人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示巩固练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示巩固练习，共9页。
A.2B.5
C.23D.25
2.若平面α的一个法向量为n=(1,2,1),AB=(-1,-1,2),A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为( )
A.1B.66
C.33D.13
3.在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1=1,AB=2,AD=3,E为AB的中点,则异面直线B1C1与DE的距离为( )
A.2B.10
C.1D.61919
4.如图,在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E为DD1的中点,F为BB1的中点,则直线FC1到平面AB1E的距离为( )
A.25B.23
C.15D.13
5.在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB=2,AA1=6,点E,F分别为棱BB1,AC的中点,则点C1到平面A1EF的距离为( )
A.365B.665
C.3105D.6105
6.如图,在三棱锥A⁃BCD中,AB=AC=AD=6,AB,AC,AD两两垂直,E为AB的中点,F为AD上更靠近点D的三等分点,O为△BCD的重心,则O到直线EF的距离为( )
A.2B.1
C.2265D.265
7.(多选)已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,点P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AA1,则下列说法正确的是( )
A.点A到直线BE的距离是55
B.点O到平面ABC1D1的距离为24
C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33
D.点P到直线AB的距离为2536
8.(5分)在四棱锥S⁃ABCD中,AB=(4,-1,0),AD=(0,3,0),AS=(-3,1,-5),则这个四棱锥的高h为 .
9.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,2,1),B(2,1,m),C(0,1,2),若点C到直线AB的距离不小于102,写出一个满足条件的m的值: .
10.(5分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得的,其中四边形AEC1F为平行四边形,AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.设过点B平行于平面AEC1F的平面为α,则平面AEC1F与平面α之间的距离为 .
11.(5分)如图,四棱锥P⁃ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,△PBC是等边三角形,M,N分别为AB和PC的中点,则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 .
12.(10分)如图,长方体ABCD⁃A'B'C'D'的顶点坐标为B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),A'(0,0,2),B'(1,0,2),
D'(0,2,2),E和F分别是棱DD'和BB'的中点,求CE与A'F之间的距离.
13.(10分)如图,在直二面角D⁃AB⁃E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,
其中∠AEB=90°,求点D到平面ACE的距离.
14.(15分)如图,已知ABCD是矩形,点P为平面ABCD外一点,PA⊥平面ABCD,若点E为PB的中点,
PA=AB=1,BC=2.
(1)求证:AE⊥平面PBC;(6分)
(2)在边BC上是否存在一点G,使点D到平面PAG的距离为2?若存在,求出BG的值;若不存在,请说明理由.(9分)
课时检测(十)
1．选B 因为eq \(AB,\s\up6(―→))＝(2，－1,2)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(1，－2,4)，所以eq \(AC,\s\up6(―→))在eq \(AB,\s\up6(―→))方向上的投影向量的模为eq \f(|\(AB,\s\up6(―→))·\(AC,\s\up6(―→))|,|\(AB,\s\up6(―→))|)＝eq \f(|2＋2＋8|,\r(4＋1＋4))＝4.设点C到直线AB的距离为d，则d＝ eq \r(|\(AC,\s\up6(―→))|2－42)＝eq \r(1＋4＋16－16)＝eq \r(5).
2．选B 因为eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，所以点A到平面α的距离为eq \f(|\(AB,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(6),6).
3.选C 分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C1(0,2,1)，B1(3,2，1)，E(3,1,0)，eq \(B1C1,\s\up6(―→))＝(－3，0,0)，eq \(DE,\s\up6(―→))＝(3,1,0)，设B1C1与DE的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(B1C1,\s\up6(―→))＝－3x＝0，,n·\(DE,\s\up6(―→))＝3x＋y＝0，))取z＝1，得x＝y＝0，则n＝(0,0,1)．又eq \(DC1,\s\up6(―→))＝(0,2,1)，所以异面直线B1C1与DE之间的距离d＝eq \f(|\(DC1,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(0＋0＋1))＝1.故选C.
4.选D 由题意易知直线FC1∥平面AB1E，所以F到平面AB1E的距离即为直线FC1到平面AB1E的距离．建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，B1(1,1,1)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，C1(0,1,1)，所以eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))，eq \(AB1,\s\up6(―→))＝(0,1,1)，eq \(AF,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，设平面AB1E的法向量n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AE,\s\up6(―→))·n＝0，,\(AB1,\s\up6(―→))·n＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋\f(1,2)z＝0，,y＋z＝0，))取z＝2，则x＝1，y＝－2，所以n＝(1，－2,2)，所以F到平面AB1E的距离d＝eq \f(|\(AF,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－1,\r(9))))＝eq \f(1,3).
