高中数学对数同步训练题

这是一份高中数学对数同步训练题，文件包含人教A版必修一数学高一上册同步讲与练43对数原卷版docx、人教A版必修一数学高一上册同步讲与练43对数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：对数概念
1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.
特别的：规定,且的原因：
①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.
②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
2、常用对数与自然对数
①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为
②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作
说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
知识点二：指数式与对数式的相互转化
当且，
知识点三：对数的性质
①负数和零没有对数.
②对于任意的且,都有，，；
③对数恒等式: （且）
知识点四：对数的运算性质
当且，,
①
②
③（）
④（）
⑤（）
知识点五：对数的换底公式
换底公式：（且，，，且）
特别的：
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．判断正误．
（1）由换底公式可得．( )
（2）．( )
（3）．( )
2．判断正误．
（1）因为，所以．( )
（2）是与N的乘积．( )
（3）使对数有意义的a的取值范围是．( )
3．计算等于( )
A． B． C．1 D．2
4．的值为( )
A． B．2 C． D．
5．计算等于( )
A． B．8 C．6 D．1
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：对数的概念
典型例题
例题1．函数 为对数函数，则等于
A．3B．C．D．
例题2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
例题3．使有意义的实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
同类题型演练
1．在中，实数a的取值范围是
A．B．C．D．
2．使式子有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
3．方程的解为________．
重点题型二：对数运算
典型例题
例题1．（ ）
A．4B．3C．2D．1
例题2．求值
同类题型演练
1．化简____________
2．化简求值：
(1)；
(2).
重点题型三：指数式与对数式的相互转化
典型例题
例题1．求下列各式中的值：
(1)；(2)；(3)；(4)．
例题2．已知，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．6
例题3．若，，则（ ）
B．
C．D．
同类题型演练
1．若，，则_______．
2．已知，则，则A等于__________．
3．已知，，
(1)用，表示；
(2)求
重点题型四：对数运算性质的应用
典型例题
例题1．设，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．计算下列各题：
(1)已知，求的值；
(2)求的值.
同类题型演练
1．已知，，，则的最小值是___________.
2．计算：___________．
3．若，则__________
重点题型五：换底公式的应用
典型例题
例题1．若，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．若，则___________.
同类题型演练
1．计算：_____
2．______．（用数字作答）
3．设，，把用含，的式子表示，形式为___________.
4．已知，用m，n表示为___________.
重点题型六：有附加条件的对数求值问题
典型例题
例题1．已知，则下列不等关系正确的有（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）设都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
例题3．若，且，则_____________．
同类题型演练
1．已知且，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）已知，则a，b满足（ ）
A．B．C．D．
重点题型七：对数的实际运用
典型例题
例题1．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为（k＝1，2）.已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得，，由此可知的近似值为（ ）
A．－1.519B．－1.726C．－1.609D．－1.316
同类题型演练
1．一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（ ）（）
A．11.3B．13.2C．15.6D．17.1
2．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（ ）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
第五部分：新 定 义 问 题
1．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则的增长率为（ ）（，）
A．B．C．D．
2．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：，，）（ ）
A．3.5分钟B．4.5分钟C．5.5分钟D．6.5分钟
3．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，若碳14含量与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的85%，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：
参考时间轴：
A．宋代B．唐代C．汉代D．战国时期
4.3对数（精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．2
2．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（ ）
A．4B．C．7D．
3．方程的解是（ ）
A．1B．2C．eD．3
4．化简的值为（ ）
A．B．C．D．-1
5．已知．若，则a＝（ ）
A．2B．C．D．
6．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．20%B．23%C．28%D．50%
7．科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中，.当时，.若一个正整数的15次方是11位数，那么这个数是（ ）（参考数据：，）
A．4B．5C．6D．7
8．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，分钟、分钟后测得这杯茶的温度分别为、，给出三个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（ ）（参考数据：，）
A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟
二、多选题
9．甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知正实数x，y，z满足，则下列正确的选项有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．已知实数满足，则的最小值是_______．
12．解指数方程：__________.
四、解答题
13．（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
14．化简求值
（1）；
（2）；.
（3）；．
（4）.
B能力提升
1．若，则（1）_______；（2）________.
2．若，，则___________，___________.
3．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则____，_____．
4．已知，若，且，则______；______.
C综合素养
1．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：，．
(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
2．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．
(1)求森林面积的年增长率；
(2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
(3)为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，）