人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示课后测评

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示课后测评，共10页。试卷主要包含了我们称等内容，欢迎下载使用。
A.30°B.45°
C.60°D.90°
2.已知平面α的一个法向量为n=(-3,-2,1),点A(-1,2,1)在平面α内.若点P的坐标为(-1,1,1),则直线PA与平面α所成的角为( )
A.π6B.π4
C.π3D.5π12
3.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,平面α经过点B,D,平面β经过点A,D1,当平面α,β分别截正方体所得截面面积最大时,平面α与平面β夹角的余弦值为( )
A.53 B.23 C.12 D.13
4.如图,在由三棱柱截得的几何体ABC⁃A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AB⊥AC,AA1=2,BB1=CC1=1,AC=2,
点D,E,F分别是棱B1C1,A1C1,BB1的中点.若直线A1D与EF所成角的余弦值为39,则AB=( )
A.1B.2
C.2D.4
5.如图,在正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,底面边长为2,直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13,则正四棱柱的高为( )
A.1B.2
C.3D.4
6.我们称:两个相交平面构成四个二面角,其中较小的二面角称为这两个相交平面的夹角;由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”.则在正方体中,两个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
7.(多选)如图,△ABC内接于圆O,AB为圆O的直径,AB=4,BC=2,CD⊥平面ABC,E为AD的中点,若三棱锥D⁃BEC的体积为2,则下列结论正确的有( )
A.异面直线BE与AC所成角的余弦值为3010
B.直线BD与平面BCE所成角的余弦值为64
C.点A到平面BCE的距离为6
D.平面BCE与平面ABD夹角的大小为π3
8.(5分)设平面α的一个法向量为n=(a,0,1),直线l的一个方向向量为d=(3,-4,0),若直线l与平面α所成的角为π6,则正数a= .
9.(5分)在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE夹角的余弦值为 .
10.(5分)如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AA1=2,AC=2,过BC的中点D作平面ACB1的垂线,交平面ACC1A1于点E,则BE与平面ABB1A1所成角的正切值为 .
11.(10分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=2BC=2AB=4,PA=2,且∠ABC=60°,
点E为棱PD上一点(不与P,D重合),平面BCE交棱PA于点F.
(1)求证:BC∥EF;(3分)
(2)若E为PD中点,求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值.(7分)
12.(15分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,AD∥BC,AD⊥PD,平面PAD⊥平面PCD,设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)求证:平面PBC⊥平面PCD;(6分)
(2)已知AD=PD=DC=2,PC=23.若直线l与直线AB所成的角为π4,求直线l与平面PAB所成角的正弦值.(9分)
13.(15分)(2024·新课标Ⅱ卷)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=53,∠ADC=90°,∠BAD=30°,
点E,F满足AE=25AD,AF=12AB,将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=43.
(1)证明:EF⊥PD;(6分)
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.(9分)
课时检测(十一)
1．选D 因为n1·n2＝0，所以α⊥β，所以α与β的夹角为90°.
2．选B 由题得eq \(PA,\s\up6(―→))＝(0,1,0)，则n·eq \(PA,\s\up6(―→))＝(－eq \r(3)，－2,1)·(0,1,0)＝－2.设直线PA与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cs〈n，eq \(PA,\s\up6(―→))〉|＝eq \f(|n·\(PA,\s\up6(―→))|,|n||\(PA,\s\up6(―→))|)＝eq \f(\r(2),2)，因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq \f(π,4).
3.选C 如图，因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面BDD1B1与平面ABC1D1夹角的余弦值，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，平面α与平面β的夹角为θ，因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，且AC⊥BD，BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，同理B1C⊥平面ABC1D1.所以eq \(AC,\s\up6(―→))为平面BDD1B1的一个法向量，eq \(B1C,\s\up6(―→))为平面ABC1D1的一个法向量．又A(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－1,1,0)，eq \(B1C,\s\up6(―→))＝(－1,0，－1)，则cs θ＝eq \f(|\(AC,\s\up6(―→))·\(B1C,\s\up6(―→))|,|\(AC,\s\up6(―→))||\(B1C,\s\up6(―→))|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2).故选C.