5.选C 如图，取A1C1的中点G，连接FG，以F为坐标原点，FB，FC，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则F(0，0,0)，A1(0，－1,6)，E(eq \r(3)，0,3)，C1(0，1,6)，所以eq \(FA1,\s\up6(―→))＝(0，－1，6)，eq \(FE,\s\up6(―→))＝(eq \r(3)，0,3)，eq \(FC1,\s\up6(―→))＝(0,1,6)，设平面A1EF的法向量为n＝(x，y，z)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(FA1,\s\up6(―→))·n＝－y＋6z＝0，,\(FE,\s\up6(―→))·n＝\r(3)x＋3z＝0，))令z＝1，解得x＝－eq \r(3)，y＝6，所以平面A1EF的一个法向量为n＝(－eq \r(3)，6,1)，所以点C1到平面A1EF的距离d＝eq \f(|n·\(FC1,\s\up6(―→))|,|n|)＝eq \f(3\r(10),5).
6.选C 以A为原点，AB，AC，AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(6,0,0)，C(0,6,0)，D(0，0,6)，E(3,0,0)，F(0,0,4)，得O(2，2,2)，eq \(EF,\s\up6(―→))＝(－3,0,4)，取a＝eq \(EO,\s\up6(―→))＝(－1,2,2)，u＝eq \f(\(EF,\s\up6(―→)),|\(EF,\s\up6(―→))|)＝eq \f(1,5)(－3,0,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，0，\f(4,5)))，则a2＝9，a·u＝eq \f(11,5)，所以点O到直线EF的距离为 eq \r(a2－a·u2)＝eq \f(2\r(26),5).
7.选BC 如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1，1,1)，D1(0,1,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1))，
Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，C(1,1,0)，
所以eq \(BA,\s\up6(―→))＝(－1,0,0)，eq \(BE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，1)).
设∠ABE＝θ，则cs θ＝eq \f(|\(BA,\s\up6(―→))·\(BE,\s\up6(―→))|,|\(BA,\s\up6(―→))||\(BE,\s\up6(―→))|)＝eq \f(\r(5),5)，sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(2\r(5),5)，故点A到直线BE的距离d1＝|eq \(BA,\s\up6(―→))|sin θ＝1×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(2\r(5),5)，故A错误.eq \(C1O,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，平面ABC1D1的一个法向量为eq \(DA1,\s\up6(―→))＝(0，－1,1)，则点O到平面ABC1D1的距离d2＝eq \f(|\(DA1,\s\up6(―→))·\(C1O,\s\up6(―→))|,|\(DA1,\s\up6(―→))|)＝eq \f(\f(1,2),\r(2))＝eq \f(\r(2),4)，故B正确.eq \(A1B,\s\up6(―→))＝(1,0，－1)，eq \(A1D,\s\up6(―→))＝(0,1，－1)，eq \(A1D1,\s\up6(―→))＝(0,1,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1B,\s\up6(―→))＝0，,n·\(A1D,\s\up6(―→))＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－z＝0，,y－z＝0，))令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1,1,1)．
所以点D1到平面A1BD的距离d3＝eq \f(|\(A1D1,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
eq \(D1C,\s\up6(―→))＝(1,0，－1)＝eq \(A1B,\s\up6(―→))，所以D1C∥A1B，
又因为D1C⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，
所以D1C∥平面A1BD，同理B1C∥平面A1BD.
又D1C∩B1C＝C，D1C，B1C⊂平面B1CD1，所以平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为eq \f(\r(3),3)，故C正确．因为eq \(AP,\s\up6(―→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AA1,\s\up6(―→))，所以eq \(AP,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))).
又eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1,0,0)，则eq \f(\(AP,\s\up6(―→))·\(AB,\s\up6(―→)),|\(AB,\s\up6(―→))|)＝eq \f(3,4)，所以点P到AB的距离d＝eq \r(|\(AP,\s\up6(―→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(―→))·\(AB,\s\up6(―→)),|\(AB,\s\up6(―→))|)))2)＝eq \r(\f(181,144)－\f(9,16))＝eq \f(5,6)，故D错误．
8．解析：设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(―→))·n＝4x－y＝0，,\(AD,\s\up6(―→))·n＝3y＝0，))所以x＝y＝0，所以取n＝(0,0，1)，所以此四棱锥的高h＝eq \f(|\(AS,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝eq \f(5,1)＝5.
答案：5
9．解析：因为eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，－1，m－1)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－1，－1,1)，所以点C到直线AB的距离d＝eq \r(\(AC,\s\up6(―→))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(―→))·\(AB,\s\up6(―→)),|\(AB,\s\up6(―→))|)))2)＝eq \r(3－\f(m－12,m－12＋2))≥eq \f(\r(10),2)，解得1－eq \r(2)≤m≤1＋eq \r(2).
答案：1(答案不唯一，只要1－eq \r(2)≤m≤1＋eq \r(2)即可)
10．解析：由题意，以D为原点，DA，DC，DF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(2,0,0)，B(2,4,0)，E(2，4,1)，C1(0,4,3)，
设F(0,0，t)，因为四边形AEC1F为平行四边形，可得eq \(AF,\s\up6(―→))＝eq \(EC1,\s\up6(―→))，即(－2,0，t)＝(－2,0,2)，所以t＝2，即F(0,0,2)，则eq \(AE,\s\up6(―→))＝(0,4,1)，eq \(AF,\s\up6(―→))＝(－2,0,2)．
设平面AEC1F的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(―→))＝4y＋z＝0，,n·\(AF,\s\up6(―→))＝－2x＋2z＝0，))
取x＝1，可得y＝－eq \f(1,4)，z＝1，
所以n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,4)，1))，由eq \(BE,\s\up6(―→))＝(0,0,1)，可得点B到平面AEC1F的距离为d＝eq \f(|\(BE,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(1＋\f(1,16)＋1))＝eq \f(4\r(33),33).
