高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数函数精练

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第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：对数函数的概念
1、对数函数的概念
一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.
判断一个函数是对数函数的依据
（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.
2、两种特殊的对数函数
特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.
知识点二：对数函数的图象及其性质
函数的图象和性质如下表：
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
对数函数（且），其中为常数，为自变量．
对于选项A，符合对数函数定义；
对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数；
对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数；
对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．
故选：A．
2．判断正误．
（1）函数（，且）的图象过定点．( )
（2）函数（，且）在上是单调函数．( )
（3）由函数的图象向左平移1个单位可得的图象．( )
【答案】 正确 正确 错误
（1）由对数函数图象可知过定点，故正确；
（2）函数（，且），当时，在上是单调增函数，当时，在上是单调减函数，故正确；
（3）函数的图象向左平移1个单位可得的图象，故错误.
3．判断正误．
（1）函数与互为反函数．( )
（2）与的图象关于对称．( )
【答案】 错误 正确
（1）函数的反函数为，故结论错误．
（2）因为与互为反函数，所以它们的图象关于对称，故结论正确．
4．函数的定义域是( )
A． B． C． D．
【答案】B
由得
所以的定义域为
故选：B．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：对数函数的概念
典型例题
例题1．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
【答案】C
根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
例题2．给出下列函数：①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
故选:A.
同类题型演练
1．函数 为对数函数，则等于
A．3B．C．D．
【答案】B
因为函数 为对数函数，所以函数系数为1，即即或，
因为对数函数底数大于0，所以，，所以．
2．下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝lgxa(x>0且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．
D．y＝lg5x
【答案】D
A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．
故选：D.
3．下列函数是对数函数的是（ ）
A．y＝ln xB．y＝ln(x＋1)
C．y＝lgxeD．y＝lgxx
【答案】A
A是对数函数，B中真数是，不是，不是对数函数，C中底数不是常数，不是对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数．
故选：A．
重点题型二：与对数函数有关的函数图象
典型例题
例题1．函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
求可得或，解得或，排除BCD；
故选：A
例题2．当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.
故选：B
例题3．设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
函数，单调性相同，同增或者同减，故A错.
①若,，在定义域内单调递减，，令时，
如图C，若，则，此时的渐近线为，由图，解得，但此时这与与轴交点矛盾，故C错.
如图D，解得，无意义，故D错.
②若时，，在定义域内单调递增，当时，，且时，，此时B符合.选项B符合
故选:B
同类题型演练
1．函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
函数为上的减函数，排除AB选项，
函数的定义域为，
内层函数为减函数，外层函数为增函数，
故函数为上的减函数，排除D选项.
故选：C.
2．已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
∵（且，且），
∴，∴，
∴，函数与函数互为反函数，
∴函数与的图象关于直线对称，且具有相同的单调性.
故选：B．
3．在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足.
故选：B.
重点题型三：与对数函数有关的定义域问题
典型例题
例题1．函数的定义域为（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
解：由题可知，即，解得或.
故函数的定义域为.
故选：D.
例题2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：因为，所以的定义域为，
由题得，所以或.
所以函数的定义域为.
故选：B
同类题型演练
1．若函数的定义域为，则（ ）
A．3B．3C．1D．1
【答案】A
由，得，
由题意可知上式的解集为，
所以为方程的一个根，
所以，得，
故选：A
2．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由解得：．
故选：B．
重点题型四：与对数函数有关的值域问题
典型例题
例题1．已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为，所以，所以，
故选：D
例题2．函数的值域是________.
【答案】
令，则，
因为，
所以的值域为，
因为在是减函数，
所以，
所以的值域为，
故答案为：
例题3．函数，则函数的值域为___________.
【答案】
由已知函数的定义域为
又，定义域需满足，
令，因为 ，
所以，
利用二次函数的性质知，函数的值域为
故答案为：.
同类题型演练
1．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由对数函数的值域为，向右平移2个单位得函数的值域为，
则的值域为，
故选：A.
2．若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.
【答案】
因为的最大值为0，所以应有最小值1，因此应有解得.
故答案为：.
3．函数的值域是_____________．
【答案】
，故
故答案为：
重点题型五：指数函数与对数函数关系的应用
典型例题
例题1．方程的解________．
【答案】0
由方程：化简可得.故答案为0.
例题2．若关于的方程有解，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
，
，
当且仅当时取等号，
故．
故选：C．
同类题型演练
1．方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由题得.
