高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数函数一课一练

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新课标要求
1.通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
2.知道对数函数与指数函数 互为反函数（a＞0，且a≠1）。
知识梳理
1.对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2.对数函数的图象和性质
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
3.不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数00，且a≠1)互为反函数．
(1)y＝ax的定义域R就是y＝lgax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝lgax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝lgax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．
5.三种常见函数模型的增长差异
名师导学
知识点1 对数函数的概念及应用
判断一个函数是对数函数的方法
【例1-1】已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
【变式训练1-1】下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝lgxa(x>0且x≠1)
B．y＝lg2x－1
C．
D．y＝lg5x
【变式训练1-2】函数是对数函数，则___________.
知识点2 与对数函数有关的定义域
求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【例2-1】函数的定义域为___________．
【例2-2】已知函数，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练2-1】已知，则函数的定义域为______.
【变式训练2-2】函数的定义域为___________.
知识点3 对数函数的图象及应用（重点）
对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
【例3-1】 (1)如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )
A．00，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
延伸探究
1．在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)＝lga|x－1|的图象．
2．在本例中，若条件不变，试画出函数h(x)＝|lgax|的图象．
【变式训练3-1】）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练3-2】已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练3-3】若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-4】函数(且)的图象恒过定点_________
知识点4 比较大小（重点）
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
【例4-1】比较下列各组数的大小：
(1)lg5eq \f(3,4)与lg5eq \f(4,3)；(2)与；(3)lg23与lg54.
【变式训练4-1】比较下列各组中两个数的大小：
(1)，；(2)，；(3)，．
【变式训练4-2】分别比较下列各组数的大小：
(1)，，；(2)，，；(3)与．
知识点5 解对数不等式（重难点）
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0lgg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
【例5-1】解下列关于x的不等式：
(1)>；(2)lga(2x－5)>lga(x－1)；(3)lgxeq \f(1,2)>1.
【变式训练5-1】已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．（3，4）C．（2，5）D．
【变式训练5-2】解关于的不等式：（，且）．
知识点6 对数型函数的单调性（重点）
形如f(x)＝lgag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．
(3)当底数00)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝lgax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”．
【例8-1】下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（ ）
A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢
B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快
C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢
D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快
【变式训练8-1】下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点9 函数模型的选择问题
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
【例9-1】某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝lga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
【变式训练9-1】某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A．y＝lg2(x＋1)B．y＝2x－1
C．y＝2x－1D．y＝(x－1)2＋1
【变式训练9-2】某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
下列几个模拟函数中：
①y＝ax2＋bx；
②y＝kx＋b；
③y＝lgax＋b；
④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．
用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由．
知识点10 指数函数、对数函数与二次函数模型的比较
指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
【例10-1】函数f(x)＝2x(x>0)和g(x)＝x2(x>0)的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x11时，甲走在最前面；
②当x>1时，乙走在最前面；
③当00，且a≠1)
底数
a>1
01)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随x的增大匀速上升
增长速度
y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝lgax的增长
增长后果
会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>lgax
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
x
1
2
3
…
y
1
2
5
…