因为过点B平行于平面AEC1F的平面为α，
所以平面AEC1F与平面α之间的距离等于点B到平面AEC1F的距离，即平面AEC1F与平面α之间的距离为eq \f(4\r(33),33).
答案：eq \f(4\r(33),33)
11．解析：连接AC，BD相交于点O，O点为底面ABCD的中心，取BC中点为E，连接EO，EP，则EP⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，则EP⊥平面ABCD，以点E为原点，分别以eq \(EO,\s\up6(―→))，eq \(EC,\s\up6(―→))，eq \(EP,\s\up6(―→))为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，且底面ABCD的边长为2，△PBC是等边三角形，则D(2,1,0)，M(1，－1,0)，C(0，1,0)，P(0,0，eq \r(3))，则Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，O(1，0,0)，则eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(DN,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(OD,\s\up6(―→))＝(1,1,0)．设平面DMN的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(MN,\s\up6(―→))＝－x＋\f(3,2)y＋\f(\r(3),2)z＝0，,n·\(DN,\s\up6(―→))＝－2x－\f(1,2)y＋\f(\r(3),2)z＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2y，,\r(3)z＝－7y，))令z＝7，则y＝－eq \r(3)，x＝2eq \r(3)，所以n＝(2eq \r(3)，－eq \r(3)，7)，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离，则d＝eq \f(|\(OD,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(3),\r(64))＝eq \f(\r(3),8).
答案：eq \f(\r(3),8)
12．解：因为E和F分别是棱DD′和BB′的中点，
则E(0,2,1)，F(1,0,1)．又eq \(CE,\s\up6(―→))＝(－1,0,1)，
eq \(A′F,\s\up6(―→))＝(1,0，－1)，且直线CE与A′F无公共点，
所以CE∥A′F.因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A′F之间的距离．
又因为eq \(CE,\s\up6(―→))＝(－1,0,1)，eq \(FC,\s\up6(―→))＝(0,2，－1)，
所以eq \(FC,\s\up6(―→))在eq \(CE,\s\up6(―→))上的投影向量的模为eq \f(|\(FC,\s\up6(―→))·\(CE,\s\up6(―→))|,|\(CE,\s\up6(―→))|)＝eq \f(|0×－1＋2×0＋－1×1|,\r(－12＋02＋12))＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).所以点F到直线CE的距离d＝eq \r(|\(FC,\s\up6(―→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|\(FC,\s\up6(―→))·\(CE,\s\up6(―→))|,|\(CE,\s\up6(―→))|)))2)＝eq \r(5－\f(1,2))＝eq \f(3\r(2),2).因此CE与A′F之间的距离为eq \f(3\r(2),2).
13．解：取AB的中点O，连接OE.
因为△AEB是等腰直角三角形，所以OE⊥AB，OE＝OA＝1.
由已知得，平面ABCD⊥平面AEB，平面ABCD∩平面AEB＝AB，
所以OE⊥平面ABCD.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(其中z轴平行于BC)，则C(0,1,2)，A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，所以eq \(AD,\s\up6(―→))＝(0,0,2)，eq \(AE,\s\up6(―→))＝(1,1,0)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(0,2,2)．
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(―→))＝0，,n·\(AE,\s\up6(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y＋2z＝0，,x＋y＝0，))令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝eq \f(|\(AD,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2|,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3).
14．解：(1)证明：已知ABCD是矩形，所以AB⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1，2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，
所以eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq \(BC,\s\up6(―→))＝(0,2,0)，eq \(PB,\s\up6(―→))＝(1,0，－1)，则eq \(AE,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝0＋0＋0＝0，eq \(AE,\s\up6(―→))·eq \(PB,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)＋0－eq \f(1,2)＝0，故AE⊥BC，AE⊥PB，又BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.
(2)设G(1，a,0)且a∈[0,2]，
设平面PAG的法向量为n＝(x，y，z)，又eq \(AP,\s\up6(―→))＝(0,0,1)，eq \(AG,\s\up6(―→))＝(1，a,0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up6(―→))·n＝z＝0，,\(AG,\s\up6(―→))·n＝x＋ay＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z＝0，,x＝－ay，))令y＝1，则n＝(－a,1,0)，
又eq \(AD,\s\up6(―→))＝(0,2,0)，则点D到平面PAG的距离为eq \f(|\(AD,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝eq \f(|0＋2＋0|,\r(a2＋1))＝eq \r(2)，整理得a2＝1，
解得a＝1或a＝－1(舍去)，故BG＝|eq \(BG,\s\up6(―→))|＝1.