故选：A
2．若方程有解，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
若方程有解，则有解，
即有解．
∵，
当且仅当，
即时，等号成立，
∴的最小值为1，
故选：B．
重点题型六：对数函数的单调性及应用
角度1：利用对数函数的单调性比较大小
典型例题
例题1．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
因为为减函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
所以.
故选：D
例题2．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
因为，，，
又由对数函数的性质:当时，底数越大，图像越低，可得，
所以.
故选: D.
例题3．下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】C
对于A，因为是单调递增函数，所以，故A错误；
对于B，因为是单调递减函数，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，当时，是单调递减函数，当时，是单调递增函数，
所以当时，，当时，，故D错误.
故选：C.
例题4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：，
，
，
所以.
故选：D.
角度2：利用对数函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．函数的定义域是___.
【答案】
因为函数，
所以 ，即，
解得 ，
所以函数的定义域是，
故答案为：
例题2．函数的定义域为___________.
【答案】
函数要满足：，解得：，故定义域为：
故答案为：
例题3．不等式的解集为______.
【答案】
由，可得，
所以，
解得：或，
不等式的解集为.
故答案为：.
角度3：对数型复合函数的单调性的问题
典型例题
例题1．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
由题知的定义域为，
令，则，函数单调递增，
当时，关于单调递减，关于单调递减，
当时，关于单调递增，关于单调递增，
故的递增区间为．
故选：D．
例题2．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
例题3．函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
由，
二次函数的对称轴为：，
所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，
而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：
函数的单调增区间为，
故选：C
同类题型演练
1．已知，且，成立的充分而不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
当时，在为单调递增函数，则恒成立，
当时，在为单调递减函数，
由，可得，解得，
综上使成立a的范围是，
由题意： “选项”是使 “”成立的充分而不必要条件，
所以由“选项”可推出 “”成立，反之不成立，
分析选项可得，只有A符合题意，
故选：A
2．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
方法一 :
由得，
则，解得或.
方法二 :
根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，
设，则，
在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，
则在上为增函数，
，
解得或，
故选：D．
3．不等式的解集为___________.
【答案】
由题设，可得：，则，
∴不等式解集为.
故答案为：.
4．已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．
【答案】
因为，所以，而，则，于是.
故答案为：.
4．函数的一个单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
函数的定义域为.
要求函数的一个单调增区间，
只需求的增区间，只需.
所以.
所以函数的一个单调增区间是.
故选：C
5．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因为在单调递增，要满足题意，只需：
，且，解得.
故函数的单调递增区间为.
故选：.
6．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由题意，，，按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是.
故选：A.
重点题型七：与对数函数图象有关的综合问题
典型例题
例题1．已知函数恒过定点，则函数的单调递增区间为______．
【答案】##
因为函数恒过定点，所以，
所以，
所以的单调递增区间为.
故答案为：.
例题2．已知函数的图象如图，则________．
【答案】8
由图像可得：过点和，则有：，解得．
∴．
故答案为：８．
例题3．函数（，且）恒过定点，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
由题意，函数，
当时，即时，可得，即函数恒经过点，
又因为恒经过点，可得，解得，
所以.
故选：C.
例题4．若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由于是上的奇函数，所以，
所以为减函数，所以，
所以，为上的减函数，，
所以BCD选项错误，A选项正确.
故选：A
同类题型演练
1．函数的图像恒过定点的坐标为_________.
【答案】(1,2)
令得：，
此时，
所以函数的图象恒过定点，
故答案为：．
2．已知，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
解：图像如图所示:
根据图象得：的解为，
将换成得.
故选：C.
3．已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上选项均有可能
【答案】C
作出函数的图象，如图：
由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故选：C
4．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
重点题型八：与对数函数相关的综合问题
典型例题
例题1．已知函数 在上单调递减，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为函数 在上单调递减，
所以函数在上单调递增，且在上恒成立，
所以，解得.
故选：B
例题2．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为函数为奇函数，
所以，又，，
所以不等式，可化为，
即，
又因为在上单调递增，
所以在R上单调递增，
所以，
解得.
故选：D.
例题3．若，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
因，则，又，即有，
于是得，因此，
所以.
故选：A
例题4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是______．
【答案】
根据题意，当时，根据二次函数知识，开口向下的二次函数，对称轴，则在上为减函数，又由为奇函数，则在上为减函数，且，故在上为减函数，由，得，即，解得，即实数的取值范围为．
故答案为：
例题5．函数没有最小值， 则的取值范围是______．
【答案】
解：令，则外函数为，
因为在定义域上单调递增，
要使函数没有最小值，
即的值域能够取到，且不恒小于等于，
当时，符合题意，
当时开口向下，只需，解得，即；
当时开口向上，只需，解得，即；
综上可得，即；
故答案为：
例题6．已知函数其中是常数.