4.选A 以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝x(x>0)，则A1(0,0,2)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(3,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，0，\f(1,2)))，B1(x,0,1)，C1(0,2,1)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，1，1))，eq \(A1D,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，1，－1))，eq \(EF,\s\up6(―→))＝(x，－1，－1)，所以直线A1D与EF所成角的余弦值|cs〈eq \(A1D,\s\up6(―→))，eq \(EF,\s\up6(―→))〉|＝eq \f(|\(A1D,\s\up6(―→))·\(EF,\s\up6(―→))|,|\(A1D,\s\up6(―→))||\(EF,\s\up6(―→))|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)－1＋1)),\r(\f(x2,4)＋2)·\r(x2＋2))＝eq \f(\r(3),9)，解得x＝1(舍负)，故选A.
5.选D 以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角所在直线坐标系，如图所示，设DD1＝a(a>0)，则A(2，0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0，a)，C1(0,2，a)，故eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－2，2,0)，eq \(AD1,\s\up6(―→))＝(－2,0，a)，eq \(CC1,\s\up6(―→))＝(0，0，a)，设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(―→))＝－2x＋2y＝0，,n·\(AD1,\s\up6(―→))＝－2x＋az＝0，))可取n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(2,a)))，故cs〈n，eq \(CC1,\s\up6(―→))〉＝eq \f(n·\(CC1,\s\up6(―→)),|n||\(CC1,\s\up6(―→))|)＝eq \f(2,a·\r(\f(4,a2)＋2))＝eq \f(2,\r(2a2＋4)).
又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为eq \f(1,3)，∴eq \f(2,\r(2a2＋4))＝eq \f(1,3)，解得a＝4(舍负)．
6.选A 平面ABCD和平面ADD1A1的夹角为90°，D错误．平面ABCD和平面A1BCD1的夹角为45°，B错误．设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0,0)，B(1,1,0)，C(0，1,0)，D1(0,0,1)，eq \(AB,\s\up6(―→))＝(0,1,0)，eq \(BD1,\s\up6(―→))＝(－1，－1，1)，设平面ABC1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(AB,\s\up6(―→))＝y1＝0，,m·\(BD1,\s\up6(―→))＝－x1－y1＋z1＝0，))故可取m＝(1,0,1).eq \(CB,\s\up6(―→))＝(1,0,0)，设平面A1BCD1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CB,\s\up6(―→))＝x2＝0，,n·\(BD1,\s\up6(―→))＝－x2－y2＋z2＝0，))故可取n＝(0,1,1)，设平面ABC1D1与平面A1BCD1的夹角为θ，则cs θ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m·n,|m||n|)))＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，由于0°≤θ≤90°，所以θ＝60°，所以C错误．所以夹角大小不可能为30°.
7．选AC 因为AB为圆O的直径，且AB＝4，BC＝2，所以△ABC为直角三角形，
AC＝2eq \r(3)，设CD＝h，由E为AD的中点可得VD­BEC＝eq \f(1,2)VD­ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)h·eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2＝2，
解得h＝2eq \r(3).以C为坐标原点，CA，CB，CD所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，如图所示，则C(0,0,0)，A(2eq \r(3)，0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,2eq \r(3))，E(eq \r(3)，0，eq \r(3))，eq \(CA,\s\up6(―→))＝(2eq \r(3)，0,0)，eq \(BE,\s\up6(―→))＝(eq \r(3)，－2，eq \r(3))，eq \(BD,\s\up6(―→))＝(0，－2，2eq \r(3))，eq \(CE,\s\up6(―→))＝(eq \r(3)，0，eq \r(3))．
对于A，易知cs〈eq \(CA,\s\up6(―→))，eq \(BE,\s\up6(―→))〉＝eq \f(6,2\r(3)×\r(10))＝eq \f(\r(30),10)，所以异面直线BE与AC所成角的余弦值为eq \f(\r(30),10)，A正确；对于B，设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CE,\s\up6(―→))＝0，,n·\(BE,\s\up6(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\r(3)z＝0，,\r(3)x－2y＋\r(3)z＝0，))取x＝1，y＝0，z＝－1，n＝(1,0，－1)．设BD与平面BCE所成的角为θ，则sin θ＝|cs〈eq \(BD,\s\up6(―→))，n〉|＝eq \f(|\(BD,\s\up6(―→))·n|,|\(BD,\s\up6(―→))||n|)＝eq \f(2\r(3),4×\r(2))＝eq \f(\r(6),4)，B不正确；对于C，点A到平面BCE的距离为eq \f(|\(CA,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝eq \f(2\r(3),\r(2))＝eq \r(6)，C正确；对于D，设平面ABD的法向量为m＝(a，b，c)，eq \(DA,\s\up6(―→))＝(2eq \r(3)，0，－2eq \r(3))，eq \(DB,\s\up6(―→))＝(0,2，－2eq \r(3))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(DA,\s\up6(―→))＝0，,m·\(DB,\s\up6(―→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2\r(3)a－2\r(3)c＝0，,2b－2\r(3)c＝0，))取c＝1，b＝eq \r(3)，a＝1，m＝(1，eq \r(3)，1)，m·n＝0，所以平面BCE与平面ABD夹角的大小为eq \f(π,2)，D不正确．故选AC.
