π,3)))时，不等式sin x<－eq \f(\r(3),2)成立．
]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．画正(余)弦曲线的五个关键点分别是什么？
[提示] 正弦曲线：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
余弦曲线：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦曲线与余弦曲线的形状相同吗？如何由正弦曲线平移得到余弦曲线？
[提示] 相同，把正弦曲线向左平移eq \f(π,2)个单位即可得出余弦曲线．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点)
2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点)
3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点)
1．通过做正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．借助图象的综合应用，提升数学运算素养.
函数
y＝sin x
y＝cs x
图象
图象画法
五点法
五点法
关键五点
(0,0)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)
(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，
(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，
(2π，1)
正(余)弦曲线
正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线
对称中心
对称轴
y＝sin x(x∈R)
(kπ，0)，k∈Z
x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
y＝cs x(x∈R)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
－1＋cs x
0
－1
－2
－1
0
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
(或cs x)
0(或1)
1(或0)
0(或－1)
－1
(或0)
0(或1)
y
b
(或A＋b)
A＋b
(或b)
b
(或－A＋b)
－A＋b
(或b)
b
(或A＋b)
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
eq \f(1,2)＋sin x
eq \f(1,2)
eq \f(3,2)
eq \f(1,2)
－eq \f(1,2)
eq \f(1,2)