(1)当时，求的值；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)解得：
(2)，恒成立，
恒成立，
不妨设，设，则在 上是增函数，
.
的取值范围为.
例题7．已知函数．
(1)设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求的取值范围；
(2)若函数有且仅有一个零点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
（1）由复合函数的单调性易知函数为减函数，由题得，即，化简得，则，∵若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，∴，令，，∴，故的取值范围为．
（2）∵有且仅有一个零点，∴方程有且仅有一个解；由，得，即，即，①则，即，②当时，方程②的解为，代入①成立；当时，方程②的解为，代入①成立；当且时，方程②的解为或，若是方程①的解，则，即，若是方程①的解，则，即，要使方程①有且仅有一解，则，综上所述，的取值范围为．
例题8．已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)若，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)因为定义域为，
则
设，
令，
所以值域为
(2)设，
因为
所以
即，
即，所以
则的两根为
整理得
因为
解得
再由韦达定理可得:
则

解得
综上，
第五部分：新 定 义 问 题
1．瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中与的值保持不变），经计算，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由题意知：，，则.
故选：A.
2．首位数定理：在进位制中，以数字为首位的数出现的概率为，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：，）
A．存款金额的首位数字是1的概率约为
B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%
C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率
D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%
【答案】D
因此存款金额用十进制计算，故，
对于A，存款金额的首位数字是1的概率为，故A错误.
对于B，存款金额的首位数字是5的概率为
，
故不约为9.7%，故B错误.
对于C，存款金额的首位数字是6的概率为，
存款金额的首位数字是7的概率为，
因为，故，故C错误.
对于D，存款金额的首位数字是8的概率为，
存款金额的首位数字是9的概率为，
故存款金额的首位数字是8或9的概率为，
故D正确.
故选：D.
3．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（ ）
A．28hB．28.5hC．29hD．29.5h
【答案】B
解：根据题意可得，
则当时，
，
所以，
即当放电电流，放电时间为28.5h.
故选：B.
4．区块链作为一种革新技术，已经被应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定为比特，则密码一共有种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行次运算，现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（ ）参考数据：，
A．秒B．秒C．秒D．秒
【答案】A
由题意知：所需时间，
，
.
故选：A.
5．法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“（为素数）”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现个“梅森素数”，可以估计，这个“梅森素数”的位数为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
依题意，，故这个“梅森素数”有位，
故选：C.
4.4对数函数（精练）
A夯实基础
一、单选题
1．函数，已知，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
由，可得，
∴，.
故选：B.
2．已知函数且，则该函数图象恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：因为函数经过定点
所以函数且的图象经过定点.
故选：B
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因为，所以，
因为，所以，
因为，即，
所以.
故选：C
4．已知是奇函数，当时，，若，则( )
A．B．C．2D．1
【答案】C
由题可知，
∴．
故选：C．
5．已知在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
在上为单调递增函数；
，解得；
实数的取值范围为．
故选：B．
6．若对任意的实数，不等（）恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
当时，要使得不等式有意义，
需要在恒成立，可得，
此时不等式恒成立等价于恒成立，
即.令，则，且，
所以.
因为在上单调递减，
所以，当时，取得最大值为1，
所以实数m的取值范围是.
故选：C.
7．函数（且）在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
当时，则在定义域上递减，不满足题设；
当时，则在定义域上递增，又在上是增函数，
所以，可得，即.
由，故在上递增，
所以的取值范围是.
故选：A
8．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（ ）
①是区间上的平均值函数，0是它的均值点；
②函数在区间上是平均值函数，它的均值点是5；
③函数在区间（其中）上都是平均值函数；
④若函数是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
根据题意，依次分析题目中的四个结论：
对于①，若是区间上的平均值函数，设其均值点为n，
则有，解可得n＝0，即0是它的均值点，①正确；
对于②，若函数在区间上是平均值函数，设其均值点为n，
则有，解可得n＝5或－1（舍），即5是它的均值点，②正确，
对于③，取，则由平均值函数定义可得，解得，，故③错误；
对于④，若函数是区间上的平均值函数，
则关于x的方程在内有实数根，
而，解得x＝m－1，x＝1（舍），
则x＝m－1必为均值点，即，即实数m的取值范围是，④正确；
其中①②④正确.