8．解析：依题意可得|cs〈n，d〉|＝eq \f(|3a|,5\r(a2＋1))＝sin eq \f(π,6)，即eq \f(|3a|,5\r(a2＋1))＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(5\r(11),11)(舍负)．
答案：eq \f(5\r(11),11)
9．解析：以D为坐标原点，建系如图，
则B(1,2,0)，C1(0,2,2)，A(1,0,0)，E(0,2,1)，所以eq \(BC1,\s\up6(―→))＝(－1，0,2)，eq \(AE,\s\up6(―→))＝(－1,2,1)．则cs〈eq \(BC1,\s\up6(―→))，eq \(AE,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\r(30),10)，所以异面直线BC1与AE夹角的余弦值为eq \f(\r(30),10).
答案：eq \f(\r(30),10)
10．解析：由题可知，AA1⊥AB，AA1⊥AC，AB⊥AC，故以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(eq \r(2)，0,0)，B(0,0,2)，A1(0,2,0)，B1(0,2,2)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0，1))，eq \(AB1,\s\up6(―→))＝(0,2,2)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(eq \r(2)，0,0)，连接AC1与CA1交于点E′，连接DE′，则E′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1，0))，eq \(DE′,\s\up6(―→))＝(0,1，－1)，易知平面ABB1A1的一个法向量为eq \(AC,\s\up6(―→))＝(eq \r(2)，0,0)．
因为eq \(AB1,\s\up6(―→))·eq \(DE′,\s\up6(―→))＝2×1＋2×(－1)＝0，eq \(AC,\s\up6(―→))·eq \(DE′,\s\up6(―→))＝0，所以AB1⊥DE′，AC⊥DE′，所以DE′⊥平面ACB1，即点E与点E′重合，所以eq \(BE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1，－2)).设BE与平面ABB1A1所成的角为θ，则sin θ＝|cs〈eq \(BE,\s\up6(―→))，eq \(AC,\s\up6(―→))〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(BE,\s\up6(―→))·\(AC,\s\up6(―→)),|\(BE,\s\up6(―→))||\(AC,\s\up6(―→))|)))＝eq \f(1,\r(11))，所以cs θ＝eq \f(\r(10),\r(11))，故tan θ＝eq \f(\r(10),10).
答案：eq \f(\r(10),10)
11．解：(1)证明：因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.
(2)取BC中点为M，连接AM，
因为AB＝BC，且∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AM⊥BC，又AD∥BC，
所以AM⊥AD.
以A为原点，以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0,0,0)，C(eq \r(3)，1,0)，E(0，2,1)，所以eq \(AE,\s\up6(―→))＝(0,2,1)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(eq \r(3)，1,0)．
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AE,\s\up6(―→))·n＝2y＋z＝0，,\(AC,\s\up6(―→))·n＝\r(3)x＋y＝0，))令x＝eq \r(3)，
则y＝－3，z＝6，得n＝(eq \r(3)，－3,6)．
因为AM⊥平面PAD，所以平面PAD的一个法向量m＝(1,0,0)，
设平面ACE与平面PAD的夹角为θ，
则cs θ＝|cs〈m，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m·n,|m||n|)))＝eq \f(1,4).
12．解：(1)证明：因为平面PAD⊥平面PCD，且其交线为PD，AD⊥PD，AD⊂平面PAD，故AD⊥平面PCD.又AD∥BC，所以BC⊥平面PCD，BC⊂平面PBC.所以平面PBC⊥平面PCD.
(2)因为AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.又平面PAD∩平面PBC＝l，AD⊂平面PAD，所以l∥AD.