故选：C．
二、多选题
9．已知函数，（ ）
A．该函数的定义域
B．当时，该函数的单增区间是
C．当时，该函数的单增区间是
D．该函数的值域为R
【答案】ABCD
A选项，，解得：或，故函数的定义域，A正确；
B选项，当时，由于单调递增，故位于轴上方的单调递增区间即为该函数的单增区间，故该函数的单增区间是，B正确；
C选项，当时，由于单调递减，故位于轴上方的单调递减区间即为该函数的单增区间，故该函数的单增区间是，C正确；
D选项，能取到的任何值，故该函数的值域为R，D正确.
故选：ABCD
10．已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．若的定义域为R，则
B．若的值域为R，则或
C．若，则的单调减区间为
D．若在上单调递减，则
【答案】BD
对于A，若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误；
对于B，若的值域为R，则，所以或，所以B正确：
对于C，若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以C错误；
对于D，若在上单调递减，则且，所以，所以D正确．
故选：BD
三、填空题
11．函数的定义域是__________．
【答案】
对于函数，由，即，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
12．已知函数的定义域为，且对任意实数，都满足，则实数___________；
【答案】1
因为的定义域为R，所以恒成立，
故，
又因为对任意实数，都满足，
则对于实数，都满足，
所以，
所以为偶函数，
从而，
化简得：，
要想对任意，上式均成立，则，解得：
故答案为：1
四、解答题
13．已知函数为偶函数．
(1)求a的值，并证明在上单调递增；
(2)求满足的x的取值范围．
【答案】(1)；证明见解析(2)
(1)解：由题意函数为偶函数，
∴，即
∴对任意恒成立，解得．
∴
任取，则
由，可得，
∴，即，
∴在上单调递增．
(2)由偶函数的对称性可得在上单调递减，
∴，
∴，解得，
∴满足的x的取值范围是．
14．函数.
(1)证明；
(2)画出函数的图象.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(1)，
故.
(2)由（1）可得的图象关于直线对称，
当时，，
故的图象如图所示：
B能力提升
1．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（ ）
A．2566B．2567C．2568D．2569
【答案】B
由题可知，．
因为，所以，
所以的整数部分为2567．
故选：B.
2．2019年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第43届世界遗产大会上，随着木槌落定，良渚古城遗址成功列人《世界遗产名录》，这座见证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界文明舞台上的“高光时刻”，标志着良渚是实证中华五千多年文明史的圣地，得到了世界的广泛认同.2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检查测出碳14的残留量约为初始值的55.2%，已知死亡生物体内碳14的含量y与生物死亡年数x之间符合，其中k为死亡生物碳14的初始量.据此推断，此水坝大约是距2010年之前（ ）年建造的.
参考数据∶
A．4912B．4930C．4954D．4966
【答案】D
依题意，
两边乘以得，
两边取以为底的对数得，
，，
，.
故选：D
3．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数满足，且当时的解析式为，则函数在的图象与直线围成封闭图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题意知：关于对称，而，且，，
∴在，、及的图象如下，
∴将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，可得到图示：由x轴、y轴、、所围成的矩形的面积，
∴函数在的图象与直线围成封闭图形的面积为.
故选：C
C综合素养
1．已知函数（且）的图象过点．
(1)求a的值；
(2)若，求的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间．
【答案】(1)
(2)定义域为，在上单调递增，单调递增区间为
(1)解：（1）由条件知，即，又且，∴．
（2）．①由，得
，∴的定义域为．∵，
∴是偶函数；②，
∵函数单调递增，函数在上单调递增，故的单调递增区间为．
2．已知函数，，且.
(1)求的值；
(2)求的定义域；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)；(2)或；(3)或.
(1)由题可知，又因为，即，
所以.
(2)由知，，
若使有意义，只须，
解得或，
所以函数的定义域为或.
(3)由对数函数的单调性可得：
由，解得或，
由，解得，
所以或，
不等式的解集为或.
3．已知，函数.
(1)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)由即
等价于 ,即
当时，，经检验，满足题意.当时，，经检验，满足题意.
当且时，是原方程的解当且仅当，
即是原方程的解当且仅当，即.于是满足题意的.
综上，的取值范围为.
(2)当时，，所以在
上单调递减，函数在区间上的最大值与最小值分别为.
即
对任意成立.因为，
所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得.
故的取值范围为底数
图象
性质
定义域
值域
单调性
增函数
减函数