由直线l与直线AB所成的角为eq \f(π,4)，知∠DAB＝eq \f(3π,4).
可推出BC＝4，AB＝2eq \r(2).
由(1)可知，AD⊥平面PCD，AD⊂平面ABCD，即平面ABCD⊥平面PCD，由于两平面的交线为CD，如图，过P作直线CD的垂线，垂足为H，则PH⊥平面ABCD.
以H为原点，分别以eq \(DA,\s\up6(―→))，eq \(HD,\s\up6(―→))，eq \(HP,\s\up6(―→))为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,1,0)，B(4，3,0)，D(0,1,0)，P(0，0，eq \r(3))，eq \(AB,\s\up6(―→))＝(2,2,0)，eq \(AP,\s\up6(―→))＝(－2，－1，eq \r(3))，
设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(―→))＝0，,n·\(AP,\s\up6(―→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2y＝0，,－2x－y＋\r(3)z＝0.))
取x＝eq \r(3)，得y＝－eq \r(3)，z＝1，
则平面PAB的一个法向量n＝(eq \r(3)，－eq \r(3)，1)．
又eq \(AD,\s\up6(―→))＝(－2,0,0)，令直线AD与平面PAB所成的角为α，则sin α＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AD,\s\up6(―→))·n,|\(AD,\s\up6(―→))||n|)))＝eq \f(2\r(3),2\r(7))＝eq \f(\r(21),7).所以直线l与平面PAB所成角的正弦值为eq \f(\r(21),7).
13．解：(1)证明：由AB＝8，AD＝5eq \r(3)，eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \f(2,5)eq \(AD,\s\up6(―→))，eq \(AF,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(―→))，
得AE＝2eq \r(3)，AF＝4，又∠EAF＝30°，在△AEF中，由余弦定理得EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcs∠EAF＝12＋16－2×2eq \r(3)×4×eq \f(\r(3),2)＝4，所以AE2＋EF2＝AF2，
则AE⊥EF，即EF⊥AD，
所以EF⊥PE，EF⊥DE，
又PE∩DE＝E，PE，DE⊂平面PDE，
所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE，
故EF⊥PD.
(2)连接CE，由∠ADC＝90°，ED＝3eq \r(3)，CD＝3，则CE2＝ED2＋CD2＝36，
在△PEC中，PC＝4eq \r(3)，PE＝2eq \r(3)，EC＝6，得EC2＋PE2＝PC2，
所以PE⊥EC，由(1)知PE⊥EF，又EC∩EF＝E，EC，EF⊂平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.又ED⊂平面ABCD，
所以PE⊥ED，则PE，EF，ED两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,0)，P(0,0,2eq \r(3))，D(0，3eq \r(3)，0)，C(3，3eq \r(3)，0)，F(2,0,0)，A(0，－2eq \r(3)，0)，由F是AB的中点，得B(4,2eq \r(3)，0)，所以eq \(PC,\s\up6(―→))＝(3,3eq \r(3)，－2eq \r(3))，eq \(PD,\s\up6(―→))＝(0,3eq \r(3)，－2eq \r(3))，eq \(PB,\s\up6(―→))＝(4,2eq \r(3)，－2eq \r(3))，eq \(PF,\s\up6(―→))＝(2,0，－2eq \r(3))．
设平面PCD和平面PBF的法向量分别为n＝(x1，y1，z1)，m＝(x2，y2，z2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(PC,\s\up6(―→))＝3x1＋3\r(3)y1－2\r(3)z1＝0，,n·\(PD,\s\up6(―→))＝3\r(3)y1－2\r(3)z1＝0，))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(PB,\s\up6(―→))＝4x2＋2\r(3)y2－2\r(3)z2＝0，,m·\(PF,\s\up6(―→))＝2x2－2\r(3)z2＝0，))
令y1＝2，x2＝eq \r(3)，得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1，所以n＝(0,2,3)，m＝(eq \r(3)，－1,1)，
所以|cs〈m，n〉|＝eq \f(|m·n|,|m||n|)＝eq \f(1,\r(5)×\r(13))＝eq \f(\r(65),65).设平面PCD和平面PBF所成二面角为θ，则sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(8\r(65),65)，
即平面PCD和平面PBF所成二面角的正弦值为eq \f(8\r(65),65).